第一章 三角函数

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2、过程与方法

通过创设情境： “转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.

3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.

二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.

难点: 终边相同的角的表示.

三、学法与教学用具

之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.

教学用具:电脑、投影机、三角板

四、教学设想

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25

小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

【探究新知】

1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.

2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).

[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.

3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.

4.[展示投影]练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.

设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.

一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.

6.[展示投影]例题讲评

例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）

例2.写出终边在轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式

的元素写出来.

7.[展示投影]练习

教材第3、4、5题.

注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

8.学习小结

(1) 你知道角是如何推广的吗?

(2) 象限角是如何定义的呢?

(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在轴、轴、直

线上的角的集合.

五、评价设计

1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．

2．多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，

进一步理解具有相同终边的角的特点．

1.1.2弧度制

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.

2、过程与方法

创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.

3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.

二、教学重、难点

重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.

难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.

三、学法与教学用具

在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.

教学用具:计算器、投影机、三角板

四、教学设想

【创设情境】

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

【探究新知】

1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.

2.弧度制的定义

[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

4.思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?

角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.

5.根据探究中填空:

,度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

6.例题讲解

例1.按照下列要求,把化成弧度:

(1) 精确值；

(2) 精确到0.001的近似值.

例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.

7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

8.例题讲评

例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

(1); (2); (3).

其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.

例4.利用计算器比较和的大小.

注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.

9.练习

教材.

9.学习小结

(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

五、评价设计

1．作业：习题1.1 A组第7,8,9题．

2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．

任意角的三角函数

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

授课类型：新授课

教学模式：讲练结合

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．三角函数的定义及定义域、值域：

练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。

解：由题设知，，所以，得，

从而，解得或．

当时，，

；

当时，，

；

当时，，

．

2．三角函数的符号：

练习2：已知且，

（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。

3．诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值：

（1）， （2）， （3）．

二、讲解新课：

当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

3．三角函数线的定义：

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，

过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延

长线交与点.

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

， ，

．

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦

线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位

圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

足；正切线由切点指向与的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的

为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）； （2）； （3）； （4）．

解：图略。

例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1 与 2 tan与tan 3 cot与cot

解： 如图可知：

tan tan

cot cot

例4．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。

（1）； （2）；

（3）且；

（4）； （5）且．

答案：（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）．

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

1.2.2同角三角函数的基本关系

一、教学目标：

1、知识与技能

(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.

2、过程与方法

由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

3、情态与价值

通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.

二、教学重、难点

重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.

三、学法与教学用具

利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.

教学用具:圆规、三角板、投影

四、教学设想

【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

【探究新知】

1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.

根据三角函数的定义,当时,有.

这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.

2. 例题讲评

例6.已知,求的值.

三者知一求二,熟练掌握.

3. 巩固练习页第1,2,3题

4.例题讲评

例7.求证: .

通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.

5.巩固练习页第4,5题

6.学习小结

（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，．

（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

五、评价设计

(1) 作业：习题1.2A组第10,13题.

(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关

系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.

同角三角函数的基本关系

教学目标：

1．进一步提高学生对三角函数定义的认识，通过本节课的学习，学生能够利用定义探究同角三角函数的基本关系式．

2．鼓励学生发展实验观察、分析联想等技能，深化数形结合、分类讨论和等价转化的思想，提高学生从特殊到一般的意识，完成此课后学生能够初步应用同角三角函数基本关系式处理求值、证明和化简这三类问题．

3．培养学生对数学学科的兴趣，体验成果发现的愉悦，完成此课后学生能够对具体问题开展合作交流、探究学习．

教学重点：利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数基本关系式，应用公式解决问题．

教学难点：求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终结果，以及在恒等变形过程中公式的灵活应用．

教学方法：探究式、讲解法

教学用具：常规

授课类型：新知课

授课时数：1

教学过程：

一、复习引入：

1．在角的终边上任取一点，它与原点的距离为1，请分别写出角的正弦、余弦和正切值．

2．若角在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线．

3．请分别计算下列各式：

（1）

（2）

（3）（4）

二、探究新知：

探究1、三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的.你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的三角函数之间的关系？

问题1．观察第3题的结论，你有何发现？

问题2．以上结论对任一个角都成立吗？你能够说明吗？

（1）对任一个角都成立；

对任何一个不等于的角都成立．

（2）说明方法1：用三角函数的定义说明（利用定义）

说明方法2：用三角函数线说明（数形结合）

（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义.

结论：同角三角函数的基本关系：

文字语言：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．

符号语言：平方关系——（注意与的区别）

商数关系——

说明：“同角”有两层含义：

一、“角相同”（也成立），

二、对“任意角”（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立．

三、新知应用：

例1．已知若是第三象限角，求的值．

解：

变化1、已知求的值．

变化2、，求的值.

变化3、已知，求的值．

例2．求证：

证法1、由

所以原等式成立.

证法2、

点评：证明恒等式常用方法：

例3．化简下列各式：

（1） （2） （3）

点评：（1）公式的“变用”与“逆用”

（2）化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简题一定要尽量化成最简形式，本题不是特殊角，一般无须求出其余弦值，结果应最简（最好是常数）．

变化1、已知，试求下列各式的值：

（1） （2）

四、课堂总结：同角三角函数基本关系

五、课后作业：

六、板书设计：课题----

同角三角函数的基本关系 例1 例2 例3

七、课后反思：

1.3 三角函数的诱导公式

一、教材分析

（一）教材的地位与作用：

1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。

2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

（二）教学重点与难点：

1、教学重点：诱导公式的推导及应用。

2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、教学目标

1、知识与技能

（1）识记诱导公式．

（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．

2、过程与方法

（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．

（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．

（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．

3、情感态度和价值观

（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．

（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．

三、教学设想

三角函数的诱导公式（一）

（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题

I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

1、提问：试叙述三角函数定义

2、提问：试写出诱导公式（一）

3、提问：试说出诱导公式的结构特征

4、板书诱导公式（一）及结构特征：

诱导公式（一）

结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等

②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。

5、问题：试求下列三角函数的值

（1）sin1110° （2）sin1290°

学生：（1）sin1110°=sin（3×360°+30°）=sin30°=

（2）sin1290°=sin（3×360°+210°）=sin210°

（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）

6、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：

演示（一）

（1）210°能否用（180°+）的形式表达？

（0°＜＜90°＝（210°=180°+30°）

（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）

（3）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？（关于原点对称）

（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？ [p＇（－x,－y）]

（5）sin210°与sin30°的值关系如何？

7、师生共同分析：

在求sin210°的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称，借助三角函数定义，把180°～270°角的三角函数值转化为求0°～90°角的三角函数值。

8、导入课题：对于任意角，sin与sin（180+）的关系如何呢？试说出你的猜想。

（二）运用迁移规律，引导学生联想类比、归纳、推导公式

（I）1、引导学生观察演示（二），并思考下列问题二：

设为任意角 演示（二）

（1）角与（180°+）的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）

（2）设与（180°+）的终边分别交单位圆于p，p′，则点p与

p′具有什么关系？ （关于原点对称）

（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？ [p′（－x,－y）]

（4）sin与sin（180°+）、cos与cos（180°+）关系如何？

（5）tg与tg（180°+）

（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？

2、教师针对学生思考中存在的问题，适时点拨、引导，师生共同归纳推导公式。

（1）板书诱导公式（二）

（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）

②把求（180°+）的三角函数值转化为求的三角函数值。

3、基础训练题组一：求下列各三角函数值（可查表）

①cos225° ②tg－π ③sinπ

4、用相同的方法归纳出公式：

sin（π－）=sin

cos（π－）=－cos

tg（π－）=－tg

5、引导学生观察演示（三），并思考下列问题三：

演示（三）

（1）30°与（－30°）角的终边关系如何？ （关于x轴对称）

（2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与

p′的关系如何？

（3）设点p（x,y），则点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]

（4）sin（－30°）与sin30°的值关系如何？

6、师生共同分析：在求sin（－30°）值的过程中，我们利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin（－30°）的值。

（Ⅱ）导入新问题：对于任意角 sin与sin（－）的关系如何呢？试说出你的猜想？

1、引导学生观察演示（四），并思考下列问题四：

设为任意角 演示（四）

（1）与（－）角的终边位置关系如何？ （关于x轴对称）

（2）设与（－）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（关于x轴对称）

（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]

（4）sin与sin（－）、 cos与cos（－）关系如何？

（5）tg与tg（－）

（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？

2、学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视及时反馈、矫正、讲评

3、板书诱导公式（三）

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角）

②把求（－）的三角函数值转化为求的三角函数值

4、基础训练题组二：求下列各三角函数值（可查表）

1 sin（－） ②tg（－210°） ③cos（－240°12′）

（三）构建知识系统、掌握方法、强化能力

I、课堂小结：（以填空形式让学生自己完成）

1、诱导公式（一）、（二）、（三）

用相同的方法，归纳出公式

Sin(π－α)＝Sin

Cos(π－α)＝－cosα

Ten(π－α)＝－tanα

2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）

（Ⅱ）能力训练题组：（检测学生综合运用知识能力）

1、已知sin(π+)=（为第四象限角），求cos(π+)+tg(－)的值。

2、求下列各三角函数值

（1）tg(－ π) （2）sin(＝－ π)

（3）cos(－5100151) （4）sin(－)

（III）方法及步骤：

（IV）作业与课外思考题

通过上述两题的探索，你能推导出新的公式吗？

（四）、教法分析

根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课彩了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法。

（1）利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的。

（2）由（1800＋300）与300、（－300）与300终π－与）边对称关系的特殊例子，利多媒体动态演示。学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行导，问题类比、方法迁移，发现任意角α与（1800＋α）、－α终边的对称关系，进行寅，从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力。

（3）采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法。旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。

（4）通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式（一）、（二）、（三）、四的应用进一步拓广，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力。

三角函数的诱导公式（二）

一、教材分析

（一）教材的地位与作用：

1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。

2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

（二）教学重点与难点：

1、教学重点：诱导公式的推导及应用。

2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、教学目标

1、知识与技能

（1）识记诱导公式．

（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．

2、过程与方法

（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．

（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．

（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．

3、情感态度和价值观

（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．

（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．

三、教学设想

（一）、复习：

诱导公式（一）

诱导公式（二）

诱导公式（三）

诱导公式（四）

对于五组诱导公式的理解 ：

①

②这四组诱导公式可以概括为：

总结为一句话：函数名不变，符号看象限

练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简

（二）、新课讲授：

1、诱导公式（五）

2、诱导公式（六）

总结为一句话：函数正变余，符号看象限

例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

练习3：求下列函数值：

例2．证明：（1）

（2）

例3．化简：

解：

小结：

①三角函数的简化过程图：

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习4：教材P28页7．

(三)．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．

四．课后作业：

三角函数的诱导公式（三）

一、复习：

诱导公式（一）

诱导公式（二）

诱导公式（三）

诱导公式（四）

sin( － )=sin cos( － )=－cos tan ( － )=－tan

诱导公式(五)

诱导公式（六）

二、新课讲授：

练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

练习2：求下列函数值：

例1．证明：（1）

（2）

例2．化简：

解：

例4.

小结：

①三角函数的简化过程图：

②三角函数的简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

练习3：教材P28页7．

化简:

例5.

三．课堂小结

①熟记诱导公式五、六；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；

③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．

四．课后作业：

1.4.1正弦、余弦函数的图象

教学目标：

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；

（2）根据关系，作出的图象；

（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；

能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；

教学难点：作余弦函数的图象。

教学过程：

一、复习引入：

1．弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

P与原点的距离r()

则比值叫做的正弦 记作：

比值叫做的余弦 记作：

3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

，

向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

二、讲解新课：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.

第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.

把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.

（2）余弦函数y=cosx的图象

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.（课件第三页“平移曲线” ）

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) ( ,0) (,-1) (2 ,0)

余弦函数y=cosx x [0,2 ]的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) ( ,-1) (,0) (2 ,1)

只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以

3、讲解范例：

例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　 （2）y=-COSx

●探究2． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到

（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；

（2）y=sin(x- π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

● 探究３．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，

ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：这两个图像关于X轴对称。

●探究４．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，

再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。

●探究５．

不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。

小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx

这两个函数相等，图象重合。

例2　分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

三、巩固与练习

四、小结：本节课学习了以下内容：

1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法

2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系

五、课后作业：

1.4.2正弦、余弦函数的性质

教学目标：

1、知识与技能

掌握正弦函数和余弦函数的性质．

2、过程与能力目标

　　 通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．

3、情感与态度目标

　　 渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点．

教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。

正弦、余弦函数的性质(一)

教学过程：

一、复习引入：

1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

正弦函数性质如下：

（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2 规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔2k ,k Z重复出现）

3 这个规律由诱导公式sin(2k +x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当增加（）时，总有．

也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意，恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？

（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）

（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？

（是，其原因为：）

2、说明：1 周期函数x 定义域M，则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2 “每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t) f (x0)）

3 T往往是多值的（如y=sinx 2 ,4 ,…,-2 ,-4 ,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期）

从图象上可以看出，；，的最小正周期为；

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）

3、例题讲解

例1 求下列三角函数的周期： ① ②（3），．

解：（1）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

所以，函数，的周期是．

（2）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

所以，函数，的周期是．

（3）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

所以，函数，的周期是．

练习1。求下列三角函数的周期：

1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)

解：1 令z= x+ 而 sin(2 +z)=sinz 即：f (2 +z)=f (z)

f [(x+2) + ]=f (x+) ∴周期T=2

2 令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2 )=cos(2x+2 )=cos[2(x+ )]

即：f (x+ )=f (x) ∴T=

3 令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2 )=3sin(++2 )

=3sin()=f (x+4 ) ∴T=4

思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？

说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；

（2）若，如：①； ②； ③，．

则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数及函数，的周期

思考： 求下列函数的周期： 1 y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx|

解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1= y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=

∴T为T1 ,T2的最小公倍数2 ∴T=2

2 T= 作图

三、巩固与练习P36面

四、小 结：本节课学习了以下内容：

周期函数的定义，周期，最小正周期

五、课后作业：

正弦、余弦函数的性质(二)

教学目标：

1、知识与技能

掌握正弦函数和余弦函数的性质．

2、过程与能力目标

　　 通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．

3、情感与态度目标

　　 渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点．

教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。

教学过程：

一、 复习引入：

偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？

二、讲解新课：

1. 奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

2.单调性

从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；

在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

3.有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

y=sinx的对称轴为x= k∈Z y=cosx的对称轴为x= k∈Z

练习1。（1）写出函数的对称轴；

（2）的一条对称轴是（ C ）

(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线

思考：P46面11题。

4.例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性

(1) (2)

例2 函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .

例3．P38面例3

例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；

① ②

例5 求函数 的单调递增区间；

思考：你能求的单调递增区间吗？

练习2：P40面的练习

三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质

1． 单调性

2． 奇偶性

3． 周期性

四、课后作业：

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象

一、教学分析

本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.

如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.

本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.

二、教学目标：

1、知识与技能

借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；引导学生认识y＝Asin(ωx+φ) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.

  2、过程与方法

通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.

  3、情感态度与价值观

经历对函数y＝sin x到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;  培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.

三、教学重点、难点：

重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.

  难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．

四、教学设想：

函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）

（一）、导入新课

思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

（二）、推进新课、新知探究、提出问题

①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？

②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？

③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.

④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).

⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.

⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？

活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.

图1

问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.

如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.

问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:

y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.

问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:

图2

如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.

当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:

函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.

图3

问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:

函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.

由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.

一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:

先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.

由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.

（三）、讨论结果:

①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.

②略②略.

③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.

④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.

⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.

（四）、规律总结:

先平移后伸缩的步骤程序如下:

y=sinx的图象得y=sin(x+φ)的图象

得y=sin(ωx+φ)的图象

得y=Asin(ωx+φ)的图象.

先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.

y=sinx的图象得y=Asinx的图象

得y=Asin(ωx)的图象

得y=Asin(ωx+φ)的图象.

（五）、应用示例

例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.

(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝,ω＝,A＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.

图4

(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.

(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.

解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为

y=sinxy=sin(x-)

y=sin(x-)

y=2sin(x-).

方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为