植树问题——两端都栽

教学目标

1、通过合作探究，让学生在做数学的过程中经历由现实问题到数学建模，理解并掌握植树棵数与间隔数之间的关系。

2、渗透数形结合的思想，让学生借助图形来解决问题。

重点

在探究活动中发现规律，抽取数学模型，让学生理解“两端都种”。

难点

通过教学让学生理解“两端都种”情况下棵数和间隔数之间的规律，并利用规律来解决生活中的实际问题。

一、引入

师：同学们伸出你们的左手，告诉老师有多少个手指头。

生：5个。

师：那有多少个指缝呢？

生：4个。

师：对的，在我们生活中也有很多这样的空隙，比如（出示图片）有多少根柱子？又有多少个空隙呢？

师：对的，生活中有很多像这样每相邻两个物体之间都有一个空隙的现象，其实在数学中我们把这样的空隙叫做“间隔”。今天，我们就来学习一下和“间隔”有关的问题——植树问题。

二、新授

1、分析题目 确定方案

同学们都知道植树的好处，（出示题目）今天学校为了美化校园环境，要在20米长的小路上的一边，每隔5米栽一棵树，请同学们帮忙设计栽树的方案。

师：同学们，我们要想设计栽树方案是不是要先知道条件是什么？那么从题目中，你们获取了哪些信息？

生：在20的小路一边隔5米栽一棵树。

师：你知道这个‘20米’是什么意思吗？

生：20米表示的是小路的总长。

师：那‘5米’又是什么意思？

生：‘5米’指栽的两棵树之间的距离是5米。

师：就是指相邻的两棵树之间的间距是5米是吗？

生：是的。

师：那还有重要的词吗？同学们‘一边栽’注意到没，我们路一般都为几边？

生：两边。

师：对，一般是‘两边’也可以说成‘两旁’。

师：好的，现在我们知道了植树的要求，那大家试着在草稿纸上用线段图画出你们的栽树方案。

巡视指导，并让画出3种不同方案的学生展示设计成果。

师：首先，3位同学给我们展示3种不同的方案，那你们分别说说你们这么设计的理由是什么。

生①：两端都栽。

生②：只栽一端。

生③：两端都不栽。

师：3位同学回答的非常好，但是老师今天先只和你们一起研究第一种，‘两端都栽’的情况。

师：不过在研究之前我们规范一下线段图的画法。我们先用一条线段来代表20米长的小路，再用几个点来代表小树苗。

2、诱导计算 发现规律

（出示题目）学校在全长20的小路的一边，隔5米载一棵树（两端都栽），一共要准备多少棵树苗？

师：现在我们已知题目要求和栽种方案，那同学们你们能求出一共要准备多少棵树苗吗？

师：有人算出来了吗？算出来的请举手告诉老师。

生：4棵（5棵）。

师：为什么你们的答案不一样呢？你来说说你是怎么计算的。

生：用20÷5＝4

师：这个20表示的是什么？

生：20表示总长。

师：5呢，表示什么？

生：5表示两树之间的距离，也就是间距。

师：那4呢？4真的表示的是棵树吗？我们来一起观察线段图。

师：通过线段图，我们可以看出有5棵树苗，有4个间隔，所以说明这里的4，表示的其实是间隔数。把20平均分成5份，一共有4个间隔。

师：那我们通过刚才这个20÷5＝4这个式子，可以得到一个怎样的关系式呢？

生：总长÷间距＝间隔数

师：对的，那题目问我们到底要准备多少树苗呢？

生：5棵树苗。

师：同学们得出了20米要准备5棵树苗，那来算算在25米、30米、35米的小路上又需要准备多少树苗呢？自己画一画并完成这个表格。

师：大家都写的差不多了，那有同学愿意分享一下自己的答案吗？

生：25米5个间隔6棵树、30米6个间隔7棵树、35米7个间隔8棵树……

师：好的，同学们，老师这里也有一份答案，你们对一对，看有没有不一样的。

师：看来大家都写对了，那你们仔细观察这个表格，能发现棵树与间隔数之间有什么关系吗？同桌相互讨论一下。

生：棵树＝间隔数＋1

师：同学们发现了这样一个规律，但是老师有一个疑问，为什么棵树比间隔数多1个呢？这个1是多在了哪里？

生：因为两端都栽，所以多在了最后一棵树那里。

师：对的，不过我们还可以这样想，把一棵树和一个间隔当做一组，这样一一对应一组一组的数下去，到最后是不是没有间隔了，但是因为我们两端都要栽，所以最后还有一棵树是没有间隔与之对应。这样一来是不是就可以确定棵树比间隔数多1了，所以棵树＝间隔数＋1。

3、利用规律 列式计算

（出示原题）

师：刚刚我们学习了两个新的关系式‘总长÷间距＝间隔数’、‘棵树＝间隔数＋1’。那我们能利用这两个式子解决我们最初的这个题目吗？同学们试着列式计算一下，并说说你是怎么想的。

生：20÷5＝4（个），4＋1＝5（棵）一共要准备5棵树苗。

师：对的，你能说说你的算式各代表什么意思吗？

生：20÷5＝4代表求出间隔数，在用间隔数4＋1就等于棵树5了。

师：对的，你真棒，同学们的想法和她的是一样的吗？你们真聪明！

师：既然大家算出了20米，那能挑战一下自己，算出100米要种的树有多少棵吗？

三、练习

（出示练习题1）

在全长2000米的街道两旁安装路灯（两端都装），每隔50米一座路灯，一共装多少座路灯？

师：看到这个题目，我们哪些地方需要特别注意。

生：两端都装，两旁都装。

师：对的，观察的很仔细，那同学们试着解一下题吧。

生①： 2000÷50 = 40

（个），40 + 1 =41（座）

师：有同学有不同的做法吗？

生②：我等于82座，因为这个题目中要求在“两旁”装，所以还应加上一步41 ×2 =82（座）

师：对的，题目要求在我们在“两旁”都安装，所以我们应该再用41×2。

（出示练习题2）

园林工人沿公路一侧植树（两端都栽），每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？

师：说说你们对题目的理解。这题和前面的题有什么不同？求的是什么？

生：前面的题求棵树，而这个求的是总长。

师：对，这题求的是总长，你们能很快求出来吗？

生①：36×6＝216（米）

生②：（36－1）×6＝210（米）

师：好，两位同学都写完了，我们来看看她们的答案为什么不一样。

生：第一个同学把棵树和间距直接相乘了，这样是不对的，应该先（36－1）求出间隔数，然后用间距×间隔数才等于总长。

师：对的，通过关系式我们可以看出，棵树和间距是不能直接运算的，在这一题里我们要先求出间隔数才能求总长。

四、总结

通过这节课的学习你有什么收获？

生：我知道了两端都种：总长÷间距＝间隔数，间隔数＋1＝棵树。

师：真棒，那同学们你们思考一下，在“植树问题”中，一定要是“树”吗？除了“树”还能换成其他事物吗？

生：可以，可以换成电线杆、队伍、栏杆……

师：你们说的都对，我们来看看生活中的间隔。

植树问题（两端都栽）详案