2017年江苏省无锡市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣5的倒数是（　　）

A． B．±5 C．5 D．﹣

2．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2

3．下列运算正确的是（　　）

A．（a2）3=a5 B．（ab）2=ab2 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a5

4．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5

6．如表为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的是（　　）

A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩

B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩

C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数

D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数

7．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）

A．20% B．25% C．50% D．62.5%

8．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）

A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3

9．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　）

A．5 B．6 C．2 D．3

10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．计算×的值是　 　．

12．分解因式：3a2﹣6a+3=　 　．

13．贵州FAST望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约250000m2，这个数据用科学记数法可表示为　 　．

14．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是　 　℃．

15．若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为　 　．

16．若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为　 　cm2．

17．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于　 　．

18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19．（8分）计算：

（1）|﹣6|+（﹣2）3+（）0；

（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）

20．（8分）（1）解不等式组：

（2）解方程：=．

21．（8分）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．

22．（8分）甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

23．（8分）某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期5天的推广活动，在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示：

（1）表格中a=　 　，b=　 　；

（2）请把下面的条形统计图补充完整；

（3）根据以上信息，下列说法正确的是　 　（只要填写正确说法前的序号）．

①在活动之前，该网站已有3200人加入；

②在活动期间，每天新加入人数逐天递增；

③在活动期间，该网站新加入的总人数为2528人．

24．（6分）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）作△ABC的外心O；

（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

25．（10分）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为　 　；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣），则点M的坐标为　 　．

（2）A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．

①求经过点O，点B的直线的函数表达式；

②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．

26．（10分）某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

27．（10分）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．

（1）求点P的坐标；

（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．

28．（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣5的倒数是（　　）

A． B．±5 C．5 D．﹣

【解答】解：∵﹣5×（﹣）=1，

∴﹣5的倒数是﹣．故选D．　

2．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2

【解答】解：根据题意得：2﹣x≠0，

解得：x≠2．

故函数y=中自变量x的取值范围是x≠2．故选A．

3．下列运算正确的是（　　）

A．（a2）3=a5 B．（ab）2=ab2 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a5

【解答】解：A、（a2）3=a6，故错误，不符合题意；

B、（ab）2=a2b2，故错误，不符合题意；

C、a6÷a3=a3，故错误，不符合题意；

D、a2•a3=a5，正确，符合题意，

故选D．

4．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选C．

5．若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5

【解答】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3，

∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1，

故选B

6．如表为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的是（　　）

A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩

B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩

C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数

D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数

【解答】解：∵男生的平均成绩是：（70×5+80×10+90×7）÷22=1780÷22=80，

女生的平均成绩是：（70×4+80×13+90×4）÷21=1680÷21=80，

∴男生的平均成绩大于女生的平均成绩．

∵男生一共22人，位于中间的两个数都是80，所以中位数是（80+80）÷2=80，

女生一共21人，位于最中间的一个数是80，所以中位数是80，

∴男生成绩的中位数等于女生成绩的中位数．

故选A．　

7．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）

A．20% B．25% C．50% D．62.5%

【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，

由题意可得：2（1+x）2=4.5，

解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），

答：该店销售额平均每月的增长率为50%；

故选：C．

8．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）

A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3

【解答】解：

在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；

在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

故选B．

9．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　）

A．5 B．6 C．2 D．3

【解答】解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．

∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，

∴AB•DH=32O，

∴DH=16，

在Rt△ADH中，AH==12，

∴HB=AB﹣AH=8，

在Rt△BDH中，BD==8，

设⊙O与AB相切于F，连接AF．

∵AD=AB，OA平分∠DAB，

∴AE⊥BD，

∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，

∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，

∴△AOF∽△DBH，

∴=，

∴=，

∴OF=2．

故选C．

10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．

【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，

∴BC==5，

∵CD=DB，

∴AD=DC=DB=，

∵•BC•AH=•AB•AC，

∴AH=，

∵AE=AB，DE=DB=DC，

∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，

∵•AD•BO=•BD•AH，

∴OB=，

∴BE=2OB=，

在Rt△BCE中，EC===，

故选D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．计算×的值是　6　．

【解答】解：×===6；

故答案为：6．　

12．分解因式：3a2﹣6a+3=　3（a﹣1）2　．

【解答】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．

故答案为：3（a﹣1）2．

13．贵州FAST望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约250000m2，这个数据用科学记数法可表示为　2.5×105　．

【解答】解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．

故答案为：2.5×105．

14．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是　11　℃．

【解答】解：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，

∴这7天中最大的日温差是11℃．

故答案为：11．

15．若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为　2　．

【解答】解：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得k=2．

16．若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为　15π　cm2．

【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．

17．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于　3﹣﹣　．

【解答】解：连接O1O2，O1E，O2F，

则四边形O1O2FE是等腰梯形，

过E作EG⊥O1O2，过FH⊥O1O2，

∴四边形EGHF是矩形，

∴GH=EF=2，

∴O1G=，

∵O1E=1，

∴GE=，

∴=；

∴∠O1EG=30°，

∴∠AO1E=30°，

同理∠BO2F=30°，

∴阴影部分的面积=S﹣2S﹣S=3×1﹣2×﹣（2+3）×=3﹣﹣．

故答案为：3﹣﹣．

18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　3　．

【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，

则∠BO′D′=∠BOD，

∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，

设每个小正方形的边长为a，

则O′B=，O′D′=，BD′=3a，

作BE⊥O′D′于点E，

则BE=，

∴O′E==，

∴tanBO′E=，

∴tan∠BOD=3，

故答案为：3．

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19．（8分）计算：

（1）|﹣6|+（﹣2）3+（）0；

（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）

【解答】解：（1）原式=6﹣8+1=﹣1

（2）原式=a2﹣b2﹣a2+ab=ab﹣b2

20．（8分）（1）解不等式组：

（2）解方程：=．

【解答】解：（1）解①得：x＞﹣1，

解②得：x≤6，

故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6；

（2）由题意可得：5（x+2）=3（2x﹣1），

解得：x=13，检验：当x=13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，

故x=13是原方程的解．

21．（8分）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．

【解答】证明：∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠DCB=∠FBE，

在△CED和△BEF中，，

∴△CED≌△BEF（ASA），

∴CD=BF，

∴AB=BF．

22．（8分）甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

【解答】解：根据题意画图如下：

共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色4种可能，所以两人恰好成为游戏搭档的概率==．

23．（8分）某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期5天的推广活动，在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示：

（1）表格中a=　4556　，b=　600　；

（2）请把下面的条形统计图补充完整；

（3）根据以上信息，下列说法正确的是　①　（只要填写正确说法前的序号）．

①在活动之前，该网站已有3200人加入；

②在活动期间，每天新加入人数逐天递增；

③在活动期间，该网站新加入的总人数为2528人．

【解答】解：（1）由题意a=3903+653=4556，b=5156﹣4556=600．

故答案为4556，600．

（2）统计图如图所示，

（3）①正确．3353﹣153=3200．故正确．

②错误．第4天增加的人数600＜第3天653，故错误．

③错误．增加的人数=153+550+653+600+725=2681，故错误．

故答案为①

24．（6分）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）作△ABC的外心O；

（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求．

（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．

25．（10分）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为　（a+b，b）　；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣），则点M的坐标为　（9，﹣2）　．

（2）A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．

①求经过点O，点B的直线的函数表达式；

②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．

【解答】解：

（1）如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，

由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∵P（a，b），

∴OC=a，PC=b，

∴CD=PC=b，DQ=PQ=b，

∴Q（a+b，b）；

设M（x，y），则N点坐标为（x+y，y），

∵N（6，﹣），

∴，解得，

∴M（9，﹣2）；

故答案为：（a+b，b）；（9，﹣2）；

（2）①∵A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，

∴可设A（t，t），

∴t+×t=t，×t=t，

∴B（t，t），

设直线OB的函数表达式为y=kx，则tk=t，解得k=，

∴直线OB的函数表达式为y=x；

②设直线AB解析式为y=k′x+b，

把A、B坐标代入可得，解得，

∴直线AB解析式为y=﹣x+t，

∴D（0，t），且A（t，t），B（t，t），

∴AB==|t|，AD==|t|，

∴===．

26．（10分）某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

【解答】解：（1）可设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元，依题意有

，

解得．

答：每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；

（2）购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少，

10×6+8×3

=60+24

=84（万元）．

答：他们至少要支付84万元钱．

27．（10分）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．

（1）求点P的坐标；

（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．

【解答】解：（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．

∵EH∥AP，

∴△ACP∽△ECH，

∴===，

∴CH=2n，EH=2m=6，

∵CD⊥AB，

∴PC=PD=n，

∵PB∥HE，

∴△DPB∽△DHE，

∴===，

∴=，

∴m=1，

∴P（1，0）．

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，

连接OP，在Rt△OCP中，PC==2，

∴CH=2PC=4，PH=6，

∴E（9，6），

∵抛物线的对称轴为CD，

∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6）代入得到a=，

∴抛物线的解析式为y=（x+3）（x﹣5），即y=x2﹣x﹣．　

28．（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

【解答】解：（1）如图1中，设PD=x．则PA=6﹣x．

∵P、B、E共线，

∴∠BPC=∠DPC，

∵AD∥BC，

∴∠DPC=∠PCB，

∴∠BPC=∠PCB，

∴BP=BC=6，

在Rt△ABP中，∵AB2+AP2=PB2，

∴42+（6﹣x）2=62，

∴x=6﹣2或6+2（舍弃），

∴PD=6﹣2，

∴t=（6﹣2）s时，B、E、P共线．

（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．

作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4

易证四边形EMCQ是矩形，

∴CM=EQ=3，∠M=90°，

∴EM===，

∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，

∴△ADC∽△DME，

=，

∴=，

∴AD=4，

如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．

作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=3，CE=DC=4

在Rt△ECQ中，QC=DM==，

由△DME∽△CDA，

∴=，

∴=，

∴AD=，

综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围≤m＜4．

2017年江苏省无锡市中考数学试卷及详细答案