江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷

（江西师大附中使用）高三理科数学分析

一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析

1．【试卷原题】11.已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．

【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用，，表示其它向量。

2．找不出与的夹角和与的夹角的倍数关系。

【解题思路】1．把向量用，，表示出来。

2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

【解析】设单位圆的圆心为O，由得，，因为，所以有，则

设与的夹角为，则与的夹角为2

所以，

即，的最小值为，故选B。

【举一反三】

【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知 ,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 .

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.

【答案】

【解析】因为，，

，，

当且仅当即时的最小值为.

2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点，其准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为．

（Ⅰ）证明：点在直线上；

（Ⅱ）设，求内切圆的方程.

【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】1．设直线的方程为，致使解法不严密。

2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。

【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。

2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。

3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

【解析】（Ⅰ）由题可知，抛物线的方程为

则可设直线的方程为，，

故整理得，故

则直线的方程为即

令，得，所以在直线上.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，

又，

故，

则，故直线的方程为或

，

故直线的方程或，又为的平分线，

故可设圆心，到直线及的距离分别为-------------10分

由得或（舍去）.故圆的半径为

所以圆的方程为

【举一反三】

【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.

【答案】（1）y2＝4x.

（2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

【解析】（1）设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，

所以C的方程为y2＝4x.

（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．

代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，

|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．

又直线l ′的斜率为－m，

所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.

将上式代入y2＝4x，

并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.

设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．

故线段MN的中点为E，

|MN|＝|y3－y4|＝.

由于线段MN垂直平分线段AB，

故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，

从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即

4(m2＋1)2＋＋＝

，

化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，

故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

三、考卷比较

本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面：

1. 对学生的考查要求上完全一致。

即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则．

2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）

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