1. 3*5-2*6 或3*6-3*5，……等等。5x+6y=3的整数解

2. 脑筋急转弯题，中间的水杯倒水到中间的空杯中。

3. 概率题，经计算：小李第一枪故意放空枪，获胜概率38.1%；小黄必须打小林，获胜概率26.9%；小林优先打小黄，获胜概率35%，所以小李机会最大。

4. A先倒出他想要的，B从剩下的里也倒出B想要的，最后剩下的归C，但C有和其他人交换的权力。

5. 这题不错。由条件知：此桌面上任何点与所有硬币的圆心间的最小距离不超过硬币的直径，即，如果把n个硬币都换成原来2倍半径的新硬币，而位置(圆心)不变的话，这n个新硬币将覆盖整个桌面。4个这种桌子可以拼成一个长宽翻倍的新桌子，新桌面用4n个半径翻倍的新硬币可以覆盖，那么等比例缩小为1/2时，新硬币和新桌子就变为原来的大小了，4n个硬币，桌面全覆盖完成。

6. ？不能有其它工具配合吗？那根本没办法将直尺固定为垂直或水平，球面很滑的说，所以这题就算有办法也是理论上的，没法实际操作的。个人认为排水法测体积(直尺测水面高度差)，由体积反求半径具有一定的操作性。

7. 平面里3个，上下各放1个。

8. 幼稚的题，答案：方块5。

9. 经典老题，这种情况下，3人数字的比例可能有2种，是1：3：4或3：2：5，144是4的倍数，所以3个数为36，108，144。

10. 傻题，80%。

11. 如果水不可以寄放，必须当场卖掉的话，那么每次到15公里处卖30公斤，来回4次，计1800元。如果水可以寄放，策略如下：第一次：在15公里处寄放30公斤；第二次：到15公里处补充满60公斤后，再前进7.5公里，卖出45公斤后返回，在15公里处可以补给一次，正好可以返回的。获利45*22.5=1012.5元。重复一次上述过程后，累计获利2025元。

12. 7组解：(2,30,68)，(5,25,70)，(8,20,72)，(11,15,74)，(14,10,76)，(17,5,78)，(20,0,80)。

13. 脑筋急转弯，5=1。

14. 这题难的。考虑非法的情况，假设正常营业到第k个人时，发现找不出零了，那前k个人中1美元的比50美分的多1个，所以排在第k个人后面的人里50美分的会多一个，现在把从第k+1个人开始的队伍里，有50美分的变成拿1美元的，而有1美元的变成拿50美分的，这样从第k+1个人开始，后面的队伍中1美元的人将会多一个，算上前k个人的话，整个队伍2n个人，1美元的多2个，有n+1个，50美分的n-1个，这样把一个非法的(n,n)排列对应成唯一的一个(n+1,n-1)排列——n+1个1美元和n-1个50美分的人；反过来，任何一个(n+1,n-1)排列中，必能找到最小的k，使前k个人中1美元的恰好多一个，将其后2n-k个人取反后，可以对应为一个唯一的非法的(n,n)排列，所以非法的(n,n)排列和所有的(n+1,n-1)排列一一对应，这样合法的排列数为所有的(n,n)排列数减去所有的(n+1,n-1)排列数，即



如果还要考虑人与人之间的差异的话，上述结果再乘以n!的平方(2次n人的全排列)。

15. 2元

16. M=5，C除了百米第3，其它都第2。3人共计40分，M*(X+Y+Z)=40，由B的成绩知M不大于7，凑一下得：X=5，Y=2，Z=1，A除了百米第2，其它都第1，B除了百米第1，其它都第3。

17. 老题，做过的，答案忘了，这类题目只要题目正确，从没有做不出过，不高兴再做了。

18. 同上题。

19. 地主先出牌，地主的下家(不论是哪个长工)可以赢的，就是地主必败。

20. 搜一下这篇文章吧“炮灰模型----------对女生选择追求者的数学模型的建立”，不说了。

21. (1,2)过，1回，(5,10)过，2回，(1,2)过，计17分钟。

22. 50%。

23. 做成圆的，盖子就怎么样都掉不下去了。

24. 第一步，天平等力臂时将140分成2*70；第二步，7、2砝码分放天平左右，调整支点位置使天平平衡，此时天平2端只要是7：2的重量就能平衡了；第三步，利用7：2的天平，用70克盐称出20克盐，会了吧？

25. 这题不错，想到了一个方法，但不一定是最好的，算法如下(献丑了)：

第一步，所有芯片排成k行2列(随便排)，初始化第一列循环下移次数n=0，芯片的行数m=k；

第二步，若m=1或m小于等于n，则剩下的芯片都是好的，终止退出；否则继续。

第三步，第一列循环下移一行(即原来最后一行的移到第一行，其它顺次下移一行)，n自加1。

第四步，每行2个芯片互相比较，留下互相都指认对方是好芯片的那些行，重新组成新的阵列，m=新阵列的行数。GO TO 第二步。

说明：互相都指认对方是好芯片，表示这2块要么都好，要么都坏；当指认对方是坏芯片时，证明2块中至少有一块是坏的，所以淘汰后剩下的芯片里好的还是比坏的多，这样下去直到只剩2块时，遵循好的比坏的多的原则，这2块只能都是好的；当m小于等于n时，在第二列中至少能找到一块芯片，它和第一列剩下的所有芯片都互相比较过，这样剩下的所有的芯片要么都好，要么都坏，由于剩下的好的多，所以它们不可能都是坏的，所以只能全是好的。

26. 基本常识：3个待选，且已知坏的比好的轻(或重)时，用天平称1次就行了。本题的做法为：

第一次，分成4，4，4三堆，拿其中2堆放天平上称。

a 天平平衡时，8个都是好的，拿剩下的4个里的3个出来，跟3个好的称(这是第二次)，要么再排除3个，剩下的1个就是坏的；要么3个里有坏的，但已经知道坏的是偏重还是偏轻了，由基本常识知，这种情况下再称一次就行了(这是第三次)。

b 天平不平衡时，剩下的4个是好的，从天平上重的一端里拿下来3个，从轻的一端里拿3个放到对面重的一端，这样重的那边还是4个，拿3个好的加到轻的一端，这样2边又都是4个了，称一下(这是第二次)。会发生3种情况：

b1 天平平衡了，那么坏的在从原来重的一端拿下来的3个里，且坏的比好的要重，基本常识，再称一次就行了(这是第三次)。

b2 天平和第一次的状态一样，那么轻重2端各有1个是没有移动过的，坏的就在这2个里，随便拿一个出来和好的称一下就能确定了(这是第三次)。

b3 天平的状态和第一次相反，那么坏的在换到原来重的一边去的3个里，且坏的比好的轻，基本常识，再称一次就行了(这是第三次)。

PS：数量增加到13个都有办法3次称出来的。

27. 共90人次答错1题，所以答错3题及以上的最多30人，至少有70人及格。

其实以上分析不严谨，只有出现所有人要么全对，要么错3题的情况，才能说至少70人及格，否则该题答案应该还要再大一些，事实上是可能出现这种情况的：每题做错的人数分别为(19,9,15,21,26)，其中有9人错了第2、3、5题；4人错了第1、3、4题；2人错了第3、4、5题；15人错了第1、4、5题，这样共30人错了3题，70人全对(及格)。

要构造出这样的情况才是这道题的精髓，否则不能说这题就做对了，构造该情况需要求一个10元一次不定方程组的非负整数解，最后求出来竟然TMD只有唯一的非负整数解，这出题的人也太强了吧……囧

28. 3651、3652、3653

29. 3 1 2 2 1 1

30. 点2头一起烧，半小时烧完。拿2根出来，一根点2头，同时另一根只点一头，等第一根烧完了，第二根应该还剩下半小时可烧，这时把第二根没点的那头也点了，那么第二根只能再烧15分钟了，等第二根烧完了，再拿出第三根，只点一头，烧完要1小时，那么从第一根烧完，到第三根烧完，中间计1小时15分钟。

31. 从第一个瓶子里拿出1片，第二个瓶子里拿出4片，第三个瓶子里拿出16片，……，把所有拿出的药片称一下重量，总重量(克)写成4进制数后，从右向左每一位分别是第1，2，3，……，瓶的药片的重量。设n类药中最重的药片重p克，那么将原来的4进制变为p+1进制，即依次拿出1，p+1，(p+1)*(p+1),……，片药片，放一起称，总重量写成p+1进制后，从右到左每一位分别是第1，2，3，……，m瓶的药片的重量。如果药片重量中有不是整数，而是有理数的，设其每片重x/y克，那么y片这种药重x克，即这种药y片看作一片，上述方法仍然可行，如果药片有无理数重量的，叫出题的人见鬼去吧。

32. 从标着15便士的盒子里拿一个硬币出来，里面剩下的和拿出来的是一样的，确定了一个盒子就确定3个盒子了。

33. 切n刀时，最多切出1+n(n+1)/2份，最少切出2n份。

34. 设水池半径R，老鼠游到距圆心x处开始绕圈，如果x大于(1-π/4)R且x小于R/4，那么老鼠的角速度比猫快，当圆心处于两者之间时，老鼠沿半径向岸上游，猫无法在老鼠上岸前赶到对面，老鼠就逃掉了。

35. 思路是先清空一个8斤桶，用3*3-8得到1斤，量出3斤很方便的，所以难在量出1斤上。具体操作如下：

8 8 0 — 0 0 0 0

8 5 3 — 0 0 0 0

8 5 0 — 3 0 0 0

8 2 3 — 3 0 0 0

8 0 3 — 3 2 0 0 至此清空了一个8斤桶。然后就是量出3次1斤的过程了。

8 3 0 — 3 2 0 0

5 3 3 — 3 2 0 0

5 6 0 — 3 2 0 0

2 6 3 — 3 2 0 0

2 8 1 — 3 2 0 0 第1次3*3-8=1

2 8 0 — 3 2 1 0

0 8 2 — 3 2 1 0

0 7 3 — 3 2 1 0 注意，第2次开始了

3 7 0 — 3 2 1 0

3 4 3 — 3 2 1 0

6 4 0 — 3 2 1 0

6 1 3 — 3 2 1 0

8 1 1 — 3 2 1 0 第2次3*3-8=1，还“买1送1”

8 0 1 — 3 2 1 1

8 0 0 — 4 2 1 1

后面就简单了，略。

36. 只有长针短针处于一直线时，钟看起来是对的，不是重叠的那种一直线，而是6点整时的那样一直线，所以时间是7点05分和8点10分。注意：这里假设的是时、分针都是以1/60弧度为步长的步进变化的，而不是匀速运动的，否则这题还要再精确到秒了。这类题目在时间恰好正确时，时针和分针间的夹角肯定是和最初安装时的夹角相等的(夹角的方向也要一样，即要么都按顺时针方向算夹角，要么都按逆时针)，所以可以任意定一个最初的时间，都能做出来的。

37. 马360，牛280，羊160

38. 100

39. 砝码和猴子一起以相同的速度上升，上升速度为猴子正常情况下向上爬的1/2。

40. 不计成本的话就x光、CT、核磁共振吧，另外精密的波动仪可以测量表面波的传播速度，不同介质是不同的。假设2个空心球中的空心部分是一个球体，且其球心和外球体重合，即空心球为一层均匀厚度的球壳，这时不需要使用以上高科技手段。可以利用2个球的质量分布上的区别来判断，我只想到了质量分布不同则转动惯量不同，密度小的铅球质量更集中于球心，绕球心的转动惯量更小，如果让2个球从粗糙的斜坡上的同样位置处由静止开始无滑动的滚下，由于转动惯量分走了一部分平移动能的关系，转动惯量小的铅球将先到达坡底。

41. 拿10枚出来，每个都翻转一下，里面正面的个数一定和剩下的13枚里正面的一样。

42. 所谓的图看不懂，想了下，最难的貌似是这样子的：



43. 灯开长了会发烫的。方法：4个开关为A、B、C、D，开A和B，过个几小时把B关了，开C，这时冲进屋里，又烫又亮的是A控制的，烫而不亮的是B，亮而不烫的是C，不亮不烫的是D。

44. 247-217。

45. 按照等级次序，依次得到(97,0,1,2,0)或(97,0,1,0,2)。

46. 没有人肯牺牲的话，全部必死。

47. 算了下，应该是3121。

48. 上一题的5次，这一题是6次，还是每次分5份多1个，答案15621个。做了2道后，归纳一下吧，如果有n次分5份多1个，那么最后一次分出来的5份，每份的最少个数为4^(n-1)-1个，反推回去就知道一开始有5^n-4个了。

49. 9月1日。和第8题一样做。

50. 随便对一个战士问：“如果我问他(指着另一个战士)，这自由之门是哪扇，他会说是这一扇吗(随便指其中一扇门)？”战士的回答(Y/N)必然是错误的，那么就知道应该走哪道门了。

　【51】说从前啊,有一个富 人,他有30个孩子,其中15个是已故的前妻所生,其余15个是继室所生,这后一个妇人很想让她自己所生的最年长的儿子继承财产,于是,有一天,他就向他 说:"亲爱的丈夫啊,你就要老了,我们应该定下来谁将是你的继承人,让我们把我们的30个孩子排成一个圆圈,从他们中的一个数起,每逢到10就让那个孩子 站出去,直到最后剩下哪个孩子,哪个孩子就继承你的财产吧!"富人一想,我靠,这个题意相当有内涵了,不错,仿佛很公平,就这么办吧~不过,当剔选过程不 断进行下去的时候,这个富人傻眼了,他发现前14个被剔除的孩子都是前妻生的,而且下一个要被剔除的还是前妻生的,富人马上大手一挥,停,现在从这个孩子 倒回去数, 继室,就是这个歹毒的后妈一想,倒数就倒数,我15个儿子还斗不过你一个啊~她立即同意了富人的动议,你猜,到底谁做了继承人呢~



　　【52】“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”



　　【53】一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。问：商人共可卖出多少胡萝卜？



　　【54】10箱黄金，每箱100块，每块一两



　　有贪官，把某一箱的每块都磨去一钱



　　请称一次找到不足量的那个箱子



　　【55】你让工人为你工作７天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的７段，你必须在每天结束时都付费，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？



　　【56】有十瓶药，每瓶里都装有100片药（仿佛现在装一百片的少了，都是十片二十片的，不管，咱们就这么来了），其中有八瓶里的药每片重10克，另有两瓶里的药每片重9克。用一个蛮精确的小秤，只称一次，如何找出份量较轻的那两个药瓶？



　　【57】一个经理有三个女儿， 三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有 一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？



　　【58】有三个人去住旅馆，住 三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板$30，第二天，老板觉得三间房只需要$25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心,只退 回每人$1，自己偷偷拿了$2，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了$27，再加上小弟独吞了不$2，总共是$29。可是当初他 们三个人一共付出$30那么还有$1呢？



　　【59】有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜了的布质、大小完全相同，　　而每对袜了都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜了混在一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？



　　【60】有一辆火车以每小时 15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛 杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？



　　【61】你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？



　　【62】你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？



　　【63】对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下*作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。

　　【64】想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？



　　【65】一群人开舞会，每人头 上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然 后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才 有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？



　　【66】两个圆环，半径分别是1和2，小圆在大圆内部绕大圆圆周一周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身转几周呢？



　　【67】 1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？



　　【68】有3顶红帽子，4顶黑 帽子，5顶白帽子。让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。 （所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回 答说不知道，就继续问他前面那个人。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？



　　【69】假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？



　　【70】卢姆教授说：“有一次 我目击了两只山羊的一场殊死决斗，结果引出了一个有趣的数学问题。我的一位邻居有一只山羊，重54磅，它已有好几个季度在附近山区称王称霸。后来某个好事 之徒引进了一只新的山羊，比它还要重出3磅。开始时，它们相安无事，彼此和谐相处。可是有一天，较轻的那只山羊站在陡峭的山路顶上，向它的竞争对手猛扑过 去，那对手站在土丘上迎接挑战，而挑战者显然拥有居高临下的优势。不幸的是，由于猛烈碰撞，两只山羊都一命呜呼了。



　　现在要讲一讲本题的奇妙之处。对饲养山羊颇有研究，还写过书的乔治．阿伯克龙比说道：“通过反复实验，我发现，动量相当于一个自20英尺高处坠落下来 的30磅重物的一次撞击，正好可以打碎山羊的脑壳，致它死命。”如果他说得不错，那么这两只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破脑壳？你能算出来 吗？



　　【71】据说有人给酒肆的老板娘出了一个难题：此人明明知道店里只有两个舀酒的勺子，分别能舀7两和11两酒，却硬要老板娘卖给他2两酒。聪明的老板娘毫不含糊，用这两个勺子在酒缸里舀酒，并倒来倒去，居然量出了2两酒，聪明的你能做到吗？



　　【72】已知： 每个飞机只有一个油箱， 飞机之间可以相互加油（注意是相互，没有加油机） 一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈，问题：为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场，至少需要出动几架飞机？（所有飞机从同一机场起飞，而且必须安全 返回机场，不允许中途降落，中间没有飞机场）



　　【73】在9个点上画10条直线，要求每条直线上至少有三个点？



　　【74】一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问？



　　【75】在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？

经典推理题目参考答案