1.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）

（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）109321·cn·jy·com

【答案】D

2.【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集合，则方程的解的个数是 ▲ .21教育名师原创作品

【答案】8

【解析】由于，则需考虑的情况，

在此范围内，且时，设，且互质，

若，则由，可设，且互质，

因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，

因此不可能与每个周期内对应的部分相等，

只需考虑与每个周期的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，

且处，则在附近仅有一个交点，

因此方程的解的个数为8．

3.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然数对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .21教育网

【答案】

4.【2016高考山东文数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）www.21-cn-jy.com

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

【解析】当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.

5.【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)= （ ）21*cnjy*com

（A）-2 （B）-1

（C）0 （D）2

【答案】D

【解析】当时，，所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D.

6.【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )

(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)

(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年

【答案】B

7.【2016高考北京文数】函数的最大值为_________.

【答案】2

【解析】，即最大值为2.

8.【2016高考天津文数】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.

9.【2016高考上海文科】

已知R，函数=.

（1）当 时，解不等式>1；

（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；

（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【答案】（1）．（2）或．（3）．

（3）当时，，，

所以在上单调递减．

函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，

所以时，有最小值，由，得．

故的取值范围为．

易错起源1、函数的零点

例1　(1)已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

(2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)21·世纪*教育网

A．2 B．3 C．4 D．5

答案　(1)B　(2)A

解析　(1)因为a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，

所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，

由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．

【变式探究】(1)函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,10)

(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)

A．1B．2C．3D．4

答案　(1)C　(2)B

解析　(1)∵f(2)＝lg2－<0，f(3)＝lg3－>0，

∴f(2)f(3)<0，

故f(x)的零点在区间(2,3)内．

【名师点睛】

函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．www-2-1-cnjy-com

易错起源2、函数的零点与参数的范围

例2、(1)对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是(　　)21*cnjy*com

A．(－2,1) B．[0,1]

C．[－2,0) D．[－2,1)

答案　D

解析　解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，

所以f(x)＝

函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．【出处：21教育名师】

如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.

(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．

①若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；

②确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1

＝－(x－e)2＋m－1＋e2，

∴其对称轴为x＝e，f(x)max＝m－1＋e2.

若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，则m－1＋e2>2e，即当m>－e2＋2e＋1时，g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．21世纪教育网版权所有

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_________________．

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

答案　(1)(－∞，2ln2－2]　(2)(0,2)

由f(x)＝|2x－2|－b＝0，

得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．

则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．

【名师点睛】

(1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数；

(2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x)的值域．

【锦囊妙计，战胜自我】

解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．21cnjy.com

易错起源3、函数的实际应用问题

例3、某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20<x<180时，q(x)＝a－b (a，b为实常数)．

(1)求函数q(x)的表达式；

(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．

(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，

由(1)得，f(x)＝

当0<x≤20时，f(x)＝＝126000－，

f(x)在(0,20]上单调递增，

所以当x＝20时，f(x)有最大值120000.

当20<x<180时，f(x)＝9000x－300·x，

f′(x)＝9000－450·，

令f′(x)＝0，得x＝80.

当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当80<x<180时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以当x＝80时，f(x)有最大值240000.

当x>180时，f(x)＝0.

答　当x等于80元时，总利润取得最大值240000元．

【变式探究】(1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为(　　)2·1·c·n·j·y

A．3000元 B．3800元

C．3818元 D．5600元

(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．

答案　(1)B　(2)4050

(2)设每辆车的月租金为x(x>3000)元，则租赁公司月收益为y＝(100－)·(x－150)－×50，整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.【来源：21·世纪·教育·网】

所以当x＝4050时，y取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元.2-1-c-n-j-y

【名师点睛】

(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．【来源：21cnj*y.co*m】

(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．

【锦囊妙计，战胜自我】

解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．【版权所有：21教育】

2018年高考数学（文）备考黄金易错点专题04+函数的应用（易错起源）