2017-2018学年第一学期第二次月考

高三数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，则等于（ ）

A. B. C. D.

2.设复数满足，为虚数单位，则（ ）

A. B. C. D.

3.设，则在下列区间中，使有零点的区间是（ ）

A. B. C. D.

4.下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（ ）

A. B. C. D.

5.已知等差数列满足，，其前项和，则（ ）

A.8 B.9 C.10 D.11

6.已知是的内角，则“”是“”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.某同学设计右面的程序框图用以计算和式的值，则在判断框中应填写（ ）

A. B. C. D.

8.设的内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

9.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（ ）

A.4 B. C.2 D.

10.定义在上的函数满足，则（ ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

11.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

12.对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论是（ ）

A.1是的极值点

B.-1是的零点

C.3是的极值

D.点在曲线上

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.函数在点处的切线方程是________.

14.若向量，则________.

15.设动点满足，则的最小值为________.

16.已知数列的通项公式为，若为递增数列，则实数的取值范围是________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．（12分）

已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递增区间，并写出函数的图象的对称轴方程．

18．（12分）

已知抛物线过点.

（1）求抛物线的方程及焦点坐标；

（2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与直线的距离等于？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.

19．（12分）

在正项等比数列中，公比，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值.

20.(12分）

如图，四棱锥中，底面，，

，为线段上一点，，为的中点．

（1）证明平面；

（2）求四面体的体积．

21．（12分）

已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中为自然对数的底数）

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的的第一题计分.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为：.

（1）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；

（2）设直线与交于两点，求值．

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.

高三上学期第二次月考数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

三、解答题（本大题共6小题，共70分 ）

（一）必考题.

17.解：（1）=，………………2分

则，……………4分

所以，函数的最小正周期为．………………6分

（2）由，得 ………………8分

所以，函数的单调递增区间为：………………9分

由，得，……………11分

故对称轴方程为：.………………12分

18.解：（1）把点代入，得，即，

所以抛物线的方程为.焦点坐标为. ……………4分

（2）假设存在直线满足题设条件，依题意，直线的方程为，设直线的方程为.

联立，消去，整理得.

由，解得.① ……………8分

又因为直线与直线的距离等于，所以，所以.②

由①②得，即所求直线的方程为. ……………12分

19.解：（1）因为，

所以，

因为是正项等比数列，所以，又因为，所以.

由于，所以.………………4分

所以.………………6分

（2）因为，………………8分

所以，………………9分

当时，，所以或者.………………11分

即当取最大值时，.………………12分

20.解:（1）由已知得.取的中点，连接，由为的中点知，，又，故，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面．

所以平面. ………6分

（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连接，由得，.

由得到的距离为，故，

所以四面体的体积.………………12分

21.解：（1）因为，且，

而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以是函数的极小值点，极大值点不存在. ………………4分

所以当时，取极小值为.无极大值.………………5分

（2），则

＜0＜00＜＜＞0＞

所以在上单调递减，在上单调递增. ………………7分

①当即时，在上单调递增，

所以在上的最小值为

②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.

在上的最小值为

③当即时，在上单调递减，

所以在上的最小值为

综上所述，

当时，的最小值为0；

当1＜a＜2时，的最小值为；

当时，的最小值为……………………………12分

（二）选考题

22.解：（1）因为，所以，由得.所以曲线的直角坐标方程为，

它是以为圆心，半径为2的圆. ……5分

（2）把代入方程，整理得，

设其两根分别为，则，

所以. ……10分

23.解：（1）由，得，即，

解得.所以，即. ……5分

（2）由（1）得，令，则

.

所以的最小值等于4，故实数的取值范围是. ……10分

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