中考数学复习:实数

【基础知识回顾】

word/media/image1.gif一、实数的分类：

1、按实数的定义分类：

实数

有限小数或无限循环数

2、按实数的正负分类：

实数

【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png是 数，不是 数，f75c927137d43dcb48ae34570098a42d.png是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】

二、实数的基本概念和性质

1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a的相反数是 ，0的相反数是 ，a、b互为相反数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png

3、倒数：实数a的倒数是 ， 没有倒数，a、b互为倒数ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png

4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。

word/media/image5.gif

70d96dda12bf002dad3cd42ecf0544c7.png=

因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。

【名师提醒：a+b的相反数是 ，a-b的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】

三、科学记数法、近似数和有效数字。

1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a的取值范围是 。

2、近似数和有效数字：

一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。

【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a的取值范围一样，n的取值不同，当表示较大数时，n的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】

四、数的开方。

1、若x2=a(a 0),则x叫做a的 ，记做±c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png，其中正数a的 平方根叫做a的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。

2、若x3=a,则x叫做a的 ，记做76b1e479f805bb036a3487aeb35932e5.png，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。

【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】

【重点考点例析】

考点一：无理数的识别。

例1 （2012•六盘水）实数46780b2a292e60b7b32a7f172bf4746a.png中是无理数的个数有（　　）个．

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

解：45912794c2dcde62636f84dffbe86c8b.png，所以数字46780b2a292e60b7b32a7f172bf4746a.png中无理数的有：c00e741ed50589a38aa66e445bfb2822.png，共3个． 故选C．

点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。

对应训练

1．（2012•盐城）下面四个实数中，是无理数的为（　B　）

　 A．0 B．91a24814efa2661939c57367281c819c.png C．﹣2 D．c7ba8ef6ebee0e34f44f8e3921972e8a.png

考点二、实数的有关概念。

例2 （2012•乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（　　）　 A．﹣500元 B． ﹣237元 C． 237元 D． 500元

解：根据题意，支出237元应记作﹣237元． 故选B．

点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

例3 （2012•遵义）﹣（﹣2）的值是（　　）　 A．﹣2 B． 2 C． ±2 D． 4

解：∵﹣（﹣2）是﹣2的相反数，﹣2＜0，∴﹣（﹣2）=2． 故选B．

点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

例4 （2012•扬州）﹣3的绝对值是（　　）　 A．3 B． ﹣3 C． ﹣3 D．

解：﹣3的绝对值是3． 故选：A．

点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

例5 （2012•黄石）55deec8385928777f1cdd8a667f0cad0.png的倒数是（　　）　 A．7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png B． 3 C． ﹣3 D．55deec8385928777f1cdd8a667f0cad0.png

解：55deec8385928777f1cdd8a667f0cad0.png的倒数是a013a0d0ed497918c87b390b2017122e.png． 故选C．

点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

例6 （2012•怀化）64的立方根是（　　）　 A．4 B． ±4 C． 8 D． ±8

解：∵4的立方等于64， ∴64的立方根等于4． 故选A．

点评： 此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

例7 （2012•荆门）若5db7c73e849ea0ef050e9b4b318972d4.png与e703758f6784fea7afc9eae9ba8c4702.png互为相反数，则x+y的值为（　　）

　 A．3 B． 9 C． 12 D． 27

解：∵5db7c73e849ea0ef050e9b4b318972d4.png与e703758f6784fea7afc9eae9ba8c4702.png互为相反数， ∴5db7c73e849ea0ef050e9b4b318972d4.png+e703758f6784fea7afc9eae9ba8c4702.png=0，

∴， ②﹣①得，y=12， 把y=12代入②得，x﹣12﹣3=0，

解得x=15， ∴x+y=12+15=27． 故选D．

点评： 本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．

对应训练

2．（2012•丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（　A　）

　 A．﹣3℃ B． ﹣2℃ C． +3℃ D． +2℃

3．（2012•张家界）﹣2012的相反数是（　B　）

　 A．﹣2012 B． 2012 C．e05a52eed66e9d4324be84d4fb9120aa.png D．62b7cce4bdf49eb589cbcd43ab7fa20f.png

4．（2012•铜仁地区）|﹣2012|=　 2012 　．

5．（2012•常德）若a与5互为倒数，则a=（　A　）　 A．22417f146ced89939510e270d4201b28.png B． 5 C． ﹣5 D．22417f146ced89939510e270d4201b28.png

6．（2011•株洲）8的立方根是（　A　）　 A．2 B． ﹣2 C． 3 D． 4

7．（2012•广东）若x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，则（）2012的值是　 　．

解：根据题意得：，解得：． 则（）2012=（）2012=1．

考点三、实数与数轴。

例8 （2012•乐山）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（　　）

A．ab＞0 B．a+b＜0

C．（b-1）（a+1）＞0 D．（b-1）（a-1）＞0

解：a、b两点在数轴上的位置可知：-1＜a＜0，b＞1，∴ab＜0，a+b＞0，故A、B错误；

∵-1＜a＜0，b＞1， ∴b-1＞0，a+1＞0，a-1＜0故C正确，D错误．故选C．

点评：本题考查了数轴．在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

对应训练

8．（2012•常德）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（　A　）

A．a+b＞0 B．ab＞0

C．|a|+b＜0 D．a-b＞0

考点四、科学记数法。

例9 （2012•潍坊）许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断．根据测定，一般情况下一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉3.5千克水，若1年按365天计算，这个水龙头1年可以流掉（　　）千克水．（用科学记数法表示，保留3个有效数字）

A．3.1×104 B．0.31×105 C．3.06×104 D．3.07×104

解：3.5×24×365=30660=3.066×104≈3.07×104 故选D．

点评：此题主要考查了有理数的乘法在实际生活中的应用以及科学记数法的表示方法。用科学记数法表示一个数的方法是：

（1）确定a：a是只有一位整数的数；

（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．

对应训练

9．（2012•鸡西）2012年5月8日，“最美教师”张丽莉为救学生身负重伤，张老师舍己救人的事迹受到全国人民的极大关注，在住院期间，共有691万人以不同方式向她表示问候和祝福，将691万人用科学记数法表示为 6.9×106 人．（结果保留两个有效数字）

【聚焦山东中考】

一、选择题

1．（2012•青岛）﹣2的绝对值是（　D　）　 A．7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png B． ﹣2 C．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png D． 2

2．（2012•济宁）在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是（　C　）

A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定

3．（2012•聊城）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是91a24814efa2661939c57367281c819c.png和-1，则点C所对应的实数是（　　）

A．34df035cc211890410c67a263dfe6716.png B．4fd6098e467db04122674035d17b5272.png

C．11b7a81b2b0b21caf543e87425c92d90.png D．f73e0215971499627dc6f19e1418db16.png

3． 解：设点C所对应的实数是x．则有915fc6c420aea52b2e812d0b2f2c8f33.png ， 解得78a96060c6a6497b1b37a8f1ba48585a.png． 故选D．

4．（2012•烟台）的值是（　B　）　 A．4 B． 2 C． ﹣2 D． ±2

5．（2012•日照）据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为（　A　）A．1.94×1010 B．0.194×1010 C．19.4×109 D．1.94×109

6．（2012•济南）2012年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里，数字12800用科学记数法表示为（　C　）A．1.28×103 B．12.8×103 C．1.28×104 D．0.128×105

7．（2012•泰安）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（C）

A．21×10-4千克 B．2.1×10-6千克 C．2.1×10-5千克 D．21×10-4千克

二、填空题

8．（2012•德州）﹣1，0，0.2，72f315faebdd4f617b94fd6dd2a3f9c3.png，3中正数一共有　3 　个．

9．（2012•青岛）为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为 1.6×1010 元．

中考数学复习：实数的运算

【基础知识回顾】

一、 实数的运算。

1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。

2、运算法则：

加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。

减法，减去一个数等于 。

乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的 。

乘方：(-a) 2n +1 = (-a) 2n =

3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：(a+b)+c=

乘法交换律：ab= 乘法结合律：（ab）c=

分配律：（a+b）c=

二、零指数、负整数指数幂。 6708244e534927f216bcb7aa9d1babee.png= （a≠0） a-p= （a≠0）

【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png）-1= 】

三、实数的大小比较：

1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。

2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。

【重点考点例析】

考点一：实数的大小比较。

例1 （2012•西城区）已知8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png的整数部分为a，小数部分为b，则代数式a2-a-b的值为 ．

解：∵3＜8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png＜4，∴a=3，b=8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png-3，则a2-a-b=32-3-（8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png-3）=9-3-8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png+3=9-8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png，

故答案为：9-8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

例2 （2012•台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=360a0fdd6aa0518b728c8a9ebb948a70.png，乙=7c444d0a47f6b35ff659c765457429be.png，丙=5538c1d7c00512c89762d02578f59dc0.png，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（　　）

A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲=乙=丙

解：∵3=b99f5944f7e0f047f695ce149a3664b5.png＜4a68ac0136e5c8446ca046abe9e88800.png＜041488095c432876812e182dbbc08f48.png=4，∴8＜5+4a68ac0136e5c8446ca046abe9e88800.png＜9， ∴8＜甲＜9；∵4=041488095c432876812e182dbbc08f48.png＜dc7a204185d6830de9e1d0148902e0e2.png＜0a70791722988fed6afee087a1af7938.png=5，

∴7＜3+dc7a204185d6830de9e1d0148902e0e2.png＜8， ∴7＜乙＜8，∵4= 041488095c432876812e182dbbc08f48.png＜99007f9259f3528aecc38716b2b14680.png＜0a70791722988fed6afee087a1af7938.png=5，

∴5＜1+99007f9259f3528aecc38716b2b14680.png＜6， ∴丙＜乙＜甲 故选A．

点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

对应训练

1．（2012•南京）12的负的平方根介于（　B　）

A．-5与-4之间 B．-4与-3之间 C．-3与-2之间 D．-2与-1之间

2．（2012•宁夏）已知a、b为两个连续的整数，且a＜49d66b49a2741e5b36e82bc1a9d6a14b.png＜b，则a+b= 7 ．

考点二：实数的混合运算。

例3 （2012•岳阳）计算：38e12c7fed931de9761c4e76a25cba8c.png．

解：原式=3-91a24814efa2661939c57367281c819c.png+3-1+2×aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png =3-91a24814efa2661939c57367281c819c.png+3-1+91a24814efa2661939c57367281c819c.png=5．

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．

对应训练

3．（2012•肇庆）计算：2f29f01c3dc2418901afa855d1aa0c5f.png．

解：原式=99f01bc3ade5a785610a0e1e260eed54.png =73bcbf776ef27bf4e6b89e1c12f31f9a.png =eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png．

考点三：实数中的规律探索。

例4 （2012•张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号63aaa6013614daa88e51b5e6dcaf7d99.png的意义是

63aaa6013614daa88e51b5e6dcaf7d99.png=ad-bc．例如：e479df6f7a94dea8a53ee3de22f6f7e0.png，c63b43126cc63c5294f09fd692cdef74.png．

（1）按照这个规定，请你计算a939e3d99eaf10cd58581b671db72743.png的值；

（2）按照这个规定，请你计算：当x2-4x+4=0时，3af35141a97baabd0985c35510982216.png的值．

解：（1）a939e3d99eaf10cd58581b671db72743.png=5×8-7×6=-2；

（2）由x2-4x+4=0得（x-2）2=4， ∴x=2，∴3af35141a97baabd0985c35510982216.png=49124a22ca4407bb03889342bd789e97.png=3×1-4×1=-1．

点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．

【聚焦山东中考】

一、选择题

1．（2012•泰安）下列各数比-3小的数是（　C　）A．0 B．1 C．-4 D．-1

2．（2012•聊城）计算442859372a2ad0259842be56f3981fdb.png的结果是（　A　）A．55deec8385928777f1cdd8a667f0cad0.png B．7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png C．-1 D．1

二、填空题

1．（2012•德州）a82f4247f85daecf06487906d965c226.png > 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．（填“＞”、“＜”或“=”）

2．（2012•济南）计算：2sin30°06e3970189f001455557b7dad04b0713.png= -3 ．

解：2sin30°06e3970189f001455557b7dad04b0713.png =2×93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png-4=1-4=-3．

中考数学复习：整式

【基础知识回顾】

一、整式的有关概念：

word/media/image83.gif ：由数与字母的积组成的代数式

1、整式：

多项式： 。

单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2、同类项：

①定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。

【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是 式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】

二、整式的运算：

1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .

②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )

③整式加减的步骤是先 ，再 。

【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要 。】

2、整式的乘法：

①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即m(a+b+c)= 。

③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。

④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ ，

Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。

【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要 。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】

3、整式的除法：

①单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。即（am+bm）÷m= 。

三、幂的运算性质：

1、同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n为整数）

2、幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n ＝ （a＞0，m、n为整数）

3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。

即：(ab) n ＝ （a＞0，b＞0，n为整数）。

4、同底数幂的除法: 不变 相减，即：a m÷a n＝ （a＞0，m、n为整数）

【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n为奇数），(-a)n = （n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n= 。】

【重点考点例析】

考点一：代数式的相关概念。

例1 （2012•珠海）计算-2a2+a2的结果为（　　）A．-3a B．-a C．-3a2 D．-a2

解答：解：-2a2+a2=-a2，故选D．

点评：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：系数是-2+1=-1，题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目．

对应训练

1．（2012•莆田）如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，那么ab= ．

解答：解：∵单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，∴ a+1=3 b=3， 解得 a=2 b=3，

则ab=23=8．故答案为：8．

点评：本题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“相同”：

（1）所含字母相同；

（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．

2．（2012•桂林）计算2xy2+3xy2的结果是（　　）A．5xy2 B．xy2 C．2x2y4 D．x2y4

解答：解：2xy2+3xy2=5xy2．故选A．

点评：此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，注意掌握合并同类项的法则是关键．

考点二：整式的运算。

例2 （2012•宿迁）求代数式（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-4ab的值，其中a=1，b=1b7fcaa2e80f3cc459ba13babb1338cb.png．

解：原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2，当a=1，b=1b7fcaa2e80f3cc459ba13babb1338cb.png时，原式=2×12=2．

点评：本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，并且注意公式的使用．

对应训练

2．（2012•贵阳）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3，b=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．

解答：解：原式=2b2+a2-b2-（a2+b2-2ab）=2b2+a2-b2-a2-b2+2ab=2ab，
当a=-3，b=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png时，原式=2×（-3）×93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png=-3．

点评：本题考查的是整式的化简求出，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．

考点三：幂的运算。

例3 （2012•南平）下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2=a5 B．a5÷a4=a C．a•a4=a4 D．（ab2）3=ab6

解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故选项错误； B、a5÷a4=a5-4=a，故选项正确；

C、a•a4=a4+1=a5，故选项错误；D、（ab2）3=a3b6，故选项错误． 故选B．

点评：本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握．

对应训练

3．（2012•衢州）下列计算正确的是（　　）

A．2a2+a2=3a4 B．a6÷a2=a3 C．a6•a2=a12 D．（-a6）2=a12

解：A、2a2+a2=3a2，故本选项错误；B、a6÷a2=a4，故本选项错误；

C、a6•a2=a8，故本选项错误；D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确． 故选D．

点评：本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．

考点四：完全平方公式与平方差公式

例4 （2012•衡阳）下列运算正确的是（　　）

A．3a+2a=5a2 B．（2a）3=6a3 C．（x+1）2=x2+1 D．x2-4=（x+2）（x-2）

解：A、3a+2a=5a，故本选项错误； B、（2a）3=8a3，故本选项错误；
C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误； D、x2-4=（x+2）（x-2），故本选项正确；故选D．

点评：此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法则是关键．

例5 （2012•遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）

A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2-1）cm2

解：矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2=a2+2a+1-（a2-2a+1）=4a（cm2） 故选C．

点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大．

对应训练

4．（2012•哈尔滨）下列运算中，正确的是（　　）

A．a3•a4=a12 B．（a3）4=a12 C．a+a4=a5 D．（a+b）（a-b）=a2+b2

解：A、a3•a4=a7，故本选项错误； B、（a3）4=a12，故本选项正确；
C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项错误．故选B．

点评：本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．

5．（2012•绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n2

解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2． 故选C．

点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．

考点四：规律探索。

例6 （2012•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为 ．

解：依题意得：（1）n为奇数，单项式为：2n-1xn；（2）n为偶数时，单项式为：-2n-1xn．

综合（1）、（2），本数列的通式为：（-2）n-1•xn．故答案为：（-2）n-1xn．

点评：本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．

对应训练

6．（2012•盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（　　）A．-1005 B．-1006 C．-1007 D．-2012

解：a1=0，a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，a5=-|a4+3|=-|-2+4|=-2，…，

所以，n是奇数时，an=7b4e2306d0458454877be4e67a666f39.png ，n是偶数时，an=dc287178dd4a17fe0497f8670a8a8805.png，a2012=90084966a9d7a82eb9ac348a69d9c477.png =-1006．故选B．

点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．

【聚焦山东中考】

1．（2012•济宁）下列运算正确的是（　　）

A．-2（3x-1）=-6x-1 B．-2（3x-1）=-6x+1 C．-2（3x-1）=-6x-2 D．-2（3x-1）=-6x+2

解：A．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-1错误，故此选项错误；

B．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x+1错误，故此选项错误；

C．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-2错误，故此选项错误；

D．-2（3x-1）=-6x+2，故此选项正确；故选：D．

点评：此题主要考查了去括号法则，利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反得出是解题关键．

2．（2012•济南）化简5（2x-3）+4（3-2x）结果为（　　）A．2x-3 B．2x+9 C．8x-3 D．18x-3

解：原式=10x-15+12-8x =2x-3．故选A．

点评：本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．

3．（2012•威海）下列运算正确的是（　　）A．a3•a2=a6 B．a5+a5=a10 C．a÷a-2=a3 D．（-3a）2=-9a2

解：A、a3•a2=a5，故本选项错误；B、a5+a5=2a5，故本选项错误；
C、a÷a-2=a1-（-2）=a3，故本选项正确；D、（-3a）2=9a2，故本选项错误．故选C．

点评：此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键．

4．（2012•聊城）下列计算正确的是（　）A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x6 C．（x2）3=x5 D．x5÷x3=x2

解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2•x3=x2+3=x5，故此选项错误；

C、（x2）3=x6，故此选项错误；D、x5÷x3=x2，故此选项正确；故选：D．

点评：此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

5．（2012•临沂）下列计算正确的是（　　）

A．2a2+4a2=6a4 B．（a+1）2=a2+1 C．（a2）3=a5 D．x7÷x5=x2

解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；
C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．故选D．

点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2a+b2．也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则．

6．（2012•东营）若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为（　　）A． 922d0848fefc29914e278eb8e483a26c.png B． b0cdadb8bdea36abcccdd0db8a2358bc.png C．-3 D． c7ba8ef6ebee0e34f44f8e3921972e8a.png

解：∵3x=4，9y=7，∴3x-2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=922d0848fefc29914e278eb8e483a26c.png．故选A．

点评：此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x-2y变形为3x÷（32）y是解此题的关键．

7．（2012•滨州）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S-S=22013-1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　）

A．52012-1 B．52013-1 C．08daaa34fb90a6586ebffcee35b0161d.png D．362338a22b103f02251e751b7d95ffe9.png

解：设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，

因此，5S-S=52013-1， S=08daaa34fb90a6586ebffcee35b0161d.png．故选C．

点评：本题考查了同底数幂的乘法，读懂题目提供的信息，是解题的关键，注意整体思想的利用．

8．（2012•德州）化简：6a6÷3a3= 2a3

．

解：6a6÷3a3=（6÷3）（a6÷a3）=2a3．故答案为：2a3．

点评：本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则．

9．（2012•滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式 a4•a2=a6（答案不唯一）

．

解：a4•a2=a6．故答案是a4•a2=a6（答案不唯一）．

点评：本题考查了同底数幂的乘方，解题的关键是注意掌握同底数幂的运算法则．

10．（2012•济宁）某种苹果的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了5千克，应找回 元．

解：根据题意，5千克苹果售价为5x元，所以应找回 （100-5x）元．故答案为 （100-5x）．

点评：此题考查列代数式，属基础题，简单．

12．（2012•菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，

则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ．

解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，

43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，

53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，

63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，

所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6-1）=41．故答案为：41．

点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂的第一个数的变化规律是解题的关键，也是求解的突破口．

中考数学复习：因式分解

【基础知识回顾】

一、因式分解的定义：

1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是 运算。

【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】

二、因式分解常用方法：

1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】

2、运用公式法：

将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2= , ②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，

找准里面a与b。如：x2-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngx+eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png即是完全平方公式形式而x2- x+93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png就不符合该公式。】

二、 公式分解的一般步骤

1、 一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先

2、 二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用 法来分解。

3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。

【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】

【重点考点例析】

考点一：因式分解的概念

例1 （2012•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（　　）

A．m2+n B．m2-m+1 C．m2-n D．m2-2m+1

解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；

C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．故选D．

点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．

对应训练

1．（2012•凉山州）下列多项式能分解因式的是（　C　）

A．x2+y2 B．-x2-y2 C．-x2+2xy-y2 D．x2-xy+y2

考点二：因式分解

例2 （2012•天门）分解因式：3a2b+6ab2= ．

解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）． 故答案为：3ab（a+2b）．

点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

例3 （2012•广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2= ．

解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2．故答案为：3m（m-3n）2．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

对应训练

2．（2012•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　A　）

A．a（a-4） B．（a+2）（a-2） C．a（a+2）（a-2） D．（a-2）2-4

3．（2012•恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（　D　）

A．a2b（a2-6a+9） B．a2b（a-3）（a+3） C．b（a2-3）2 D．a2b（a-3）2

考点三：因式分解的应用

例4 8．（2012•随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则(3d30dcd51a71eb0f0df9d516c1d1aa2c.png)5= ．

解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0， ∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，
化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0，因此a+b2=0，即b2=-a，
∴(3d30dcd51a71eb0f0df9d516c1d1aa2c.png)5=(e282d24a5d46fce68c6adc7bc85a25ba.png)5=-(9ed01ff03a32b4eacedab0dd6d254296.png)5=(368f0c91e6677416818ce44a3f7b6048.png)5
=（-2）5=-32． 故答案为-32．

点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．

对应训练

4．（2012•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= 6 ．

【聚焦山东中考】

1．（2012•济宁）下列式子变形是因式分解的是（　B　）

A．x2-5x+6=x（x-5）+6 B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）

C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6 D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）

2．（2012•临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= a（1-3b）2 ．

3．（2012•潍坊）分解因式：x3-4x2-12x= ．

解：x3-4x2-12x=x（x2-4x-12）=x（x+2）（x-6）． 故答案为：x（x+2）（x-6）．

点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．

4．（2012•威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= ．

解：3x2y+12xy2+12y3=3y（x2+4xy+4y2）=3y（x+2y）2． 故答案为：3y（x+2y）2．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

中考数学复习：分式

【基础知识回顾】

一、 分式的概念

若A，B表示两个整式，且B中含有 那么式子 就叫做分式

【名师提醒：①：若 则分式f2aba21207969d4fc71b01c0488b4b7a.png无意义②：若分式f2aba21207969d4fc71b01c0488b4b7a.png=0，则应 且 】

三、 分式的基本性质

分式的分子分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。

1、f475a9f3907cb1d5def83b98777f987d.png= 20c09f7a2b22472b8c1d02d58f88f001.png= （m≠0） 2、分式的变号法则3852ae1418494ccc0b4f53b7349ff302.png=fd98c422eba5ed97f0b7ad6cb43b6be1.png

3、 约分：根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约分。

约分的关键是确保分式的分子和分母中的

约分的结果必须是 分式

4、通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式的通分 通分的关键是确定各分母的

【名师提醒：①最简分式是指 ② 约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的 应用字母的 当分母、分母是多项式时应先 再进行约分 ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的 相同字母 分母中有多项式时仍然要先 通分中有整式的应将整式看成是分母为 的式子 ④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】

四、 分式的运算：

1、分式的乘除

①分式的乘法：7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png.782d3fed92b88eb4b488f958e23ffa3e.png= ②分式的除法：7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.pnge838bb54986d1162d354a4f9ca45dd8c.png782d3fed92b88eb4b488f958e23ffa3e.png= =

2、分式的加减

①用分母分式相加减：7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png±093f8a967400f274ba09d084a57ef1af.png=

②异分母分式相加减：7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png±782d3fed92b88eb4b488f958e23ffa3e.png= =

3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png)m =

【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质是 的过程

②异分母分式加减过程的关键是 】

4、 分式的混合运算：应先算 再算 最后算 有括号的先算括号里面的。

5、 分式求值：①先化简，再求值。

②由值的形式直接化成所求整式的值

③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中

【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式

②分式运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入 】

【重点考点例析】

考点一：分式有意义的条件

例1 （2012•宜昌）若分式1a00fa6fb8f53c796e1b07121d765057.png有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a=0 B．a=1 C．a≠-1 D．a≠0

解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠-1．故选C．

点评：从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

对应训练

1．（2012•湖州）要使分式afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png有意义，x的取值范围满足（　B　）A．x=0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0

考点二：分式的基本性质运用

例2 （2012•杭州）化简e16b03bb90304a6a863de206b255ef21.png得 ；当m=-1时，原式的值为 ．

解：e16b03bb90304a6a863de206b255ef21.png=a057e3dd3618ecffa4db63d504c53c05.png=dfe4ea521bde6af3e8e78b9a14adca2b.png。当m=-1时，原式=52811e01bc9e8071f2cce9a48065be1d.png=1， 故答案为：dfe4ea521bde6af3e8e78b9a14adca2b.png，1．

点评：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中．

对应训练

2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（　C　）A．98772fe8a9e00c83b2fc18f1c796eb67.png B．4d602bf02902a4237a7cc63b12d52ce5.png C．b33fa9663ff494affaee826e53166ad0.png D．15d39bb65a8f73e69de8502229f421f9.png

考点三：分式的化简与求值

例3 （2012•南昌）化简：0aead485f9aa2f8d4ee2f52f185a4f84.png．

解：原式=79560648604db83ec548c269e89f4b6f.png =4015ac04c0394d3d4971fce38d32ca62.png =-1．

点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．

例4 （2012•安徽）化简6d40965b290ee79ab514798d1de4234e.png 的结果是（　　）A．x+1 B．x-1 C．-x D．x

解：6d40965b290ee79ab514798d1de4234e.png 6506dbaa104e83507e96081bd8fcec1c.png 308de1041a0291d04f2767b87872afd2.png 73ca499fb2d8c724bed66d6d1c7c262a.png =x， 故选D．

点评：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

例5 （2012•天门）化简a02f31c88b84c391e1e0f1ced8c97331.png 的结果是（　　）

A．130113e42af7d067dd3df0b36596201f.png B．441c5c4c61d64efc0162beb1768c1de7.png C．483dcf92dd5d6ca7903363b912c70cda.png D．0e01bce1c67dc824e27c955a6a6ef6a4.png

解：a02f31c88b84c391e1e0f1ced8c97331.png =802ebacccab0869c26b5895d9a2a0c5a.png =113afbdfb135c56a85c35e8c09d45ee8.png =0e01bce1c67dc824e27c955a6a6ef6a4.png．故选D。

点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．

例6 （2012•遵义）化简分式45a28e982dac05f08e1b5edb6c9ad476.png，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．

解：原式=3f90474a147e197e055f84fa8eb6293d.png =1177b008fb6cd99ba018d1fff1639957.png =47f97d82f63260c28e8bccb4e830dd67.png，

由于当x=-1或x=1时，分式的分母为0，故取x的值时，不可取x=-1或x=1，

不妨取x=2，此时原式=d92bec1ca7cbac4908ebfc485d2c4814.png．

点评：分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．

对应训练

3．（2012•河北）化简e7fd5c5c9f0f33f60926c8647e972d79.png的结果是（　C　）A．e3dcfea70571d3b8051bebd7463f8fcf.png B．98f5f8fbff824257cabf5c08be4d6b98.png C．e3dcfea70571d3b8051bebd7463f8fcf.png D．2（x+1）

4．（2012•绍兴）化简1b5708b5e19b3dcb871bcb275633ccbd.png可得（　B　）A．226daa6479a8ffeb89811688b386309c.png B．7d485962bd0a91353cbb882cd8d68242.png C．a501e2520aab77d3795e94bbea7a136d.png D．0f86a81f70cb2612024fd60dac3583c5.png

5．（2012•泰安）化简57bda5662043c06f809af3fe23f736ff.png= m-6 ．

6．（2012•资阳）先化简，再求值：7e296984cb14ef8f995c0a880c99fd1a.png，其中a是方程x2-x=6的根．

解：原式=c29b0ea83f7d3b214eea3cde617d3cec.png=b6bcd2b6817c66b0144a84c5472bef1d.png =3f2c61e735489014ab69036fcf4e7519.png =75e854e1f8361ad40cddcbe228bb90c4.png．

∵a是方程x2-x=6的根，∴a2-a=6，∴原式=6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png．

考点四：分式创新型题目

例7 （2012•凉山州）对于正数x，规定13edd18a5bfc170018348242f710be92.png，例如：77dc9ac943aa95b83104b84e2dc2f8cb.png，0275ea9ecf162c4b87485e9aa39984e1.png，则

e62cfb06bc6f2461606741e242033607.png ．

解：∵当x=1时，5980e74a25348dfd561ace64c50fce4b.png；当x=2时，e906b0d31c522759d429e371bc6f9cc9.png，当8252d77bf5b096d504816a5094724abd.png时，3e37364923e7cac858ce49f36f7ea552.png；

当x=3时，ef1860d9b9750c4467b0896081717718.png，当8b9bd2090e0ab17078b94006948ea9f1.png时，f7861896059f2b93ac7670b0833efc52.png…，∴442e6d5938127fc2a8c2a27fdf6fba7d.png，…，∴e400e42839af8ba49beb66eb6a905208.png，

∴7ee083401810ce0d69221a4fd1ab2c9b.png8b424a598676bdaa43680b6e9a06b3e4.png．

点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意得出c9631e55366c2c83644fd06820b7cf2f.png是解答此题的关键．

对应训练

7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为016f8b516d60a172d8546d87ae29d38a.png，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算451d1641f9e37be1bb71e2533cc4ce4e.png ．

解：由题意得，dfef9a62ce743d181b676ad4eec9ea26.png48f0843a104941a48cfa57fffab1e3ec.png．

【聚焦山东中考】

一、选择题

1．（2012•潍坊）计算：2-2=（　A　） A．eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png B．d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png C．9cfc6c804c15c99ca9067e5964d76f56.png D．4

2．（2012•德州）下列运算正确的是（　A　）A．3b9f7b2eb85955cdacc9a25b30575e38.png B．（-3）2=-9 C．2-3=8 D．20=0

3．（2012•临沂）化简9e73630fa7bfc5f10dbd6c0b3b7dbedc.png的结果是（　A　）A．60b2e7012d778db1ad2f67c7f392496e.png B．bd2d53fe085ef12771dca6c5cf41b205.png C．60cb201bc9bfdf2f4bcb9f38e02b1b00.png D．fd0c54f72db983c444097d27877d9c92.png

4．（2012•威海）化简的结果是（　　）A． B． C． D．

解：原式=﹣ = = =．

点评： 本题考查了分式的加减法：先把各分母因式分解，确定最简公分母，然后进行通分化为同分母的分式，再把分母不变，分子相加减，然后进行约分化为最简分式或整式．

二、填空题

5．（2012•聊城）计算：b18c0f001f9623a6dc177e709effb20e.png bd2d53fe085ef12771dca6c5cf41b205.png ．

6．（2011•泰安）化简：adb87f9fc0f073ee0b632e9c80b333f9.png的结果为 x-6 ．

三、解答题

7．（2012·济南）化简：6c9bb9f348c17d639a08e3d38c1192df.png．解：原式=3d7a3598327a1aea52d81b8880905ea0.png =a12005963b94128fac00a9a2f91f95f4.png．

8．（2012•烟台）化简：ac4b0d2ab6dd076820150e96e882a0f9.png．

解：原式=0cf0f5acb36daa2166aa61331f284234.png =1aa7197366b9ec4c3eb70dba15b442f9.png =bd2d53fe085ef12771dca6c5cf41b205.png。

9．（2012•青岛）化简：79495a8925f93ed35ca20131174e1b9d.png。解：原式=c0c61e4681f7b6aa7aaded89eb994a74.png。

10．（2012•东营）先化简，再求代数式357f603408dd5019bada71ab97dc1f25.png的值，其中x是不等式组679f1722a65024a938bfda41fa0344fb.png的整数解．

解：原式=43348e94029629bbf2b0f7a2ed85d790.png=a36e27e13b697bd9cb1e568b83db1c56.png， 解不等式组679f1722a65024a938bfda41fa0344fb.png得2＜x＜8a5c7a509d3e39bed6282d07e7da61f3.png，
因为x是整数，所以x=3，当x=3时，原式=eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png．

11．（2012•德州）已知：65cf82ed833cc5356d99851ac3ab0a59.png，求b1b75cd963cd39fe71718fa062aafe87.png的值．

解：原式=ebebc186341e58859e10a99c70d3b148.png =1e1c0205cdb6be70127014d5d994b390.png，当65cf82ed833cc5356d99851ac3ab0a59.png时，原式=4cd6692c4390b851ae4d475ce5c71a89.png．

12．（2012•莱芜）先化简，再求值：÷，其中a=﹣3．

解：原式=（﹣）÷

=• =，

∵a=﹣3， ∴原式==﹣．

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

中考数学专题复习：二次根式

【基础知识回顾】

一、 二次根式: 式子c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png（ ）叫做二次根式

【名师提醒：①次根式c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png必须注意a___o这一条件，其结果也是一个非数即：c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png___o

②二次根式c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png（a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】

二、 二次根式的性质：

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①（c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png）2= （a≥0） c18ecf8c296ffe653d0909ec8574a843.png=

③26549086a415e861e71aa0a8dc61207d.png= （a≥0 ,b≥0） ④9f0fe12922b207add91f00167122fb2c.png= (a≥0, b≥0)

【名师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较291a24814efa2661939c57367281c819c.png和3d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png的大小，可逆用（c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png）2=a(a≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】

三、最简二次根式：

1、被开方数的因数是 ，因式是整式 2、被开方数不含 的因数或因式

四、二次根式的运算：

1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同

2、二次根式的乘除： c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png.e35df863fc94d6c6fa5b34788e170373.png= （a≥0 ,b≥0） bfc2a0031292dbcee60b67e360f2e23b.png=（a≥0，b＞0）

3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算

【名师提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：a0e3fc488833b9b622f06e66656138d1.png= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 】

【重点考点例析】

考点一：二次根式有意义的条件

例1 （2012•潍坊）如果代数式b21f2f9702d2b8d3a83727ce6a5651fc.png有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠3 B．x＜3 C．x＞3 D．x≥3

解：要使代数式b21f2f9702d2b8d3a83727ce6a5651fc.png有意义，必须x-3＞0，解得：x＞3． 故选C．

点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式2d450bf5513d7368665b369c467515bf.png中A≠0，二次根式c17e049691f2eb2d93102b7d4b309572.png中a≥0．

对应训练

1．（2012•德阳）使代数式f72dbef60c6886fdddff3d9dd3f45e8e.png有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≥0 B．x≠93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png C．x≥0且x≠93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png D．一切实数

解：由题意得：2x-1≠0，x≥0，解得：x≥0，且x≠93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png， 故选：C．

考点二：二次根式的性质

例2 （2012•张家界）实数a、b在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简1fb9ac63636f98001e45ee4b9f4aa79c.png的结果为（　　）

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b

解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b． 故选C．

点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．

对应训练

2．（2012•呼和浩特）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则18e8bf201d27a47382a881e1ea866262.png的化简结果为 ．

2．解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴18e8bf201d27a47382a881e1ea866262.png =|a+b|+a =-a-b+a =-b，

考点三：二次根式的混合运算

例3 （2012•上海）df717dc116aca26467fb5ec9a24c49eb.png．

解：原式=3f019f61386cfabcecd41e1f686a3b6a.png =1dd4f51f4e71be819c87a95fc787abe2.png =3．

点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键．

对应训练

3．（2012•南通）计算：c3cbefd74010c3e51bae9b56a8d2e0ae.pngc812e7b342bf4057474f36805f2db26d.png 62b0a7becf42d6be9b4858b2ca222dcc.png．

考点四：与二次根式有关的求值问题

例4 （2012•巴中）先化简，再求值：bed005f538b816b4e907a007cba3cac5.png，其中x=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．

解：原式=42275d87dcbebf69a365ca6ad03d0d8e.png， 当x=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png时，x+1＞0，
可知92476d632ff218a022bf75b8d609d545.png， 故原式=1e1096fdad3e656a635f0959ec866de0.png；

点评：本题考查的是二次根式及分式的化简求值，当x=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png时得出92476d632ff218a022bf75b8d609d545.png．

对应训练

4．（2012•台湾）计算cca4e6df3a2c9566e5a6eb9c4a40f1fc.png之值为何？（　　）A．0 B．25 C．50 D．80

解：cca4e6df3a2c9566e5a6eb9c4a40f1fc.png =0771b8ffa0d5b7b06582a18394885a86.png =5bdc4e11e0fece8559f61757d7e011bb.png =f1f0e7e984933d6b4c826d65c1796861.png =360401186060102a2b01cbd1b88af88f.png =c40ab1b31d96e47fc2a1918da8dcea14.png=2×5×8 =80 故选D．

点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用．

【聚焦山东中考】

1．（2012•泰安）下列运算正确的是（　B　）

A．9c80083097ca7bb23242e53f910d5773.png B．546ab3ea78179ce314110cea3632c936.png C．x6÷x3=x2 D．（x3）2=x5

2.（2012•临沂）计算：9b6773161af9de5f64c30da0cda2a6fe.png 0 ． bc1163e9b6db35b076444f00b00e8c45.png 7

中考数学复习：二元一次方程（组）

【基础知识回顾】

一、 等式的概念及性质：

1、等式：用“=”连接表示 关系的式子叫做等式

2、等式的性质：

性质①等式两边都加（减） 所得结果仍是等式即：若a=b,那么a±c=

性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式 若：a=b,那么a c= 若a=b（c≠o）那么225b9a82c2424f66c3db040f14e92ec6.png=

【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”不被漏项

②等式两边都除以一个数式时必须保证它的值 】

二、方程的有关概念：

1、含有未知数的 叫做方程

2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的解

3、 叫做解方程

4、方程两边都是关于未知数的 这样的方程叫做整式方程

三、一元一次方程：

1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式

2、解一元一次方程的一般步骤：

1。 2。 3。 4。 5。

【名师提醒：1、一元一次方程的解法的多步骤的一句分别是等式的性质和合并同类法则要注意灵活准确运用 2、去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。 】

四、二元一次方程组及解法：

1、 二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c是常数，a≠o,b≠o)

2、 由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组

3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解

4、 解二元一次方程组的基本思路是：

5、 二元一次方程组的解法：① ②

word/media/image272.gif【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解

2、二元一次方程组的解应写成

五、列方程（组）解应用题：

一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知点和未知点

2、设：直接或间接设未知数

3、列：根据题意寻找等关系列方程（组）

4、解：解这个方程（组），求出未知数的值

5、验：检验方程（组）的解是否符合题意

6：答：写出（名称）

【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是： 2、几个常用的等量关系：①路程= X ②工作效率= 】

【重点考点例析】

考点一：等式性质及一元一次方程的解法

例1 （2012•漳州）方程2x-4=0的解是 ．

解：移项得，2x=4，系数化为1得，x=2．故答案为：x=2．

点评：本题考查了移项解一元一次方程，是基础题，注意移项要变号．

对应训练

1．（2012•郴州）一元一次方程3x-6=0的解是 x=2 ．

考点二：二元一次方程组的解法（巧解）

例2 （2012•厦门）解方程组：150e2d119725e268091b2bbfe229ffe8.png．

解：49b9208c3b6c508a522e5927240ff321.png，①+②得，5x=5，解得x=1；
把x=1代入②得，2-y=1，解得y=1，故此方程组的解为：2e8dc49c10e2a9d6e8d18acf0b92032f.png．

点评：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．

对应训练

2．（2012•南京）解方程组1207affd35325bb7c8b772664e28284c.png．

2．解：aaffec0e6c1e76eff1f8c821cb230df6.png 由①得x=-3y-1③，将③代入②，得3（-3y-1）-2y=8，
解得：y=-1．将y=-1代入③，得x=2．故原方程组的解是1e4819528a69c2fbe3f99d3e786374f1.png．

考点三：一次方程（组）的应用

例3 （2012•温州）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（　　）

A．c7b94ae31d0557dbe4f9b61babf196dc.png B．41b092d9dff757ec1c86881ed766a3d3.png C．d8da9d60a41a36e03eb12e4d5ef27432.png D．ebf83df339ac0f30e7378977043537ac.png

解：设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意得，41b092d9dff757ec1c86881ed766a3d3.png，故选：B．

点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．

例4 （2012•天津）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．

设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中

提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：

（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？
（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．

解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5；
②当t＞350时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5；
③方式二当t＞350时收费：88+0.19（x-350）=0.19t+21.5．

（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）-（0.19t+21.5）=0.06t-1＞0，
∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270．
即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．
（Ⅲ）方式二．
方式一收费-方式二收费y=0.25t+20.5-0.19t-21.5=0.06t-1，
当330＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．答：当330＜t＜360时，方式二计费方式省钱．

点评：此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．

例5 （2012•株洲）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：

       小华：77分              小芳75分                小明： ？ 分
（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？（2）依此方法计算小明的得分为多少分？

解：（1）设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，依题意得：
e871f4b3e152cbe90a8f4f056562ab0f.png，解得：fd717ccba39c376919471f6111d07e2b.png，答：求掷中A区、B区一次各得10，9分．
（2）由（1）可知：4x+4y=76，答：依此方法计算小明的得分为76分．

点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．

对应训练

3．（2012•宁夏）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　B　）

A．f90bfe5821bcf54fd2b93d1c8f6b775b.png B．7d8889b70910ab37dc96ab019fe87f3d.png C．fe80cd1ddd12b36322dbd329671d7d4f.png D．8a816e3950087dd830044bcc36827b9e.png

4．（2012•淮安）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：

例：若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）+（400-350）×（0.52+0.30）=230（元）
（1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；
（2）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？

4．解：（1）用电量为210度时，需要交纳210×0.52=109.2元，用电量为350度时，需要交纳210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189元，故可得小华家5月份的用电量在第二档，
设小华家5月份的用电量为x，则210×0.52+（x-210）×（0.52+0.05）=138.84，
解得：x=262，即小华家5月份的用电量为262度．
（2）由（1）得，当a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；
当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档；当a＞189时，华家的用电量在第三档；

5．（2012•云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件．已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件．求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水个多少件？

5．解：设该企业向甲学校捐了x件矿泉水，向乙学校捐了y件矿泉水，
由题意得，29a082ec702a05c1f848cfd3fa87fabc.png，解得：7ebf53266899d5d99eb581e728ee03b4.png．
答：设该企业向甲学校捐了1200件矿泉水，向乙学校捐了800件矿泉水．

【聚焦山东中考】

1．（2012•滨州）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（　D　）

A．6101213136aa80961c14d901140c5e47.png B．7f2361c69806829025065a8976d98f8f.png

C． 65b30ae22c90e1139deaa904ebd6c946.png D．688d9f085ad38adc4b1790342fc5195e.png

2．（2012•菏泽）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　）

　 A．±2 B． C． 2 D． 4

解：∵是二元一次方程组的解，∴，解得：，

∴2m﹣n=4，∴2m﹣n的算术平方根为2．故选C．

点评： 此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义．

4．（2012•临沂）关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（　　）

　 A．5 B． 3 C． 2 D． 1

解：∵方程组的解是，∴， 解得， 所以，|m﹣n|=|2﹣3|=1．

点评： 本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出m、n的值是解题的关键．

5．（2012•聊城）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？

5．解：设书包和文具盒的标价分别为x元和y元，根据题意，得
5ffdf087f29a3bfa005a140475fe1a4c.png 解得3ce5cb0f0164ab74912306fef69b7475.png．
答：书包和文具盒的标价分别为48元和18元．

6．（2012•东营）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：
（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，依题意得：

76178355e99404a7081b9d413c50d168.png， 整理得：f735d7c3d5b7067982b958f44f578ff6.png，
①×12-②得：13y=3900， 解得：y=300， 将y=300代入①得：x=400，
∴方程组的解集为：981f83758eb38cf002b3e3e2f34003fb.png， 经检验x=400，y=300符合题意，
则工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨；
（2）依题意得：300×8000-400×1000-15000-97200=1887800（元），
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．

点评：此题考查了二元一次方程组的应用，是一道与实际密切相关的热点考题，解答此类题时，要弄清题中的等量关系，列出相应的方程组，进而得到解决问题的目的．

中考数学复习：一元二次方程及应用

【基础知识回顾】

一、 一元二次方程的定义：

1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 方程

2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项

【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】

二、一元二次方程的常用解法：

1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X1= X2=

2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数

2、移项：把 项移到方程的 边

3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式

4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程

3、公式法：如果方程aX 2 +bx+c=0(a±0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为

4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而方程的两根

【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】

三、一元二次方程根的判别式

关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示

word/media/image312.gif①当 时，方程有两个不等的实数根

②当 时，方程看两个相等的实数根

③当 时，方程没有实数根

【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】

三、 一元二次方程根与系数的关系：

关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为X1 X2

则X1+X2 = X1X2 =

四、 一元二次方程的应用：

解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行

常见题型

1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数X a（1+X）2=b

2、 利润问题：总利润= X 或利润 —

3、 几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程

【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】

【重点考点例析】

考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）

例1 （2012•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）