2018年上海市长宁区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】

1．（4分）函数y＝2x﹣1的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（4分）下列式子一定成立的是（　　）

A．2a+3a＝6a B．x8÷x2＝x4

C．a＝ D．（﹣a﹣2）3＝﹣

3．（4分）下列二次根式中，的同类二次根式是（　　）

A． B． C． D．

4．（4分）已知一组数据2、x、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（　　）

A．3.5 B．4 C．2 D．6.5

5．（4分）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（　　）

A．11 B．6 C．3 D．2

6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，下列四个命题中真命题是（　　）

A．若AB＝CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形

B．若∠DBC＝∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形

C．若＝，则四边形ABCD一定是矩形

D．若AC⊥BD且AO＝OD，则四边形ABCD一定是正方形

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】

7．（4分）计算：sin30°﹣（﹣3）0＝　 　．

8．（4分）方程﹣x＝的解是　 　．

9．（4分）不等式组的解集是　 　．

10．（4分）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2017，2018），当x＞0时，函数值y随自变量x的值增大而　 　．（填“增大”或“减小”）

11．（4分）若关于x的方程x2﹣﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　．

12．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　 　．

13．（4分）抛物线y＝mx2+2mx+5的对称轴是直线　 　．

14．（4分）小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是　 　．

15．（4分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为　 　．

16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，BC＝CD＝4，AD＝2，若＝，＝，用、表示＝　 　．

17．（4分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于　 　．

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，联结CP，将△BCP沿着直线CP翻折，若点B落在边AD上的点E处，且EP∥AB，则AB的长等于　 　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】

19．（10分）先化简，再求值：﹣，其中x＝．

20．（10分）解方程组：

21．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，BC＝24，sin∠ABC＝．

（1）求AB的长；

（2）若AD＝6.5，求∠DCB的余切值．

22．（10分）某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？

23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，联结AE分别交BD、CD于点G、F，且＝．

（1）求证：AB∥CD；

（2）若BC2＝GD•BD，BG＝GE，求证：四边形ABCD是菱形．

24．（12分）如图在直角坐标平面内，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（﹣1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）联结AD、DC，求△ACD的面积；

（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

25．（14分）在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC＝x，＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

2018年上海市长宁区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】

1．（4分）函数y＝2x﹣1的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】由于k＝2，函数y＝2x﹣1的图象经过第一、三象限；b＝﹣1，图象与y轴的交点在x轴的下方，即图象经过第四象限，即可判断图象不经过第二象限．

【解答】解：∵k＝2＞0，

∴函数y＝2x﹣1的图象经过第一，三象限；

又∵b＝﹣1＜0，

∴图象与y轴的交点在x轴的下方，即图象经过第四象限；

所以函数y＝﹣x﹣1的图象经过第一，三，四象限，即它不经过第二象限．

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方．

2．（4分）下列式子一定成立的是（　　）

A．2a+3a＝6a B．x8÷x2＝x4

C．a＝ D．（﹣a﹣2）3＝﹣

【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，分数指数幂，积的乘方，可得答案

【解答】解：A、2a+3a＝5a，故A不符合题意；

B、x8÷x2＝x6，故B不符合题意；

C、a＝，故C不符合题意；

D、（﹣a﹣2）3＝﹣a﹣6＝﹣，故D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

3．（4分）下列二次根式中，的同类二次根式是（　　）

A． B． C． D．

【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与与是同类二次根式，本题得以解决．

【解答】解：A、＝2与不是同类二次根式，错误；

B、与不是同类二次根式，错误；

C、与是同类二次根式，正确；

D、与不是同类二次根式，错误；

故选：C．

【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．

4．（4分）已知一组数据2、x、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（　　）

A．3.5 B．4 C．2 D．6.5

【分析】先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数．

【解答】解：∵数据2、x、8、5、5、2的众数是2，

∴x＝2，

则数据为2、2、2、5、5、8，

所以中位数为＝3.5，

故选：A．

【点评】本题考查了众数、中位数，解题的关键是理解众数、中位数的概念，并根据概念求出一组数据的众数、中位数．

5．（4分）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（　　）

A．11 B．6 C．3 D．2

【分析】若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围．

【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，

外离时的数量关系应满足d＞11；

内含时的数量关系应满足0≤d＜3．

观察选项，只有D符合题意．

故选：D．

【点评】考查了圆与圆的位置关系，关键是根据两圆的位置关系和数量关系之间的等价关系解答．

6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，下列四个命题中真命题是（　　）

A．若AB＝CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形

B．若∠DBC＝∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形

C．若＝，则四边形ABCD一定是矩形

D．若AC⊥BD且AO＝OD，则四边形ABCD一定是正方形

【分析】根据等腰梯形、矩形、正方形的判定判断即可．

【解答】解：A、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若AB＝CD，则四边形ABCD可能是矩形，错误；

B、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若∠DBC＝∠ACB，则四边形ABCD可能是正方形，错误；

C、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若＝，则四边形ABCD一定是矩形，正确；

D、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若AC⊥BD且AO＝OD，则四边形ABCD可能是等腰梯形，错误；

故选：C．

【点评】此题考查命题与定理，关键是根据等腰梯形、矩形、正方形的判定解答．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】

7．（4分）计算：sin30°﹣（﹣3）0＝　﹣　．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝﹣1

＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

8．（4分）方程﹣x＝的解是　x＝﹣2　．

【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．

【解答】解：两边平方得：x2＝x+6，即（x﹣3）（x+2）＝0，

解得：x＝3或x＝﹣2，

经检验x＝3是增根，无理方程的解为x＝﹣2，

故答案为：x＝﹣2

【点评】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，无理方程注意要验根．

9．（4分）不等式组的解集是　x＞3　．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：

解不等式①，得x＞3；

解不等式②，得x≥；

∴不等式组的解集为x＞3，

故答案为x＞3．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

10．（4分）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2017，2018），当x＞0时，函数值y随自变量x的值增大而　增大　．（填“增大”或“减小”）

【分析】根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据k值的正负确定函数值的增减性．

【解答】解：反比例函数y＝的图象经过点（﹣2017，2018），

所以k＜0，

所以当x＞0时，y的值随自变量x值的增大而增大．

故答案为：增大．

【点评】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质，解题时注意：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

11．（4分）若关于x的方程x2﹣﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是　m＝﹣　．

【分析】根据题意可以得到△＝0，从而可以求得m的值．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣﹣m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝＝0，

解得，m＝，

故答案为：m＝﹣．

【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确根的判别式的意义．

12．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　　．

【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图形有圆、矩形、菱形这3个，

∴抽到中心对称图形的概率是，

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

13．（4分）抛物线y＝mx2+2mx+5的对称轴是直线　x＝﹣1　．

【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣即可求解．

【解答】解：抛物线y＝mx2+2mx+5的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，即x＝﹣1．

故答案为x＝﹣1．

【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣是解题的关键．

14．（4分）小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是　0.7　．

【分析】用通话时间不足10分钟的通话次数除以通话的总次数即可得．

【解答】解：通话时间不足10分钟的通话次数的频率是＝＝0.7，

故答案为：0.7．

【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数．

15．（4分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为　140°　．

【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．

【解答】解：连接BD，

∵E、F分别是边AB、AD的中点，

∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，

∴∠ADB＝∠AFE＝50°，

BD2+CD2＝225，BC2＝225，

∴BD2+CD2＝BC2，

∴∠BDC＝90°，

∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝140°，

故答案为：140°．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，BC＝CD＝4，AD＝2，若＝，＝，用、表示＝　﹣　．

【分析】过点A作AE⊥DC于点E，构造矩形AECB和直角三角形ADE，利用矩形的性质和勾股定理求得DE的长度，易得AB 的长度，然后利用向量加法的几何意义解答．

【解答】解：如图，过点A作AE⊥DC于点E，

∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，

∴AB＝CE，AE＝BC．

∵BC＝CD＝4，AD＝2，

∴DE＝＝＝2，

∴AB＝CD﹣CE＝4﹣2＝2．

∴AB＝DC．

∴＝

∵＝，＝，

∴＝﹣＝﹣．

故答案是：﹣．

【点评】考查了平面向量和梯形，解题的关键是找到＝，另外注意题中辅助线的作法．

17．（4分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于　5+3或5+5　．

【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝；②Rt△ABC中，AC＝BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+3或5+5．

【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝，

设BC＝a，AC＝b，则

，

解得a+b＝5，或a+b＝﹣5（舍去），

∴△AB长度周长为5+5；

如图所示，Rt△ABC中，AC＝BC，

设BC＝a，AC＝b，则

，

解得，

∴△AB长度周长为3+5；

综上所述，该三角形的周长为5+3或5+5．

故答案为：5+3或5+5．

【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，联结CP，将△BCP沿着直线CP翻折，若点B落在边AD上的点E处，且EP∥AB，则AB的长等于　　．

【分析】设CD＝AB＝a，利用勾股定理可得到Rt△CDE中，DE2＝CE2﹣CD2＝1﹣2a2，Rt△DEP中，DE2＝PD2﹣PE2＝1﹣2PE，进而得出PE＝a2，再根据△DEP∽△DAB，即可得到＝，即＝，可得＝，即可得到AB的长等于．

【解答】解：如图，设CD＝AB＝a，则BC2＝BD2﹣CD2＝1﹣a2，

由折叠可得，CE＝BC，BP＝EP，

∴CE2＝1﹣a2，

∴Rt△CDE中，DE2＝CE2﹣CD2＝1﹣2a2，

∵PE∥AB，∠A＝90°，

∴∠PED＝90°，

∴Rt△DEP中，DE2＝PD2﹣PE2＝（1﹣PE）2﹣PE2＝1﹣2PE，

∴PE＝a2，

∵PE∥AB，

∴△DEP∽△DAB，

∴＝，即＝，

∴＝，

即a2+a﹣1＝0，

解得，（舍去），

∴AB的长等于，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的性质，勾股定理的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】

19．（10分）先化简，再求值：﹣，其中x＝．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将化简后的x的值代入计算可得．

【解答】解：原式＝﹣•

＝﹣

＝﹣

＝，

当x＝＝﹣1时，

原式＝＝＝1．

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20．（10分）解方程组：

【分析】首先将方程①可变形，然后与方程②分别组成方程组，即可求出方程组的解．

【解答】解：方程①可变形为（x+6y）（x﹣y）＝0

得x+6y＝0或x﹣y＝0

将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）或（Ⅱ）

解方程组（Ⅰ），解方程组（Ⅱ），

所以原方程组的解是．

【点评】本题主要考查解高次方程组，关键在于将方程①可变形．

21．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，BC＝24，sin∠ABC＝．

（1）求AB的长；

（2）若AD＝6.5，求∠DCB的余切值．

【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E，解直角三角形得到＝，设AE＝5k，AB＝13k，根据勾股定理求得k的值，即可求得AB的长；

（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，先证得AE∥DF，根据平行线分线段成比例定理证得DF＝，BF＝18，即可求得CF＝6，然后解直角三角形即可求得．

【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E，

又∵AB＝AC，

∴BE＝BC，

∵BC＝24，

∴BE＝12，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，sin∠ABC＝＝，

设AE＝5k，AB＝13k，

∵AB2＝AE2+BE2，

∴BE＝12k＝12，

∴k＝1，

∴AE＝5k＝5，AB＝13k＝13；

（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，

∵AD＝6.5，AB＝13，

∴BD＝AB+AD＝19.5，

∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AEB＝∠DFB＝90°，

∴AE∥DF，

∴＝＝，

又∵AE＝5，BE＝12，AB＝13，

∴DF＝，BF＝18，

∴CF＝BC﹣BF，即CF＝24﹣18＝6，

在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，cot∠DCB＝＝＝．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

22．（10分）某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？

【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法建立关于k和b的方程组，解之即可求出所求；

（2）按照等量关系“年利润＝（门票定价﹣成本价）×年游客量”列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，

∵函数图象过点（200，100），（50，250），

∴，解之得：，

所以y关于x的解析式为：y＝﹣x+300；

（2）设门票价格定为x元，依题意可得：

（x﹣20）（﹣x+300）＝11500，

整理得：x2﹣320x+17500＝0，

解之得：x1＝70，x2＝250（舍去），

答：门票价格应该定为70元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，联结AE分别交BD、CD于点G、F，且＝．

（1）求证：AB∥CD；

（2）若BC2＝GD•BD，BG＝GE，求证：四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明＝即可；

（2）利用相似三角形的性质证明BC＝CD即可解决问题；

【解答】证明：（1）∵AD∥BE，

∴＝，

∵＝

∴＝，

∴AB∥CD．

（2）∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，

∵BC2＝GD•BD，

∴AD2＝GD•BD，

即＝，

又∵∠ADG＝∠BDA，

∴△ADG∽△BDA，

∴∠DAG＝∠ABD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDC，

∵AD∥BC，

∴∠DAG＝∠E，

∵BG＝GE，

∴∠DBC＝∠E，

∴∠BDC＝∠DBC，

∴BC＝CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是菱形．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的判定等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

24．（12分）如图在直角坐标平面内，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（﹣1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）联结AD、DC，求△ACD的面积；

（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）利用勾股定理逆定理得出∠CAD＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案；

（3）当∠POC＝∠ABC时以及当∠POC＝∠ACB时，分别得出P点坐标．

【解答】解：（1）点B（﹣1，0）、C（3，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，

∴，

解得：，

∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

故顶点D的坐标是（1，﹣4）；

（2）∵A（0，﹣3），C（3，0），D（1，﹣4），

∴AC＝3，CD＝2，AD＝，

∴CD2＝AC2+AD2，

∴∠CAD＝90°，

∴S△ACD＝•AC•AD＝×3×＝3；

（3）∵∠CAD＝∠AOB＝90°，＝＝，

∴△CAD∽△AOB，

∴∠ACD＝∠OAB，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠OAC+∠OAB＝∠OCA+∠ACD，即∠BAC＝∠BCD，

若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，且△ABC为锐角三角形，

则△POC也为锐角三角形，点P在第四象限，

由点C（3，0），D（1，﹣4）得直线CD的表达式是：y＝2x﹣6，设P（t，2t﹣6）（0＜t＜3）

过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OH＝t，PH＝6﹣2t，

①当∠POC＝∠ABC时，由tan∠POC＝tan∠ABC得＝，

∴＝3，

解得：t＝，

∴P1（，﹣）；

②当∠POC＝∠ACB时，由tan∠POC＝tan∠ACB＝tan45°＝1，得＝1，

∴＝1，

解得：t＝2，

∴P2（2，﹣2），

综上得：P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．

【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质，正确分类讨论是解题关键．

25．（14分）在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC＝x，＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【分析】（1）先求出AC，再用勾股定理求出CO，即可得出结论；

（2）先求出AH，OH，再表示出AO，利用勾股定理表示CO，进而得出CD，再判断出△OCH∽△DCG，表示出DG，即可得出结论；

（3）分两种情况，利用勾股定理即可得出结论．

【解答】解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB＝8，

∴OD⊥AB，AC＝AB＝4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，AO＝5，

∴CO＝＝3，

∴OD＝5，

∴CD＝OD﹣OC＝2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由（1）可得AH＝4，OH＝3，

∵AC＝x，

∴CH＝|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO＝90°，AO＝5，

∴CO＝＝＝，

∴CD＝OD﹣OC＝5﹣，

过点DG⊥AB于G，

∵OH⊥AB，

∴DG∥OH，

∴△OCH∽△DCG，

∴，

∴DG＝＝，

∴S△ACO＝AC×OH＝x×3＝x，

S△BOD＝BC（OH+DG）＝（8﹣x）×（3+）＝（8﹣x）×

∴y＝＝＝（0＜x＜8）

（3）①当OB∥AD时，如图3，

过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD，垂足为点F，

则OF＝AE，

∴S＝AB•OH＝OB•AE，

AE＝＝＝OF，

在Rt△AOF中，∠AFO＝90°，AO＝5，

∴AF＝＝，

∵OF过圆心，OF⊥AD，

∴AD＝2AF＝．

②当OA∥BD时，如图4，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，

则由①的方法可得DG＝BM＝，

在Rt△GOD中，∠DGO＝90°，DO＝5，

∴GO＝＝，AG＝AO﹣GO＝，

在Rt△GAD中，∠DGA＝90°，

∴AD＝＝6

综上得AD＝或6．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，作出辅助线是解本题的关键．

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日期：2019/5/9 9:35:10；用户：152********；邮箱：152********；学号：24559962

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