2 双Cayley图的特征值

令word/media/image1.gif为有限群，并且word/media/image2.gif是word/media/image1.gif，word/media/image3.gif，word/media/image4.gif的所有不可约不等式word/media/image1.gif表示的集合，word/media/image5.gif是度数，酉矩阵表示和分别为word/media/image6.gif，word/media/image7.gif的相应不可约性。对于word/media/image1.gif的子集X和word/media/image8.gif，我们设置word/media/image9.gif：word/media/image10.gif。注意，如果word/media/image1.gif是有限的阿贝尔群，则每个单位不可约矩阵表示是不可约的字符，word/media/image11.gif对于每个word/media/image8.gif，word/media/image12.gif =1。此外，众所周知，对于word/media/image1.gif的每个不可约性字符χ和每个g∈G，word/media/image13.gif是word/media/image14.gif的复共轭。我们在本节中使用这些符号。

对于正整数word/media/image15.gif，如果word/media/image16.gif的完全自同构群具有与具有word/media/image15.gif个轨道的word/media/image1.gif同构的半正规子群，则图Γ在组word/media/image1.gif上被称为n-Cayley图。最近，本文作者在[5]中确定了n-Cayley图的特征值。由[5，引理2]，word/media/image15.gif凯利图由G的n2个子集Tij，1≤i，j≤n表征（某些子集可能为空）。 G组的n-Cayley图可以通过图Γ= Cay（G，Tij |1≤i，j≤n）来识别，其中Tij是G的子集，V（Γ）= G×{1，当且仅当yx-1∈Tij（见[5]）时，（x，i）与（y，j）相邻。请注意，一些作者半Cayley [13,8]和一些作者双Cayley图[12]调用了2-Cayley图。本文研究的双Cayley图的概念，在[15]中定义了[12]中定义的双Cayley图的特殊情况。因此，我们遵循[15]并将其称为G相对于S的双Cayley图。

根据双Cayley图的定义，word/media/image17.gif，其中word/media/image18.gif，word/media/image19.gif =word/media/image20.gif和word/media/image21.gif=word/media/image22.gif现在，以下定理是[5]的主要定理的直接结果。

定理2.1。 令word/media/image23.gif与邻接矩阵word/media/image24.gif.，令

word/media/image25.gif

其中word/media/image26.gif是具有所有条目0的word/media/image27.gif矩阵。然后word/media/image28.gif，其中word/media/image29.gif

是矩阵word/media/image30.gif的特征多项式。特别地，如果word/media/image31.gif是阿贝尔word/media/image32.gif的特征值为word/media/image33.gif

双凯莱图的特征值