2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科

学习能力诊断卷 （文理合卷）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．方程组的增广矩阵是__________________.

2. 已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_____________.

3．（理）若为第四象限角，且，则___________.

（文）若，则___________.

4．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是 .

5．函数的

部分图像如右图所示，则 _________.

6．（理）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角的大小为_________________.

（文）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角的大小为_________________.

(结果用反三角函数值表示)

7．（理）不等式的解为 .

（文）不等式的解为 .

8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)

9．如图所示的程序框图，输出的结果是_________.

10．（理）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比的取值范围是 .

（文）数列的通项公式，前项和为，则=_____________.

11. （理）若平面向量满足且,则可能的值有____________个.

（文）边长为1的正方形中，为的中点，在线段上运动，则的取值范围是____________.

12．（理）在中， ，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________.

（文）函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，则实数的取值范围是______________.

13．（理）函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.

（文）若平面向量满足且,则的最大值为 .

14．已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，

（理）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.

（文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_____________.

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．下列排列数中，等于的是 （ ）

(A) (B) (C) (D)

16．在中，“”是“”的 （ ）

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

17．若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是 （ ）

(A) (B) (C) (D)

18．（理）对于直角坐标平面内的点(不是原点),的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 若是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点” （ ）

(A) 一定共线 (B) 一定共圆

(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆

（文）对于直角坐标平面内的点（不是原点），的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形 （ ）

(A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆

(C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分12分)

已知集合，实数使得集合满足，

求的取值范围.

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数=.

(1)判断函数的奇偶性，并证明；

(2)求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围.

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

（理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为(假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路（如图(1)所示，其中()）,且前轮已在段上时，后轮中心在位置；若前轮中心到达处时，后轮中心在处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为和，且,. (其它因素忽略不计)

(1)如图(2)所示，和的延长线交于点，

求证： (cm)；

(2)当=时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)

（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).

(1) 当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；

(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值.

(精确到1cm).

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.

（理）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点 .

(1)求椭圆的方程；

(2)求面积的最大值；

(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.

（文）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点）, 过点作一斜率为的直线交椭圆于、两点(其中点在轴上方，点在轴下方) .

(1)求椭圆的方程；

(2)若，求的面积；

(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.

（理）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数,公比为正整数的无穷等比数列的子数列问题. 为此，他任取了其中三项.

(1) 若成等比数列,求之间满足的等量关系；

(2) 他猜想：“在上述数列中存在一个子数列是等差数列”，为此，他研究了与的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；

(3) 他又想：在首项为正整数,公差为正整数的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.

（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.

(1) 若成等比数列,求的值；

(2) 在,的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；

(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？

参考答案[来源:学科网]

一、 填空题：（每题4分）

1. 2. 3. （理）（文） 4. 8

5. 2sin 6. （理）arctan （文） arctan2 7. （理）x0（文）x0

8. 9. 1 10. （理）01（文）

11. （理） 3 （文） 12. （理）（文）0-2 13. （理） 1（文） 14. （理） 5（文）5

二、 选择题：（每题5分）

15. C 16. B 17.A 18. （理）C（文）A

三、 解答题

19. 解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分

a5时，B=，满足AB；…………………………………..6分

a<5时，B=，由AB，得a4，故4a<5，……………..10分

综上，得实数a的取值范围为a4. ……………………………………………..12分

[来源:学科网ZXXK]

20. 解：(1)f(x)的定义域为……………………………………………..2分

f(-x)=log2=log2=-f(x)，

所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分

(2)由y=，得x=,

所以，f -1(x)=,x0. ……………………………………..9分

因为函数有零点，

所以，应在的值域内.

所以，log2k==1+, ………………….13分

从而，k. ……………………………………………..14分

21．（理）解：(1) 由OE//BC，OH//AB，得∠EOH=，………………………..2分

过点B作BM⊥OE，BN⊥OH，则

RtOMBRtONB，从而

∠BOM=. ……………………………..4分

在RtOMB中，由BM=40得OM=40cot，从而，OE=OM+ME=OM+BS=. ………………………………..6分

(2)由(1)结论得OE=. [来源:学科网ZXXK]

设OH=x，OF=y,

在OHG中，由余弦定理得,

2802=x2+(+100)2-2x(+100)cos1500 ,

解得x118.8cm. ………………………………………………………………..9分

在OEF中，由余弦定理得,

2802=y2+()2-2y()cos1500 ,

解得y216.5cm. …………………………………………………………..12分

所以，FH=y-x98cm，

即后轮中心从F处移动到H处实际移动了约98cm. ………………………14分

（文）解：(1) 当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600， …………………………………..2分

故|OB|=. .…………………………………………………………………..4分

所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40， …………………………..6分

此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(+h)=，得证. …..8分

(2)只要d40， …………………………………………………………..12分

即40，解得h16cm.，所以h的最大值为16cm. …..14分

22．（理）解:(1)由，得…………………………………..2分

a2=2,b2=1

所以，椭圆方程为. ………………………………………..4分

(2)由，得(m2+2)y2+2my-1=0,

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由条件可知，点.

=|FT||y1-y2|==…..6分

令t=，则t，

则==，当且仅当t=，即m=0

(此时PQ垂直于x轴)时等号成立，所以的最大值是. …………..10分

(3)与共线 ………………………………………………………………..11分

(x1,-y1)， =(x2-x1,y2+y1)， =(x2-2,y2) ……………………………..12分

由(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)

=-x1y2-x2y1+2(y1+y2)[来源:学科网ZXXK]

=-(my1+1)y2-(my2+1)y1+2(y1+y2)

=-2my1y2+(y1+y2)

=-2m+

=0，所以，与共线…………………………………………………..16分

（文）解:(1)由，得 ……………………………………………………………..2分

a2=2,b2=1,

所以，椭圆方程为. …………………………………………………..4分

(2)设PQ:y=x-1，由得3y2+2y-1=0, …………………..6分

解得： P(),Q(0,-1)，由条件可知点,

=|FT||y1-y2|=. ….. ……………………………………10分

(3) 判断：与共线. ….. …….. …….. ………………………………………11分

设

则(x1,-y1)， =(x2-x1,y2+y1)， =(x2-2,y2), ……………………………..12分

由得. ………………………..13分

(x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)=(x2-x1)k(x2-1)-(x2-2)(kx1-k+kx2-k)[来源:学科网ZXXK]

=3k(x1+x2)-2kx1x2-4k=3k-2k-4k

=k()=0. …………………………..15分

所以，与共线. ………………………………………………………..16分

23．（理）解:(1)由已知可得：, ………..…..1分

则,即有, ………….…………. …..3分

，化简可得.. …………………………..4分

(2),又,

故,……………..6分

由于是正整数，且，则,

又是满足的正整数，则,

,

所以， > ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10分

(3)命题:对于首项为正整数，公差为正整数的无穷等差数列，总可以找到一个无穷子数列,使得是一个等比数列. ……….. …….. …………..13分

此命题是真命题,下面我们给出证明.

证法一: 只要证明对任意正整数n,都在数列{an}中.因为bn=a(1+d)n=a(1+d+d2+…+dn)=a(Md+1)，这里M=+d+…+dn-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1项，证毕. ……………..18分

证法二：首项为,公差为()的等差数列为,考虑数列中的项:

依次取数列中项, ,

,则由,可知,并由数学归纳法可知,数列为的无穷等比子数列. ...18分

（文）解:(1)由a32=a1a5， ………………………………………………………………………..2分

即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. ……………………………………………..4分

(2) 解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列. ……………………..7分

因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M, …………………..9分

这里M=+3+…+3n-2为正整数，

所以,bn=1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证. ……………….11分

(注：bn的通项公式不唯一)

(3) 该命题为假命题. …………………………………………………….12分

由已知可得,

因此, ,又,

故, …………..15分

由于是正整数，且，则,

又是满足的正整数，则,

,

所以， > ,从而原命题为假命题. …………………………………………..18分

上海市2013年高考一模数学试题徐汇数学（文理）