立足课本例习题变式 培养学生的创新能力

初中数学“变式·探究·创新”的课题研究于2002年8月在我市展开，作为该课题研究的实践者，我们四十二中的课题组成员一致认为：要创造性的使用教材，以艺术性地开发例习题为突破口，不断地挖掘新的课堂教学资源，拓宽学生的思维空间，培养学生的创新意识和实践能力．五年来，在各级教研部门的领导下，我们不懈努力，将课题研究成果在校内外转化与推广，取得了较好的教学效果，得到了全市广大初中数学教师的赞同和认可．下面就我校几年来对本课题的研究过程谈点体会，仅供探讨．

一、课本例习题变式研究的必要性和可行性

（一）革新教学方法，提高课堂效率．在过去的应试教育背景下， “重教轻学”、“重知识轻能力”和“机械地重复训练”，照本宣科， 使数学知识的学习枯燥乏味，课堂效率低下, 严重挫伤了学生的学习积极性．按照新课标要求，我们应在继存传统教学方法优点的基础上，革新教法，探索与新课标精神相符合的教学路子，提高课堂效率，激发学生学习积极性，努力达成新课程目标．

（二）体现学生主体地位，遵循学科教学规律．作为新时期数学教师，在教学过程中必须树立以学生为中心、以教师为主导、着眼于学生的终身发展等新的教学理念，并重视数学特有的学科特点，结合学生情况和教材实际，开展课堂教学、课题研究等活动．从学生的年龄特点看，初中学生正处于青春发育期，好动不安静，对枯燥的数学内容兴趣不高，缺乏学习积极性；在认知水平上,基本上还处于模仿、记忆阶段，缺少对知识的迁移能力和应变能力．因此，开展变式教学，可在启、诱的基础上，通过变式创设情境或加强知识的横纵向迁移，来激发情感，培养兴趣，拓展学生的思维空间．

（三）做教材的主人，不做教材的奴隶．在新课程标准精神指引下，我们必须正确理解教材编排意图，对教材资源进行加工与整合，科学而灵活地运用教材，依据课标，重视教材，但不拘泥于教材．人教社的新课程教科书中，每个章节后面都安排了活动课，活动课的内容体现了“探究性、实践性、开放性和综合性”的特点．而变式教学的目的正是要引导学生一方面获取知识、掌握知识，同时体验、探究、理解和应用，从而培养学生创新精神和实践能力．经过课题组成员分析、讨论，发现课本例习题研究是很好的突破口，而活动课沟通理论知识和实践运用，又反过来为有效地开展课本例习题研究提供了实践阵地．

二、变式课本例习题的原则和做法

（一）原则

在变式课本例习题的操作中，我们把握了以下三个原则：

1. 选题要具有代表性．变式教学有“一变应万变”，“万变不离其中”的功效．这就要求教师认真钻研教材，分析知识间的内在联系，选题要具有典型性，不能见题就变，要通过对课本某一例习题变式，使学生学会解这类题的思想方法，掌握变式题型规律．

2．变式要注重实效性．课堂教学主要是让学生能掌握知识，形成技能，发展智力，培养创新能力．变式课本的例习题应做到突出本节课的重点，先易后难，由浅入深，变“冰冷”的数学知识为“火热”的思想火花，达到提高课堂效率的目的．

3．变式要做到系统性．变式教学要做到有计划、有目的、循序渐进地进行．根据学生的知识结构和认知水平，在不同的阶段，对不同的课型，要选择不同的变式策略．

（二）做法

在具体实施过程中，我们总结了“重组”、“辐射”和“兼并”三种做法：

1．“重组”教材中的例习题，为学生提供新的研究素材

所谓例习题的“重组”．是将例习题的内容重新组合、调整，得到新的问题．将重组后的问题提供给学生讨论、研究，这可以培养学生的应变能力，提高分折问题和解决问题的能力．

在小结等腰三角形这一内容时，将本节中的定义、定理重新组合成这样一个新命题，供学生研究．

例1 如图1，①AB=AC，②AD⊥ BC，③ BD＝CD．④∠BAD=∠CAD．将这四个论断中的某两个作为条件，另两个作为结论，请大家写出真命题．

（1）重组命题，激发兴趣．

问题提出后，学生兴致很高，积极动手动脑，排列出了六个新的命题（如表1），并做到不遗漏，不重复．

（2）判断命题，巩固双基．

在判断它门是否为真命题时，同学们讨论的非常热烈，思维活跃．很快就有学生大胆地走上讲台，汇报自己做出的判断，并阐述理由．

根据等腰三角形的性质推论，可直接得出下列三个命题是正确的（如表2）

通过全等和垂直平分线的性质，得出下列两个命题也是正确的．（如表3）

通过添加辅助线后（如图2），证两个三角形全等，得出最后一个命题也是真命题．（如表4）

评：通过“重组” 本节中的定义、定理，变死记的知识为活动探究，极大地激发了学生学习数学兴趣；熟练掌握了三个定理一个推论（等腰三角形的性质定理及推论、等腰三角形的判定定理和垂直平分线的性质）；经历了一种学习方式（探究性学习）；学会了一种作辅助线的方法（遇到三角形中线时，常常考虑倍长中线构造全等三角形）；总结了一个规律（这四个论断中，任意给出两个论断，就能得出另两个论断）．

2．重视教材的例习题的“辐射”，培养学生的研究精神．

所谓教材的例习题的“辐射”，是在讲解教材例习题时，将例习题作为学生思维的“基站”，对原题的题设、结论和图形进行多角度的演变、延伸，形成“知识网络”，把数学知识灵活地辐射到相关的问题中去，发展学生创造思维能力的过程．

例2 人教版《九年义务教育四年制初级中学教科书·几何》第三册第95页例4：如图3．已知⊙Ｏ１和⊙Ｏ２外切于Ａ，BC为两圆的公切线，B、C为切点．

求证：AB⊥BC．

（1）深化结论，增强学生思维深刻性．

在原题题设不变的情况下，引申出一系列深层次的结论，引导学生进一步讨论、探索，从而发展学生的创造力．

变式1 在例题条件不变的情况下，由它的结论可得出△BA C是什么三角形？

变式2 若两圆的半径分别为2和3，求ＢＣ的长；

（2）补充条件，拓展学生思维的广阔性．

在数学教学中，可根据不同阶段，适时地把教材的例习题作适当的拓展，引导学生进行研究和探索，使学生获得更深刻的认识、理解和应用，使学生解决问题的思路更加开阔．

变式3 在例2条件下（如图4），过点Ａ作A H⊥ BC于H，试证明＋＝１；

变式4 在变式3条件下（如图4），试证＋＝；

变式5 在例2条件下（如图5），连结Ｏ１Ｏ２交⊙O２于 D，交 BC的延长线于P，试证ＰＡ２＝PB·PC；

变式6在例2条件下（如图6），问在BC上是否存在一点只使得O１P垂直于O２P．若存在，请找出它的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

（3）让图形动起来，培养学生思维的灵活性．

在几何教学中，经常需要在动态中处理几何问题，将其图形或其中的一部分动起来，引导学生观察分析其中不变的对象（不变的量、不动的点、不变的位置关系和数量关系等）和变化的对象（函数关系式等）．

变式7 请看图７和图8，若将⊙Ｏ１动起来，BC为公切线不变，原题中“两圆外切”条件改为“两圆相交”或“两圆外离”，猜想BP１、CP２（P１、Ｐ２是Ｏ１Ｏ２与两圆的交点）的位置关系，并说明理由．

变式8 如图9，在例2条件下，过点A任作一直线分别交两圆于M、N，MB、NC延长线交于Q，∠Q是锐角、直角还是钝角？并说明理由．

评：实践证明，教师在认真钻研教材的基础上，选择教材中最为典型的例习题为基本点，把知识、方法有效地得以迁移，设计其结论的延伸变式，由浅入深，这样不仅使学生产生好奇心和求知欲，而且也符合学生的认知规律，优化思维过程，达到对知识的深层次认识，从而培养学生的思维的深刻性；设计补充条件变式，既能引导学生进行研究性学习，又能进一步培养、提高学生的发散思维和创新能力．

3．“兼并”教材的例习题，培养学生的应用能力．

所谓“兼并”教材的例习题，是用课外综合题兼并教材中两个或两个以上联系密切的例习题．“兼并”教材例习题的过程，涉及的知识面广，综合性强，灵活性大，是培养学生课内外结合、学以致用意识的重要途径，也是培养学生学习成就感的重要途径．下面就以一道中考综合试题来展示兼并的过程．

例3 已知：如图10，点E是△ABC的内心，A E交BC于点D，交△ABC的外接圆于F，过点F的△A BC外接圆的切线交AB、AC的延长线于M、N两点，求证：（l）BC∥ＭＮ．（ 2）=．（襄樊市中考题）

（1）寻根求源．

原型1 人教版《九年义务教育四年制阶级中学教科书·几何》第三册第47页习题10．

已知：△ABC的角平分线AD，交△ABC的外接圆于F，求证：△ABF∽△ADC．

变式1 求证：BF2=FD·FA

原型2 人教版《九年义务教育四年制阶级中学教科书·几何》第三册第65页习题14．

已知：△A BC的角平分线AD，交△ABC的外接圆于F，若E是△ABC的内心，求证： EF=BF；

原型3 人教版《九年义务教育四年制阶级中学教科书·几何》第三册第72页练习2．

已知：△A BC的角平分线AD，交△ABC的外接圆于F，过点F的△A BC外接圆的切线交AB、AC的延长线于M、N两点，求证：（l）BC∥MN．

（2）“兼并”过程．

由变式1 可得BF2=FD·FA；由原型3可得EF2=FD·FA，所以=；由原型2可得=．

评：通过对此中考题的解剖，使学生明白了一道综合题的来历，也就是课本中几道相关联的基础题的有机结合，并加于变式．在解决此类问题时，只要学会了分解，其解法就一目了然了．这样讲解克服了学生学数学的畏惧心理，增强了自信心．

三、变式例习题教学所取得的成效．

（一）提高了教师的整体素质．

每位教师都参与到例习题的变式研究中来，学习教材，开挖文本，增强了处理教材的能力，优化了课堂教学结构，提高了自身的整体素质．

（二）提升了学生的综合能力．

变式教材中例习题，就是丰富其内涵，扩大其外延，变枯燥乏味的数学知识为学生积极主动探究的素材；在数学活动过程中，通过自主探究，同伴互助，教师引导，克服了学生学数学的畏难心理；通过让学生展示研究成果，增强其成就感，可持续保持学生学习数学的兴趣；同时，在变式教学过程中，对课本例习题进行适当的变式、引伸与挖掘，提取有价值的新结论，从而使学生的知识面得以拓宽，思维得以激活，进而开阔学生的思路，培养学生良好的思维品质，以及勇于探索的创新精神．

（三）发现新的课题研究方向．

例习题变式教学的确是一种很好的教学方法，在摸索“重组”、“辐射”和“兼并”法的过程中，我们注意到，教师如何把变式教学与学生的思维连续性、教材内容的系统性和常规教学的实效性有机地结合起来，还有待于我们作进一步探索，我们将朝着这个新方向前进．

立足课本例习题变式 培养学生的创新能力