平面向量知识点总结

第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。

一． 向量的概念：

1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。

2．  向量的表示方法：  

  （1） 几何表示法：点—射线      有向线段——具有一定方向的线段      有向线段的三要素：起点、方向、长度      记作（注意起讫） 

 （2） 字母表示法：ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png可表示为89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png

3.模的概念：向量ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png的大小——长度称为向量的模。

记作：|ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png| 模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

1 零向量——长度（模）为0的向量，记作124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png。124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png的方向是任意的。 注意124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png与0的区别

2 单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

二． 向量间的关系：

1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

word/media/image4.gif 记作：89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png∥7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png∥7e27663a13146129da69aaf0a7b57510.png

规定：124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png与任一向量平行

2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png=7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png

规定：124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png=124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

所以平行向量也叫共线向量。

三． 向量的加法：

1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

word/media/image8.gif2．三角形法则：

强调：

1 “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点

2 可以推广到n个向量连加

3 f8ebf1d912b91b60e71f03322fbdc44d.png

4 不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3.加法的交换律和平行四边形法则

1 向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：

2 向量加法的交换律：89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png+7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png=7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png+89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png

3 向量加法的结合律：(89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png+7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png) +7e27663a13146129da69aaf0a7b57510.png=89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png+ (7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png+7e27663a13146129da69aaf0a7b57510.png)

4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。

四． 向量的减法：

1.用“相反向量”定义向量的减法

1 “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 a

2 规定：零向量的相反向量仍是零向量。 ( a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + ( a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0

3 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b

3.向量减法做图：ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png表示a b。强调：差向量“箭头”指向被减数

总结：1 向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、

相等向量、共线向量

2 向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律

五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)

1.实数与向量的积

实数λ与向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png的积，记作：λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png

定义：实数λ与向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png的积是一个向量，记作：λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png

1 |λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png|=|λ||8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png|

2 λ>0时λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png与8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png方向相同；λ<0时λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png与8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png方向相反；λ=0时λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png

2．运算定律：结合律：λ(μ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png)=(λμ)8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png ①

第一分配律：(λ+μ)8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png+μ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png ②

第二分配律：λ(8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png+0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png)=λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png+λ0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png ③

3.向量共线充要条件：

向量0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png与非零向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png=λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png

六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）

平面向量基本定理：如果1bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png，a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平面内的任一向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png，有且只有一对实数λ1，λ2使8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=λ11bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png+λ2a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png

注意几个问题：1 1bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png、a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2 这个定理也叫共面向量定理

3 λ1，λ2是被8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png，1bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png，a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png唯一确定的数量

第二部分：向量的坐标运算

七．向量的坐标表示与坐标运算

1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示

取x轴、y轴上两个单位向量a67059d34301ccf62dfba0d13ad6b841.png, aeed8e29594ad0b39f09701571f57323.png作基底，则平面内作一向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=xa67059d34301ccf62dfba0d13ad6b841.png+yaeed8e29594ad0b39f09701571f57323.png，

记作：8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=(x, y) 称作向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png的坐标

2．注意：1 每一平面向量的坐标表示是唯一的；

2 设A(x1, y1) B(x2, y2) 则ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png=(x2 x1, y2 y1)

3 两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

4．实数与向量积的坐标运算：已知8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=(x, y) 实数λ

则λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=λ(xa67059d34301ccf62dfba0d13ad6b841.png+yaeed8e29594ad0b39f09701571f57323.png)=λxa67059d34301ccf62dfba0d13ad6b841.png+λyaeed8e29594ad0b39f09701571f57323.png

∴λ8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png=(λx, λy)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

八．向量平行的坐标表示

结论：8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png∥0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png (0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png 124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png)的充要条件是x1y2-x2y1=0

注意：1 消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png 124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png

∴x2, y2中至少有一个不为0

2 充要条件不能写成9bb332100fb02e6e1be9ef183c3f5444.png ∵x1, x2有可能为0

3 从而向量共线的充要条件有两种形式：8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png∥0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png (0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png 124ae09a3a6da4c750fdcee3d5ef406f.png)176c4696dca414db531aba5a0cb76a39.png

九．线段的定比分点：

1． 线段的定比分点及λ

P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，

word/media/image22.gif使 21ae25b3dd0d262781774e5b344da7af.png=λb90361c2ee58927c770d465ce6981c8c.png λ叫做点P分c5f21a2366847a7d2459ebcb9eecd93f.png所成的比，有三种情况：

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)

2.定比分点坐标公式15b9241745e424ec4312df0bb52b71da.png

word/media/image27.gif3．中点公式：若P是c5f21a2366847a7d2459ebcb9eecd93f.png中点时，λ=1 93e8ba1f2b35156a2b9d1299dbbf3ad9.png

4．注意几个问题：

1 λ是关键，λ>0内分

λ<0外分

λ -1 若P与P1重合，

λ=0 P与P2重合

λ不存在

2 中点公式是定比分点公式的特例

3 始点终点很重要，如P分c5f21a2366847a7d2459ebcb9eecd93f.png的定比λ=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png 则P分c5406ed5185aa8c1bb34d44ddf9cf68b.png的定比λ=2

4 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一

十．平面向量的数量积及运算律

（一）平面向量数量积

1． 定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = |a||b|cos ，

word/media/image31.gif 并规定0与任何向量的数量积为0。

2． 向量夹角的概念：范围0 ≤ ≤180

3． 注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

1 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。

2 两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3 在实数中，若a 0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a 0，且a b=0，不能推出b=0。因为其中cos 有可能为0。这就得性质2。

word/media/image32.gif 4 已知实数a、b、c(b 0)，则ab=bc a=c。但是a b = b c a = c

如右图：a b = |a||b|cos = |b||OA|

b c = |b||c|cos = |b||OA|

ab=bc 但a c

5 在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。

（二） 投影的概念及两个向量的数量积的性质：

1．“投影”的概念：作图

word/media/image33.gif

定义：|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影。

注意：1 投影也是一个数量，不是向量。

2 当 为锐角时投影为正值；

当 为钝角时投影为负值；

当 为直角时投影为0；

当 = 0 时投影为 |b|；

当 = 180 时投影为 |b|。

2．向量的数量积的几何意义：

数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos 的乘积。

3．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

1 e a = a e =|a|cos

2 a b a b = 0

3 当a与b同向时，a b = |a||b|；当a与b反向时，a b = |a||b|。

特别的a a = |a|2或f2893fe9e42fcb3facfe99b789fd5d02.png

4 cos =46d4d1bf2584f8c004f4528b31afec0c.png

5 |a b| ≤ |a||b|

十一. 平面向量的数量积的运算律

1. 交换律：a b = b a

2. 结合律：(6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.pnga) b =6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png(a b) = a (6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.pngb)

3. 分配律：(a + b) c = a c + b c

十二. 平面向量的数量积的坐标表示

1.设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i i = 1，j j = 1，i j = j i = 0

b = x1x2 + y1y2

3.长度、角度、垂直的坐标表示

1 a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =c5bd85f4f0c404af6031e092e125e9ea.png

2 若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png=

3 cos =a2a2f44d96495720a2541e8db751f7dd.png

4 ∵a b a b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）

十三.平移

一、 平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）一个平移实质上是一个向量

二、 平移公式：设588f8567aeba63b320e4a7fae09e29c8.png= (h, k)，即：4e83e7d6e0ef77274e37832822d67148.png

∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k) ∴936238d4a74226f9d68176fad83c2bc8.png —— 平移公式

三、 注意：1 它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系

2 知二求一

3 这个公式是坐标系不动，点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点P’(x’, y’)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量 a，即：5fa9011f5a335c04e350c76115268b1e.png。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的，

这两个公式作用是一致的。

十四. 正弦定理

1 正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等

公式即：8e7c33e605e428ff6b44d50cf52efa1d.png=3eb414f792e1dd368d75514b69d96eea.png=8067ba1ef2aa1e49ae55f588dd9002da.png它适合于任何三角形。

2 可以证明8e7c33e605e428ff6b44d50cf52efa1d.png=3eb414f792e1dd368d75514b69d96eea.png=8067ba1ef2aa1e49ae55f588dd9002da.png=2R （R为△ABC外接圆半径）

3 每个等式可视为一个方程：知三求一

从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

十五. 余弦定理

1．余弦定理语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

2. 余弦定理公式：

5baa7775d27835aba37638abd1c50c6a.png

5361e2844311341d3b96ef7b4dfc08bc.png

e8c5fc33ca5e71b23433548560bfe291.png

4.强调几个问题：

1 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等

2 知三求一

3 当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

4 变形：d99d4c91dfd2eac1daf1c93c376a48d1.png 83ebaff7adebfde5ad0addbcecc646c9.png 4952a2ee891620e337fae53bc06354dc.png

三、余弦定理的应用

能解决的问题：1．已知三边求角

2．已知三边和它们的夹角求第三边

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