自贡市高2011级第三次诊断考试数学试题

参考答案及评分标准

一、选择题（理）BCCCD　 DABBD BB；（文）CCCDA DABBD BB；

二、填空题：13. －20； 14. （文）、（理）；15. （或30°）；16.②④.

三、解答题：

17.【解】（）由条件得cos=，cos=　　　　　　　　　　………………2分

∵为锐角，∴sinA=sin=， ………… 3分

同理有sinB=sin=　　　　…………… 4分

∴ ∵∴ 　　　　　　　　　　……………6分

（注：如果运用单位圆方程x2+y2=1、勾股定理等别的途径得出正确解答不得扣分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴………7分 　由

得，即…9分，又∵∥，即 　…11分

∴ ∴ 　∴ 　　　　 　　 ………12分

18.【解】（Ⅰ）（文、理）记“公司任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件．

有　………………….（文）6分　　……（理）4分

　　（文）（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为件”为事件，

　　，，　　　　　　　…………..10分（各得2分）

∴商家拒收这批产品的概率．

　　故商家拒收这批产品的概率为．　　　　　　　　　　　………………………….12分（理）（Ⅱ）可能的取值为　　　　　　　　　　　　　…………………………..5分

，，

………8分（一个记1分）

　　　　　　　　…………………10分

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

，所以商家拒收这批产品的概率为……………12分.

19.【解及证】（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，…………1分

则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1于A1B，得AD⊥平面A1BC, …………2分　

又BC平面A1BC，∴AD⊥BC. 　　　…………3分

∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC. …4分

又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，　　　　　　　　…………5分

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC　　　　　………………………6分

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，…………7分

是二面角A1—BC—A的平面角，即　　　　　　………..…8分

于是在Rt△ADC中，………9分　　在Rt△ADB中，　……….10分

由AB＜AC，得又所以　　　　　　…………………….12分

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，　　　　　　　　………………7分

设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0),

于是

，，　……8分

设平面A1BC的一个法向量为=(x,y,z)，则由得　……9分

可取=(0, ,c)，于是c＞0，与n的夹角为锐角，则与互为余角.

∴sinθ=cosβ==， cosφ=，

∴于是由＜b，得即又

∴…..12分.

(文)20.【解】（Ⅰ）f’(x)=-3x2+2ax，……………1分

要使f(x)在(0，1)上单调递增，则x∈(0，1)时，f’(x)≥0恒成立

∴-3x2+2ax≥0，即当x∈(0，1)时，a≥恒成立 　　　　………….2分

∴a≥，即a的取值范围是[∞] 　　　　　　　　………………3分

（Ⅱ）由f’(x)= -3x2+2ax，令f’(x)=0，得x=0，或x=a

∵a＞0，∴当x变化时，f’(x) f(x)的变化情况如下表：

∴y极小=f(0)=b=1，y极大=f(a)= -a3+a·a2+1= 　　　　……………….5分

∴b=1，a=1 故f(x)=-x3+x2+1 　　　　　　　　　　　　 ……………………6分

（Ⅲ）当x∈[0，1]时，tanθ=f’(x)= -3x2+2ax 　　　　　　　　　　……………7分

由θ∈[0，]，得0≤f’(x)≤1，即x∈[0，1]时，0≤-3x2+2ax≤1恒成立……….9分

当时，∈R 当x∈(0，1]时，由-3x2+2ax≥0恒成立，由(Ⅰ)知≥ ………10分

由-3x2+2ax≤1恒成立，a≤(3x+)，∴≤(等号在=时取得)

综上，≤a≤ ……….12分

（理）20（同文21题）【解】（Ⅰ）设T（x，y），点N（x1，y1），则N1（x1，0）．又，

即＝（x1， y1），∴M1（0， y1），＝（x1，0），

＝（0，y1）．　　　　　　　…………………3分

于是＝＋＝（x1，y1），………4分

即（x，y）＝（x1，y1）．代入｜｜＝6，得5x2＋y2＝36．

所求曲线C的轨迹方程为5x2＋y2＝36．…………………………6分

（Ⅱ）设由及在第一象限得

∵∴解得

即………8分，设则 …….

由得，，

，即 ……. ……………10分

联立，，解得或因点在双曲线C1的右支，故点的坐标为…11分

由得直线的方程为即 ………12分

(理)21.【解】（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3-x, ………………1分

由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， …..2分

则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3-x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3-x＝－(x－3)(x＋a+1)e3-x.

令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，∴－a－1≠3，即a≠－4, …..4分

当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0，

f (x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。　　　　　　　　　　　　　…………5分

当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`(x)<0，f (x)为减函数…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，由于f（x）连续，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)、f (4)、f (3)}，max{ f (0)、f (4) )、f (3)}]，而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e-1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].　…..8分　又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，………….10分

由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝()2≥0，所以只须仅须（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范围是（0，）　　　　　……………12分.

(文)22.【解析】（Ⅰ）根据题意得，，　　　　　……1分

于是由an＝得，an=5Sn+1，　　　　　　　　　……2分　　

当时，

又　∵　　

∴　数列是首项为，公比为的等比数列，　∴　，

　　　　　　　　　　　　　　………… 4分

（Ⅱ）不存在正整数，使得成立. 　　　　　　　……………5分

证明：由（）知

∴当n为偶数时，设

∴…当n为奇数时，设

∴…

∴对于一切的正整数n，都有 ∴不存在正整数，使得成立。　……8分

（Ⅲ）同理22 （Ⅱ）

（理）22【解】（Ⅰ）根据题意得，，于是由an=得an=5Sn+1，…………1分，　　　　当时，.

又an+1=5sn+1+1

数列成等比数列，其首项，公比是　　　　　　………2分

， 　　　　　　　　　 ………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=　　　　　　　...............（文）9分、（理）4分

　又，当成立，　………….（文）10分、（理）5分，

当n≥2时，Tn＜＜＜

………………………………………（文）14分、（理）7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则Rn=b1+b2+…+b2k+1=4n+5

>对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾 .…..........9分

另一方面，当时，对一切的正整数n都有，事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设，则

<　　　　　…………11分

当n为奇数时，设

则…

对一切的正整数n，都有，综上所述，正实数的最小值为4 …………..….14分

四川省自贡市2011届高三第三次诊断性考试（理数）（扫描版）