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【精】最新高中数学考点58直线系方程与圆系方程庖丁解题新人教A版必修2

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1．与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0；

2．与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Bx–Ay+m=0；

3．过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）；

4．过直线n：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）；

5．过直线Ax+By+C=0与圆 x 2 + y 2 +Dx + Ey +F= 0 的交点的圆系方程x 2 + y 2 +Dx + Ey +F+λ（Ax+By+C）=0；

6．过和交点的圆系方程为．

【例】求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程_____________，此时圆心到x轴的距离_____________．

【答案】 x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0，

【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程．

1．已知点是直线外一点，则方程表示（ ）

A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线

C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线

【答案】D

【解析】

2．求经过点，且与直线垂直的直线的方程_____________．

【答案】．

【解析】设与直线垂直的直线系方程为，因为经过点，所以，故所求直线方程为．

【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算．

3．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_____________．

【答案】

【解析】

4．设直线l经过2x–3y+2=0和3x–4y–2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程_____________．

【答案】x–y–4=0,或x+y–24=0．

【解析】设所求的直线方程为(2x–3y+2)+λ(3x–4y–2)=0,

整理得(2+3λ)x–(4λ+3)y–2λ+2=0,由题意,得=±1,解得λ=–1,或λ=–．

所以所求的直线方程为x–y–4=0,或x+y–24=0．

【易错易混】对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

5．求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程_____________．

【答案】

1．已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由已知得，得，则直线在轴上的截距为,故选B．

2．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）

A．或

B．或

C．或

D．或

【答案】D

【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选D．

3．过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x －4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程_____________，圆的面积为_____________．

【答案】5x 2 + 5y 2 + 26x －12y + 37 = 0

4．已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x–y+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程．

【解析】由得一顶点为．

因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为．

设与x+y+2=0平行的对边所在直线方程为x+y+m=0,

因为该直线过,

所以m=–16．

设与3x–y+3=0平行的对边所在直线方程为

3x–y+n=0,

同理可知过点,

得n=–13．

故所求直线的方程为x+y–16=0和3x–y–13=0．

平行直线系

两条平行的直线永远不会有交集

[精]最新高中数学考点58直线系方程与圆系方程庖丁解题新人教A版必修2