第2课时　完全平方公式

1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)

2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)

一、情境导入

1．分解因式：

(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；

2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？

二、合作探究

探究点一：用完全平方公式因式分解

【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式

下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　)

(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.

A．1个 　B．2个 C．3个 D．4个

解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.

方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．

【类型二】 运用完全平方公式分解因式

因式分解：

(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(a2＋4)2－16a2.

解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．

解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；

(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.

方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．

探究点二：用完全平方公式因式分解的应用

【类型一】 运用因式分解进行简便运算

利用因式分解计算：

(1)342＋34×32＋162；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.

解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．

解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.

方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．

【类型二】 利用因式分解判定三角形的形状

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．

解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．

方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．

【类型三】 整体代入求值

已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．

解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．

解： a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.

方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．

三、板书设计

1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.

2．完全平方公式的特点：

(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；

(2)有两个同号的平方项；

(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．

本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.第2课时　平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离

1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；

2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)

3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)

一、情境导入

小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？

二、合作探究

探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形

【类型一】 利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形

已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．

求证：(1)△AOC≌△BOD；

(2)四边形AFBE是平行四边形．

解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；

(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．

证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵∴△AOC≌△BOD(AAS)；

(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．

方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．

【类型二】 利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等

如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．

解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.

解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.

方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．

探究点二：平行线间的距离

如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．

解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．

证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.

方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．

探究点三：平行四边形判定和性质的综合

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.

(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；

(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．

解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝BC＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求出四边形AGCD的面积为6×8＝48.

解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE＝AG，DF＝DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；

(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴BG＝CG＝BC＝6.∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.

方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．

三、板书设计

1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；

2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．

3．平行四边形判定和性质的综合．

本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.

完全平方公式 优秀课教案