2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.

(1) 若函数在处连续，则 （ ）

(A) (B) (C) (D)

(2) 设函数可导，且则 （ ）

(A) (B)

(C) (D)

(3) 函数在点（1,2,0）处沿向量的方向导数为 （ ）

(A) 12 (B) 6 (C) 4 (D) 2

(4) 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10, 20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则

(A) (B) (C) (D)

(5) 设为维单位列向量，为阶单位矩阵，则 （ ）

(A)不可逆 (B)不可逆

(C)不可逆 (D)不可逆

(6) 已知矩阵，，，则 （ ）

(A)与相似,与相似 (B)与相似,与不相似

(C)与不相似,与相似 (D)与不相似,与不相似

(7) 设为随机概率，若, ,则的充分必要条件是

（ ）

(A) (B)

(C) (D)

(8) 设为来自总体的简单随机样本，记则下列结论正确的是 （ ）

(A)服从分布 (B)服从分布

(C)服从分布 (D)服从分布

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.

(9) 已知函数，则

(10) 微分方程的通解为

(11) 若曲线积分在区域内与路径无关，则

(12) 幂级数在区间内的和函数

(13) 设矩阵，，，为线性无关的维列向量组，则向量组，，的秩为

(14) 设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则

三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设函数具有2阶连续偏导数，，求，

(16)(本题满分10分)

求

(17)(本题满分10分)

已知函数由方程确定，求的极值.

(18)(本题满分10分)

设函数在区间[0,1]上具有2阶导数，且，，证明：

(Ⅰ)方程在区间（0,1）内至少存在一个实根；

(Ⅱ)方程在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。

(19)(本题满分10分)

设薄片型物体S是圆锥面=被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为. 记圆锥面与柱面的交线为C.

(Ⅰ)求C在平面上的投影曲线的方程；

(Ⅱ)求S的质量M.

(20)(本题满分11分)

设3阶矩阵有3个不同的特征值，且.

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)若，求方程组的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型在正交变换下的标准形为，求的值及一个正交矩阵.

(22)(本题满分11 分)

设随机变来那个为，相互独立，且的概率分布为的概率密度为

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)求的概率密度.

(23)(本题满分11 分)

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果相互独立且均服从正态分布.该工程师记录的是n次测量的绝对误差，利用估计.

(Ⅰ)求的概率密度；

(Ⅱ)利用一阶矩求的矩估计量；

(Ⅲ)求的最大似然估计量.

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