圆——知识点总结归纳

要点归纳

一．圆的认识

1．圆的定义

（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，
另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O
叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。

（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集
合，定点为圆心，定长为圆的半径。

说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半
径相等的两个圆为等圆。

2．圆的有关概念

（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中
的CD）。

（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。
直径等于半径的2倍。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如
右图中的、）

其中大于半圆的弧叫做优弧，如，小
于半圆的弧叫做劣弧。

（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。

3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4．过三点的圆。

（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。

5．垂径定理。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：

（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧。

（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6．与圆相关的角

（1）与圆相关的角的定义

①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角

②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。

（2）与圆相关的角的性质

①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

③同弧或等弧所对的圆周角相等；

④半圆（或直径）所对的圆周角相等；

⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；

⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

二．与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外

（2）点在圆上

（3）点在圆内

2．直线和圆的位置关系

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离

（1）直线和圆相离，直线与圆没有交点；

（2）直线和圆相切，直线与圆有唯一交点；

（3）直线和圆相交，直线与圆有两个交点。

3．圆的切线

（1）定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点。

（2）切线的判定定理

经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。

（3）切线的性质定理及推论

定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：

①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

4．两圆的位置关系

设R、r为两圆的半径，d为圆心距

（1）两圆外离；

（2）两圆外切；

（3）两圆相交；

（4）两圆内切；

（5）两圆内含。（注意：如果为，则两圆为同心圆。）

5．两圆连心线的性质

（1）相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角。（注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线的判定“到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，很易证明。）

（2）相切两圆的连心线必经过切点。

（3）相离两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角。

6．两圆公切线的性质

（1）如果两圆有两条外公切线，则两外公切线长相等。

（2）如果两圆有两条内公切线，则两内公切线长相等。

7．相交弦定理、切割线定理、切线长定理

（注：R表示⊙O的半径）

8．与圆有关的比例线段问题的一般思考方法

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；

（2）找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

9．与圆相关的常用辅助线

（1）有弦，可作弦心距；

（2）有直径，可作直径所对的圆周角；

（3）有切点，可作过切点的半径；

（4）两圆相交，可作公共弦；

（5）两圆相切，可作公切线；

（6）有半圆，可作整圆。

记忆口诀：有弦可作弦心距，中心圆心相连；两圆相切公切线，两圆相交公共弦；遇到切点作半径，圆与圆心连心；遇到直径相直角，直角相对点共圆。（注：“心连心”为连心线。）

10．圆外切三角形和四边形的性质

（1）如右图，△ABC是⊙O的外切三角形，D、E、F为切点，则

同理：直角三角形内切圆半径。（其中a、b为直角边，c为斜边）

（2）圆外切四边形两组对边和相等，即如右图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，则 AB+CD＝AD+BC。

三．圆中的计算问题

1．圆的有关计算

（1）圆周长：

（2）弧长：；

（3）圆面积：；

（4）扇形面积：；

（5）弓形面积：

2．圆柱

圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则。

3．圆锥

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c，半径等于圆锥母线长l，若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为，则，。

初三数学圆知识点总结