郑州市2019年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学试题卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150 分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．

1．若复数word/media/image1.gif（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为

A．1 B．－1 C．word/media/image2.gif D．－word/media/image2.gif

2．已知集合M＝{x｜－3≤x＜4}，N＝{x｜x2－2x－8≤0}，则

A．M∪N＝R B．M∪N＝{x｜－3≤x＜4}

C．M∩N＝{x｜－2≤x≤4} D．M∩N＝{x｜－2≤x＜4}

3．已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足

word/media/image3.gif·word/media/image4.gif≥0的概率是

A．word/media/image5.gif B．word/media/image6.gif C．word/media/image7.gif D．word/media/image8.gif

4．下列函数既是奇函数，又在[－1，1]上单调递增的是

A．f（x）＝｜sinx｜ B．f（x）＝lnword/media/image9.gif

C．f（x）＝word/media/image10.gif（word/media/image11.gif－word/media/image12.gif） D．f（x）＝ln（word/media/image13.gif－x）

5．在△ABC中，三边长分别为a，a＋2，a＋4，最小角的余弦值为word/media/image14.gif，则这个三角形的面

积为

A．word/media/image15.gif B．word/media/image16.gif C．word/media/image17.gif D．word/media/image18.gif

6．如图，在△ABC中，word/media/image19.gif＝word/media/image20.gif，P是BN上一点，若word/media/image21.gif＝tword/media/image22.gif＋word/media/image23.gif，则实数t的值为

A．word/media/image25.gif B．word/media/image26.gif C．word/media/image2.gif D．word/media/image27.gif

7．已知双曲线C：word/media/image28.gif（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝word/media/image29.gifx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋（y＋word/media/image30.gif）2＝1上一点，则｜MN｜＋｜MF2｜的最小值为

A．8 B．9 C．10 D．11

8．已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）（ω＞0，－word/media/image7.gif≤θ≤word/media/image7.gif）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为word/media/image7.gif，若将函数f（x）的图象向左平移word/media/image31.gif后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为

A．[－word/media/image32.gif，word/media/image31.gif] B．[word/media/image5.gif，word/media/image33.gif] C．[0，word/media/image32.gif] D．[word/media/image7.gif，word/media/image34.gif]

9．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A．16word/media/image36.gif＋（32＋16word/media/image36.gif＋16word/media/image37.gif）π

B．16word/media/image36.gif＋（16＋16word/media/image36.gif＋16word/media/image37.gif）π

C．16word/media/image36.gif＋（32＋32word/media/image36.gif＋32word/media/image37.gif）π

D．16word/media/image36.gif＋（16＋32word/media/image36.gif＋32word/media/image37.gif）π

10．已知直三棱柱ABC—A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为

A．双曲线的一支（一部分） B．圆弧（一部分）

C．线段（去掉一个端点） D．抛物线的一部分

11．抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足

∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则word/media/image38.gif的最小值为

A．word/media/image39.gif B．1 C．word/media/image40.gif D．2

12．已知函数f（x）＝word/media/image41.gif设A＝{x∈Z｜x（f（x）－a）≥0}，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为

A．31 B．32 C．33 D．34

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13．已知word/media/image42.gif的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为___________．

14．已知变量x，y满足word/media/image43.gif则z＝word/media/image44.gif的取值范围是__________________．

15．《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有_________种．（用数字作答）

16．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）

的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝f（x－2）；③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤word/media/image45.gif＝word/media/image46.gif．其中判断正确的序号是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．（本小题满分12分）

已知数列{word/media/image48.gif}为等比数列，首项a1＝4，数列{word/media/image49.gif}满足word/media/image49.gif＝word/media/image50.gif，且b1＋b2＋b3＝12．

（Ⅰ）求数列{word/media/image48.gif}的通项公式；

（Ⅱ）令word/media/image51.gif＝word/media/image52.gif＋word/media/image48.gif，求数列{word/media/image51.gif}的前n项和word/media/image53.gif．

18．（本小题满分12分）

已知四棱锥中P—ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为word/media/image54.gif，点F在PC上移动．

（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；

（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C—AF—E的余弦值．

19．（本小题满分12分）

2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2．5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．

（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；

（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）

内．

①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；

②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．

20．（本小题满分12分）

设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2word/media/image57.gif＝word/media/image39.gifword/media/image58.gif，动点P的轨迹为E．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足｜word/media/image59.gif＋word/media/image60.gif｜＝｜word/media/image59.gif－word/media/image60.gif｜，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝x2－8x＋alnx （a∈R）．

（Ⅰ）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；

（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有word/media/image61.gif＞t（4＋3x1－word/media/image62.gif）成立，求t的取值范围．

选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：x2＋（y－3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．

（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）射线θ＝word/media/image34.gif（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（－4，0），求△MPQ的面积．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝｜3x－2a｜＋｜2x－2｜（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝word/media/image10.gif时，解不等式f（x）＞6；

（Ⅱ）若对任意word/media/image63.gif∈R，不等式f（word/media/image63.gif）＋3word/media/image63.gif＞4＋｜2word/media/image63.gif－2｜都成立，求a的取值范围．

河南省郑州市2019届高三第一次质量预测数学（理）试卷（有答案）