专题三　第一讲　等差、等比数列的通项、性质与前n项和

一、选择题

1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6 ＝12，则S7的值是(　　)

A．21　　 B．24　　 　

C．28　　 D．7

[答案]　C

[解析]　∵a2＋a4＋a6＝3a4＝12，∴a4＝4，

∴2a4＝a1＋a7＝8，∴S7＝＝＝28.

(理)(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)

A．3　　　 B．4　　　　

C．5　　　 D．6

[答案]　C

[解析]　Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，

∴d＝am＋1－am＝3－2＝1，

Sm＝a1m＋·1＝0，①

am＝a1＋(m－1)·1＝2，

∴a1＝3－m.②

②代入①得3m－m2＋－＝0，

∴m＝0(舍去)或m＝5，故选C.

2．(文)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为(　　)

A.　　　 B.　　　

C.　　 D．4

[答案]　A

[解析]　由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得＝3，则S6－S4＝5S2，

所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.

(理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)

A．31 B．32

C．63 D．64

[答案]　C

[解析]　解法1：由条件知：an>0，且

∴∴q＝2.

∴a1＝1，∴S6＝＝63.

解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.

3．(文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且4a3－a6＝0，则＝(　　)

A．－5 B．－3

C．3 D．5

[答案]　D

[解析]　∵4a3－a6＝0，∴4a1q2＝a1q5，∵a1≠0，q≠0，

∴q3＝4，∴＝＝＝1＋q3＝5.

(理)(2013·新课标Ⅱ理，3)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)

A. B．－

C. D．－

[答案]　C

[解析]　∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9，

又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a3，∴a3＝1，

又a3＝9a1，故a1＝.

4．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为(　　)

A．2 B．200

C．－2 D．0

[答案]　A

[解析]　设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，

∴S101＝＝＝2.

5．(2014·哈三中二模)等比数列{an}，满足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a＋a＋a＋a＋a＝15，则a1－a2＋a3－a4＋a5的值是(　　)

A．3 B.

C．－ D．5

[答案]　D

[解析]　由条件知，∴＝5，

∴a1－a2＋a3－a4＋a5＝＝＝5.

6．(2013·镇江模拟)已知公差不等于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，如果S3＝－21，a7是a1与a5的等比中项，那么在数列{nan}中，数值最小的项是(　　)

A．第4项 B．第3项

C．第2项 D．第1项

[答案]　B

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－21，得a2＝－7，又由a7是a1与a5的等比中项，得a＝a1·a5，即(a2＋5d)2＝(a2－d)(a2＋3d)，将a2＝－7代入，结合d≠0，解得d＝2，则nan＝n[a2＋(n－2)d]＝2n2－11n，对称轴方程n＝2，又n∈N*，结合二次函数的图象知，当n＝3时，nan取最小值，即在数列{nan}中数值最小的项是第3项．

二、填空题

7．(2013·广东六校联考)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为________．

[答案]　－1

[解析]　因为y′＝(n＋1)xn，所以在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，

所以＝n＋1，所以xn＝，

所以log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012

＝log2013(x1·x2·…·x2012)

＝log2013(··…·)

＝log2013＝－1.

8．(2014·中原名校二次联考)若{bn}为等差数列，b2＝4，b4＝8.数列{an}满足a1＝1，bn＝an＋1－an(n∈N*)，则a8＝________.

[答案]　57

[解析]　∵bn＝an＋1－an，∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1.

由{bn}为等差数列，b2＝4，b4＝8知bn＝2n

∴数列{bn}的前n项和为Sn＝n(n＋1)．

∴a8＝S7＋a1＝7×(7＋1)＋1＝57.

9．(2014·辽宁省协作校联考)若数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝________.

[答案]　560

[解析]　∵bn＝＝，又a1＝2，∴a2＝－1，a3＝4，a4＝－2，a5＝6，a6＝－3，…，

∴S63＝a1＋a2＋a3＋…a63＝(a1＋a3＋a5＋…＋a63)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560.

三、解答题

10．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a2＋S2＝31，an＋1＝3an－2n(n∈N*)

(1)求证：{an－2n}为等比数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

[解析]　(1)由an＋1＝3an－2n可得

an＋1－2n＋1＝3an－2n－2n＋1＝3an－3·2n＝3(an－2n)，

又a2＝3a1－2，则S2＝a1＋a2＝4a1－2，

得a2＋S2＝7a1－4＝31，得a1＝5，∴a1－21＝3≠0，

＝3，故{an－2n}为等比数列．

(2)由(1)可知an－2n＝3n－1(a1－2)＝3n，故an＝2n＋3n，

∴Sn＝＋＝2n＋1＋－.

一、选择题

11．(文)(2013·山西四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1， a3,2a2成等差数列，则＝(　　)

A．1＋ B．1－

C．3＋2 D．3－2

[答案]　C

[解析]　由条件知a3＝a1＋2a2，

∴a1q2＝a1＋2a1q，

∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，

∵q>0，∴q＝1＋，

∴＝q2＝3＋2.

(理)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于(　　)

A．290 B．300

C．580 D．600

[答案]　B

[解析]　由a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87得，

a1＋a20＝30，

∴S20＝＝300.

12．(文)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，则数列{ban}的前10项的和为(　　)

A. (49－1) B. (410－1)

C. (49－1) D. (410－1)

[答案]　D

[解析]　由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，

由＝2，b1＝1得bn＝2n－1，

∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1，

∴数列{ban}前10项和为＝(410－1)．

(理)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋等于(　　)

A．1－ B. (1－)

C．1－ D. (1－)

[答案]　B

[解析]　因为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1，

所以＝×()n－1，所以{}也是等比数列，

所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故选B.

13．给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是(　　)

A．4900 B．4901

C．5000 D．5001

[答案]　B

[解析]　根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：，，，…，，，…，，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝＋50＝4901.

[点评]　本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可．

14．(2014·唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则(　　)

A．4n－1 B．4n－1

C．2n－1 D．2n－1

[答案]　C

[解析]　设公比为q，则a1(1＋q2)＝，a2(1＋q2)＝，∴q＝，∴a1＋a1＝，∴a1＝2.

∴an＝a1qn－1＝2×()n－1，Sn＝＝4[1－()n]，∴＝＝2(2n－1－)

＝2n－1.

[点评]　用一般解法解出a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下：

∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝，

∴＝＝＝＝2n－1.

二、填空题

15．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n个数，则第n群中n个数的和是________．

[答案]　3·2n－2n－3

[解析]　由图规律知，第n行第1个数为2n－1，第2个数为3·2n－2，第3个数为5·2n－3……设这n个数的和为S

则S＝2n－1＋3·2n－2＋5×2n－3＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·20　①

2Sn＝2n＋3·2n－1＋5·2n－2＋…＋(2n－3)·22＋(2n－1)·21　②

②－①得Sn＝2n＋2·2n－1＋2·2n－2＋…＋2·22＋2·2－(2n－1)

＝2n＋2n＋2n－1＋…＋23＋22－(2n－1)

＝2n＋－(2n－1)

＝2n＋2n＋1－4－2n＋1

＝3·2n－2n－3.

16．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)(p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：

①若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等差数列；

②数列{(－1)n}是等方差数列；

③若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；

④若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k为常数，k∈N*)也是等方差数列．

其中正确命题的序号为________．

[答案]　①②③④

[解析]　由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知①②③④均正确．

三、解答题

17．(文)(2013·浙江理，18)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．

(1)求d，an；

(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

[解析]　(1)由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，a1＝10，

即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.

所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，

由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则

当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.

当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.

综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|

＝

(理)(2013·天津十二区县联考)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f()，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小的正整数m.

[解析]　(1)∵an＋1＝f()＝＝an＋，

∴{an}是以为公差，首项a1＝1的等差数列，

∴an＝n＋.

(2)当n≥2时，

bn＝＝

＝(－)，

当n＝1时，上式同样成立．

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn

＝(1－＋－＋…＋－)

＝(1－)，

∵Sn<，即(1－)<对一切n∈N*成立，

又(1－)随n递增，且(1－)<，

∴≤，∴m≥2013，∴m最小＝2013.

18．(文)(2014·吉林市质检)已知数列{an}满足首项为a1＝2，an＋1＝2an，(n∈N*)．设bn＝3log2an－2(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn.

(1)求证：数列{bn}成等差数列；

(2)求数列{cn}的前n项和Sn.

[解析]　(1)由已知可得，an＝a1qn－1＝2n，

bn＝3log22n－2

∴bn＝3n－2，∵bn＋1－bn＝3，

∴{bn}为等差数列，其中b1＝1，d＝3.

(2)cn＝anbn＝(3n－2)·2n

Sn＝1·2＋4·22＋7·23＋…＋(3n－2)·2n①

2Sn＝1·22＋4·23＋7·24＋……＋(3n－5)·2n＋(3n－2)·2n＋1②

①－②得

－Sn＝2＋3[22＋23＋24＋……＋2n]－(3n－2)·2n＋1

＝2＋3·－(3n－2)·2n＋1

＝－10＋(5－3n)·2n＋1

∴Sn＝10－(5－3n)·2n＋1.

(理)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n(n∈N*)．

(1)求p的值及an；

(2)若bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>成立的最小正整数n的值．

[解析]　本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归转化思想及运算求解能力等．

(1)解法1：∵{an}是等差数列，

∴Sn＝na1＋d＝na1＋×2

＝n2＋(a1－1)n.

又由已知Sn＝pn2＋2n，

∴p＝1，a1－1＝2，∴a1＝3，

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，∴p＝1，an＝2n＋1.

解法2：由已知a1＝S1＝p＋2，S2＝4p＋4，

即a1＋a2＝4p＋4，∴a2＝3p＋2.

又等差数列的公差为2，∴a2－a1＝2，

∴2p＝2，∴p＝1，∴a1＝p＋2＝3，

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，∴p＝1，an＝2n＋1.

解法3：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2＋2n－[p(n－1)2＋2(n－1)]＝2pn－p＋2，

∴a2＝3p＋2，由已知a2－a1＝2，∴2p＝2，∴p＝1，

∴a1＝p＋2＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，

∴p＝1，an＝2n＋1.

(2)由(1)知bn＝＝－，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.

又∵Tn>，∴ >，∴20n>18n＋9，

即n>，又n∈N*.

∴使Tn＝成立的最小正整数n的值为5.

2014-2015 高中数学第二轮复习 专题三 第一讲 等差、等比数列的通项、性质与前n项和