2017-2018学年第二学期十校联合体高二期末联考

数 学 试 卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分120分，考试时间是120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（ ）

A、至少有一个黑球与都是黑球 B、至少有一个黑球与至少有一个红球

C、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D、至少有一个黑球与都是红球

3、随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,，且，则的值为( )

A、 B、 C、11 D、10

4、若，则有（ ）

A、 B、 C、 D、

5、已知函数，则“”是“在R上单调递增”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

6、5个人排成一列，其中甲不排在末位，且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（ ）

A、18种 B、36种 C、48种 D、54种

7、已知定义在上的函数和满足，且

，则下列不等式成立的是（ ）

A． B．

C． D．

8、在三棱锥中，已知两两垂直且相等，点分别是线段和

上的动点，且满足, ,则和所成角的余弦值的取值范

围是( )

A、 B、 C、 D、

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9、若复数为纯虚数，则实数________，

10、设随机变量，则_____________， _______

11、已知，

则______________，被8除的余数是________

12、设袋中共有6个大小相同的球，其中3个红球，2个白球，1个黑球。若从袋中任取3

个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是_____________

13、已知函数，，直线与曲线切于点

，且与曲线切于点，则__________，直线的方程为________________

14、在棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，则______

15、已知函数f（x）＝（3x＋1）＋kx（k≥－2），若存在唯一整数m，使f（m）≤0，

则实数k的取值范围是________________

三、解答题:本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。

16、（本题满分10分）已知展开式的二项式系数之和为256，展开式中含项的系数为112，

（1）求的值；

（2）求展开式中含项的系数

17、（本题满分10分）已知，

（1）求，，，；

（2）猜想与的关系，并证明之.

18、（本题满分10分）某甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，

且ξ的数学期望Eξ=，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值。

(1)求s的值及的分布列，

(2)求的数学期望.

19、(本题满分10分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.

(1)求证：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

20、（本题满分12分） 已知函数

（1）当时，求函数的极值点；

（2）当时，若恒成立，试求的最大值；

（3）在（2）的条件下，当取最大值时，设，并

设函数有两个零点，求证：

2015学年第二学期十校联合体高二期末联考

答案

1.A

【解析】本题主要考查复数的四则运算、复数的几何意义.,在复平面内对应点为(1,2),位于第一象限,故选A.

2.D

【解析】本题主要考查互斥事件和对立事件的概念。互斥事件指的是在一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件是不能同时发生且必然有一个发生的两个事件.两个事件互斥，不一定对立，反之两个事件对立则必互斥，“至少有一个黑球”与“都是黑球”有公共部分，故A错；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”也有公共部分，故C错；“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故B错；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”互斥不对立，故D正确.

3.B

【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列.由题意可得,则,故选B.

4.C

【解析】本题主要考查不等式的性质.因为,且,则,所以,故选C.

5.A

【解析】本题主要考查导数、函数的性质、充分条件与必要条件.,则故在R上单调递增,充分性成立;当在R上单调递增时,恒成立,所以,必要性不成立,故选A.

6.D

【解析】本题主要考查有限制条件的排列与组合,考查了分类讨论思想.(1)甲排首位时,乙有3种站法,其余3人任意排列,共有种不同的方法;(2)甲站在第二、第三或第四位时,乙有2种站法,其余3人任意排列,共有种不的方法,因此不的排列方法有种,故选D.

7.D

【解析】本题主要考查导数、函数的性质、函数解析式与求值,考查了函数的构造、逻辑思维能力与计算能力.=,,则,所以,则,令,因为,所以,即函数在R上是减函数,所以即化简可得:,故选D.

8.B

【解析】本题主要考查空间向量的应用、异面直线所成的角,考查了数形结合思想与空间想象能力.根据题意,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设OA=OB=OC=2,,设P(x,y,0),Q(0,0,z),因为,所以1x2,0y1且x+y=2,0z1,,当x=1,z=1时,;当x=2,z=1时,;当x=2,z=0时,,因此,答案为B.

9.1 ,

【解析】本题主要考查纯虚数和复数的四则运算.因为复数为纯虚数,所以,则m=1,故.

10.,8

【解析】本题主要考查二项分布的期望与方差公式.因为随机变量,则;, .

11.2 , 7

【解析】本题主要考查二项式定理与性质,考查了赋值法求值.令x=1可得,令x=2可得=1,所以,显然被8除的余数是7.

12.

【解析】本题主要考查古典概型.根据题意,所取3个球中至少有2个红球的概率.

13.,

【解析】本题主要考查导数的几何意义,考查了计算能力.,由题意可得,则a=b,又,即a=b=,则;所以直线l的方程为.

14.

【解析】本题主要考查空间向量的基本定理与数量积,考查了逻辑思维能力与空间想象能力.由题意,,则=.

15.

【解析】本题主要考查函数的性质,考查了逻辑思维能力与计算能力.因为, 若存在唯一整数m,使f(m)≤0,则,所以,所以,所以实数k的取值范围是.

16.(1)由二项式系数之和为,可得,

设含的项为第项,则,

故,即,

则,解得,

,

.

(2)由(1)知,

所以含项的系数为.

【解析】查题主要考查二项式定理,考查学生的计算能力. (1)由题意,二项式系数之和为,求出n=8,通项,令,则易求结果;(2)由(1)知,易知含项的系数为.

17.(1),

.

(2)猜想:,

即.

下面用数学归纳法证明:

①当时,;

②假设当时,,

即,

那么当时,

即当时,等式也成立,

由①②可知,对任意都成立.

【解析】本题主要考查数学归纳法,考查了逻辑思维能力与计算能力.(1)由已知即可求出值;(2)猜想:,再利用数学归纳法,由时,成立,推出时,也成立,即证猜想成立.

18.(1)依题意知ξ∽B(2,s),故Eξ=2s=,∴s=.

(2)的取值可以是0,1,2,

甲,乙两人命中10环的次数均为0次的概率是,

甲,乙两人命中10环的次数均为1次的概率是,

甲,乙两人命中10环的次数均为2次的概率是,

∴(=0)=.

甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是,

甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是.

∴=2)= =,

∴=1)=1(=0)(=2)=,

故的分布列是

E=.

【解析】本题主要考查独立重复事件同时发生的概率、二项分布、离散型随机变量的分布列与期望,考查了分类讨论思想以及学生的逻辑思维能力与计算能力.(1) 依题意知ξ∽B(2,s),则结果易得;(2)的取值可以是0,1,2,再求出=0即两人命中10环的次数相同、=1即两人命中10环的次数相差1、=2即两人命中10环的次数相差2的概率,即可求出的分布列与期望.

19.(1)证明:在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE.

又因为AB⊄平面PDE,所以AB∥平面PDE.

因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE＝FG,

所以AB∥FG.

(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),＝(1,1,0).

设平面ABF的法向量为n＝(x,y,z),

则即

令z＝1,则y＝-1.所以n＝(0,-1,1).

设直线BC与平面ABF所成角为α,

则sin α＝|cos<n,>|＝＝,

因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.

设点H的坐标为(u,v,w).

因为点H在棱PC上,所以可设＝λ(0<λ<1),

即(u,v,w-2)＝λ(2,1,-2),

所以u＝2λ,v＝λ,w＝2-2λ.

因为n是平面ABF的法向量,

所以n·＝0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)＝0,

解得λ＝.

所以点H的坐标为.

所以PH＝.

【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质、直线与平面所成的角、空间向量的应用,考查了逻辑思维能力、空间想象能力.(1)先证明AB∥平面PDE,再利用线面平行的性质定理,即可证明结论;(2)根据题意,建立空间直角坐标系,求出平面ABF的一个法向量n,利用公式sin α＝|cos<n,>|＝,即可求出直线与平面所成的角;设点H的坐标为(u,v,w),设＝λ (0<λ<1),根据题意,n·＝0,求解可得结果.

20.(1)时,,

当时,,

当时,,

在内单调递增,在内单调递减,

故函数有唯一的极大值点,无极小值点.

(2)时,,设,

则.

当时,则,所以在内单调递增,

又且时,与题意矛盾,舍.

当时,则,所以在内单调递增,单调递减,

所以,

所以,

故的最大值为1

(3)由(2)知,当取最大值1时,

,

记

,

不妨设,由题意,

则,

欲证,只需证明:,只需证明:,

即证:,

即证,设,则只需证明:,

也就是证明:

记,

在单调递增,

,所以原不等式成立.

【解析】本题主要考查导数、函数的性质、零点与极点,考查了分类讨论思想和学生的逻辑思维能力与计算能力.(1)求出,由导数判断函数的单调性,即可求出函数的极点;(2)由题意,设, 则,分两种情况讨论函数的单调性,并求出的最小值,根据恒成立问题的性质,即可求出结果;(3)由(2)知,当取最大值1时,,记,不妨设,由题意,则,再利用分析法,执果索因,即可证明结论.

浙江省温州市十校联合体2017-2018学年高二下学期期末联考数学试卷 Word版含解析