高三自主诊断试题

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

D C B C B C A B C D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 12. 13. 14． 15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设第组的频率为

； ………………………………………3分

第组的频率为

所以被采访人恰好在第组或第组的概率为

……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设第组的频数，则 ……………………7分

记第组中的男性为，女性为

随机抽取名群众的基本事件是：，，，

，，，，，，

，，，，，，

，，，共种 ……………………10分

其中至少有两名女性的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，共种

所以至少有两名女性的概率为………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知

………………………5分

因为，所以的最大值为，则 …………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以

化简得

因为，所以

则，解得 ……………………………………………………………8分

所以

化简得，则…………………………………………………………10分

所以……………………………12分

18．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连接，，分别交于，连接

由题意，∥

因为平面，平面，所以∥平面 …………3分又因为，所以

又因为、分别是、的中点，所以

所以

又因为∥，所以∥

所以四边形为平行四边形

所以∥

因为平面，平面，所以∥平面

因为，所以平面∥平面 …………………………………6分

（Ⅱ）连接，因为∥， =，

所以四边形为平行四边形

因为，所以四边形为菱形

所以 ………………………………………………………………………9分

因为平面,平面

所以平面平面，

因为，所以平面

因为平面，所以

因为，所以平面. ………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有

且

即解得：，或，

由于是各项都为正整数的等比数列，所以……………………………………3分

从而，． ……………………………………5分

（Ⅱ）

，

两式相除：，

由，可得：

是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列， …………………………………………………………7分

当为偶数时，

当为奇数时，

综上, …………………………………………………………9分

………………12分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设点的坐标为，由题意可知………………………2分

解得：

所以抛物线的方程为： ………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的焦点

椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合

椭圆半焦距

椭圆的离心率为，，

椭圆的方程为：…………………………………………………………6分

设、，

由得

由韦达定理得：， ………………………………8分

由

或………………①……………………………………………………10分

∵原点在以线段为直径的圆的外部，则，

………………②

由①、②得实数的范围是或 ………………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当时，，

，

则，

函数的图象在点的切线方程为：，

即 …………………………………………………………………4分

（Ⅱ）， ，

①当时，

由及可得：，的单调递减区间为………6分

②当时，

由可得：

设其两根为，因为，所以一正一负

设其正根为，则

由及可得：

的单调递减区间为…………………………………………8分

（Ⅲ），由

由于函数在区间上不存在极值，所以或………………………10分对于，对称轴

当或，即或时，；

当，即时，；

当，即时，；

综上可知： ……………………………………………14分

山东省青岛市2015届高三第二次模拟考试（数学理）（扫描版）来源：学优高考网5489664