3.参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化

(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

[例1]　根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．

(1)＋＝1，x＝cos θ＋1.(θ为参数)

(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)

[解]　(1)将x＝cos θ＋1代入＋＝1得：y＝2＋sin θ.

∴(θ为参数)

这就是所求的参数方程．

(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：

y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1

＝t2＋3t＋1

∴(t为参数)

这就是所求的参数方程．

普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为

(θ为参数)．

1．求xy＝1满足下列条件的参数方程：

(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan θ(θ≠，k∈Z)．

解：(1)将x＝t代入xy＝1得：t·y＝1，

∵t≠0，∴y＝，

∴(t为参数，t≠0)．

(2)将x＝tan θ代入xy＝1得：y＝.

∴(θ为参数，θ≠，k∈Z).

[例2]　将下列参数方程化为普通方程：

(1) (t为参数)．(2) (θ为参数)．

[思路点拨]　(1)可采用代入法，由x＝＋1解出代入y表达式．

(2)采用三角恒等变换求解．

[解]　(1)由x＝＋1≥1，有＝x－1，代入y＝1－2，

得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．

(2)由得，

①2＋②2得＋＝1.

消去参数的方法一般有三种：

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；

(2)利用三角恒等式消去参数；

(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．

2．方程表示的曲线是(　　)

A．一条直线　　　　 B．两条射线

C．一条线段 D．抛物线的一部分

解析：t＞0时　x＝t＋≥2

当t＜0，x＝t＋＝－(－t＋)≤－2.

即曲线方程为y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．

答案：B

3．把参数方程(θ为参数)化成普通方程是________．

解析：将x＝sin θ－cos θ两边平方得x2＝1－sin 2θ，

即sin 2θ＝1－x2，代入y＝sin 2θ，得y＝－x2＋1.

又x＝sin θ－cos θ＝sin(θ－)，∴－≤x≤，

故普通方程为y＝－x2＋1(－≤x≤)．

答案：y＝－x2＋1(－≤x≤)

一、选择题

1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)

A．y＝x－2　　　　　　　　 B．y＝x＋2

C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)

解析：代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.

答案：C

2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是(　　)

A．直线 B．圆

C．线段 D．射线

解析：x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，

∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．

答案：C

3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为(　　)

A. B.

C. D.

解析：对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0,1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4.(x∈[－1,1])．

答案：B

4．(北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)

A．在直线y＝2x上

B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上

D．在直线y＝x＋1上

解析：将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.

答案：B

二、填空题

5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．

解析：由于cos 2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，

即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．

答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)

6．将参数方程(t为参数)化为普通方程为________．

解析：y＝t2＋＝(t＋)2－2＝x2－2.

又y＝t2＋≥2，故所求普通方程为x2－y＝2(y≥2)．

答案：x2－y＝2(y≥2)

7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________________．

解析：曲线C的直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，

其参数方程为(θ为参数)．

答案： (θ为参数)

三、解答题

8．指出下列参数方程表示什么曲线．

(1) (0≤θ≤π)(2) (π≤t≤2π)

解：(1)由，得x2＋y2＝9，又∵0≤θ≤π.

∴－3≤x≤3.0≤y≤3.

∴所求方程为x2＋y2＝9(0≤y≤3)．

这是一个半圆(圆x2＋y2＝9在x轴上方的部分)．

(2)由得：＋＝1.∵π≤t≤2π

∴－2≤x≤2.－3≤y≤0.

∴所求方程为：＋＝1　(－3≤y≤0)．

它表示半个椭圆.

9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．

解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)

在此圆上任取一点P(2cos θ，2sin θ)，

PQ的中点为M(2cos θ，sin θ)，

PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)化成普通方程＋y2＝1.

10．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.

(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

解：(1)由(θ为参数)

得(x＋2)2＋y2＝10.

∴曲线C1的普通方程为(x＋2)2＋y2＝10.

∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，

∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ.

∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10.

∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.

(2)∵圆C1的圆心为(－2,0)，圆C2的圆心为(1,3)，

∴|C1C2|＝＝3＜2，

∴两圆相交．

设相交弦长为d，

∵两圆半径相等，

∴公共弦平分线段C1C2，

∴2＋2＝()2，

解得d＝，

∴公共弦长为.

2017 - 18学年高中数学第二章参数方程一3参数方程和普通方程的互化教学案