福建省莆田一中2012届高三上学期期末考试

数学（文）试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

1．已知复数Z1=m+2i,Z2=3+4i,若Z1·Z2为实数，则实数m的值为( )

A． B． C．－ D．－

2．设S={x||x－2|>3}，T={x|a∪T=R, 则a的范围是( )

A．-3 B．-3≤a≤-1 C．a≤-3 或a≥-1 D．a<-3或a>-1

3．我市某学校在“9.11”举行老师、学生消防知识比赛，报名的学生和教师的人数之比为6：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取35人组队进行比赛，已知教师甲被抽到的概率为，则报名的学生人数是（ ）

A．350 B．30 C．300 D．35

4．下列判断错误的是（ ）

A．“”是“a < b”的充分不必要条件

B．命题“”的否定是“”

C．若f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x+2)也为奇函数，则f (x)是以4为周期的周期函数.

D．若为假命题, 则p, q均为假命题

5．中，，，，则（ ）

A.或 B. C. D.

6． 已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )

A． B． C． D．

7. 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，bα，则b∥α； ②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；

③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或aα； ④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.

其中正确命题的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

8. 直线有两个不同交点的一个充分不必要条件是 （ ）

A． B． C． D．

9. 为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，并且，则该函数图象的一条对称轴为（ ）

A. B. C D.

10．实数满足不等式组，且 取 最小值的最优解有无穷多个, 则实数a的取值是（ ）

A． B． 1 C． 2 D． 无法确定

11.在等比数列中,，使不等式 成立的最大自然数是（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

12．设函数，若为函数的一个极值点，则下列图像不可能为的图像是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为　　　　　.

14．若函数，且，

则实数m的取值范围为 。

15．某三棱锥有五条棱的长度都为2，则当该三棱锥的表面积最大时其体积为 。

16．如图在平面直角坐标系中，圆（）

内切于正方形，任取圆上一点，若

（、），则、满足的一个等式是______________________．

三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分共12分)

已知向量，，其中，且，又函数的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)设是第一象限角,且,求的值。

18．(本小题满分共12分)

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，，.

⑴求证：；

⑵当时，求此四棱锥的表面积.

19.（本小题满分12分）从某学校高三年级

名学生中随机抽取名测量身高，据

测量被抽取的学生的身高全部介于

和之间，将测量结果按如下方式分成

八组：第一组．第二组；

…第八组，右图是按上述分组方法得到的条形图.

(1)根据已知条件填写下面表格：

(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上（含）的人数；

(3)在样本中，若第二组有人为男生，其余为女生，第七组有人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？

20. （本小题满分12分）

数列{an}的前项和，数列{}满足。

（Ⅰ）求数列{}，{}的通项公式；

（Ⅱ）若，为｛｝的前n 和，求。

21（本小题满分12分）

如图，已知椭圆：过点，上、下焦点分别为、，向量．直线与椭圆交于两点，线段中点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）求直线的方程；

（3）记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域（含边界）为，若曲线与区域有公共点，试求的最小值．

22．（本小题满分14分）

已知函数（其中常数），.

（Ⅰ）当时，若函数是奇函数，求的极值点；

（Ⅱ）若a0，求函数的单调递增区间；

（Ⅲ）当时，求函数在上的最小值，并探索：是否存在满足条件的实数，使得对任意的，恒成立．

莆田一中2011—2012学年度上学期期末考试

高三文科数学 答题卷 2012.1.

二、填空题:

13. ; 14. ;

15. 16. .

三、解答题：

莆田一中2011-2012学年上学期期末试卷2012.1

高三数学（文科）参考答案

1-5 DACDC 6-10 ADCDB 11-12 CD

13. 或 14. 15. 16.

17．解: (Ⅰ)由题意得,所以，

（4分）

函数的最小正周期为,又, （6分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

所以

解得 （8分）

因为是第一象限角,故 （9分）

所以, （12分）

18 解：（1）证明：由题意知 则

　　　　　　　　（4分）

⑵

∴.

.　　 　　　　　　　　　　　　（6分）

过D作DH⊥BC于点H,连结PH,则同理可证明，

并且.

　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

易得

.

.　　　　　　　　　（11分）

故此四棱锥的表面积

（12分）

19. 解：(1)由条形图得第七组频率为∴第七组的人数为3人. （1分）

（4分）

（2）由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数800×0.18=144(人). （8分）

（3）基本事件有12个,恰为一男一女的事件有共7个,因此实验小组中，恰为一男一女的概率是.（12分）

20.解：（1） （6分）

（Ⅱ）

（8分）

，两式相减得：

（12分）

21解：（1）

解得：，椭圆方程为 （4分）

（2）①当斜率不存在时，由于点不是线段的中点，所以不符合要求；

②设直线方程为，代入椭圆方程整理得

解得 所以直线 （8分）

（3）化简曲线方程得：，是以为圆心，为半径的圆。当圆与直线相切时，，此时为，圆心。

由于直线与椭圆交于，

故当圆过时，最小。此时，。 （12分）

22.解：（Ⅰ）因为函数是奇函数，对，成立，

得（利用奇函数，得也给1分）

得 （2分）

从得

经检验是函数的极值点 （4分）

(Ⅱ)因为，，

从，得

，方程的判别式，两根

单调递增区间为 （7分）

②时，单调递增区间为和（8分）

(Ⅲ) 因为，当时，令得，其中

当变化时，与的变化情况如下表：

函数在上的最小值为与的较小者

又, ,

（10分）

由函数是奇函数，且，

时，，当时取得最大值

时， 时，，

函数的最小值为， （1 2分）

要使对任意，恒成立，则

，

即不等式在上有解，符合上述不等式，

存在满足条件的实数，使对任意，恒成立， （ 14分）

（附：求的方法二如下）

当时，,

当变化时，与的变化情况如下表：

又时，

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