指数指数函数

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指数指数函数
【重点难点解析】 1．本单位的常识构造


2．指数概念由特别乘法运算定义，是乘法运算的成长，是人类摸索化简运算的过程中，创造并成长的数学常识；它由正整数指数开端，到负整数指数、零指数，再到分式指数(根式，最后到实数指数．

3．指数运算的特点是强概念性及性质应用而弱计算性，所以指数的运算性质及方根表示既是重点也是难点．
4．指数函数的概念及性质是重点，指数函数的值域易被忽视而成难堪点．

【考点】
1．指数运算一般结合其他常识在应用中进行考察．
2．根式及方根运算与指数函数的图象和性质，几乎每年高考都要涉及．

【典范热点考题】
例1 完成下列计算：

(13(33； (3(521；
(24(24； (4p5；
3(5(33；
8212． (6(9003思路分析
运算时，一般将根式化为分指数，应用指数运算性质进行化简计算，但要留意的是分指数的运算本质是方根的化简，必须按照方根运算的请求进行，即留意根指数(分指数的分母的奇偶性来决定成果，一般偶次方根化简时尤须留意．
解：



(13(33133[(3]
133[3]
3313
＝－3．
(24(24144[(2]
144[2]
＝2．
(3(521152
52(52(52
52．
(4p(p5512

(pp24112p1p2
p2p．
327(5(33(3
88813[(]
278(3
272{[(3]3}2
3122222(2
34．
9


12(6((90012
9003900233

322(30303
＝27000．

例2 化简下列各式： (1(ab112a2b2231231(a21b23；
(2ab1a3231b3ab1a2311a3b32b3．
思路分析
多项式的乘法公式，本质上给出的是多项式的次数与它的因式的次数间的关系(当然也有多项式中的运算及情势的关系，引入分指数的概念后，这种公式的本质并未改变，只不过因为指数情势的复杂，使它们指数间的倍比关系较难断定清楚，是以就给若何应用公式分化因式并化简带来了艰苦，只要抓住多项式及根式化简的通法、通性，这些难题不会造成艰苦．
解：
(1(ab1[(a21[(a21|a2112a2b21(b221231(a21]21b231(a2
2112a2b2113b23
1b2122]1a21b2
1b2
1b21|a2当a>b≥0时，ab ∴原式1a21b21a21b2
12(a21b2
2(ab
当b≥a≥0时，ba



∴原式1b21a21a21b2
＝0．
(2解法一：
ab1a3232313ab1a13223113ab3bb23
1(a321a31(a3(bb131(a331(a3213(b13313211a3b3
(bb113(a3b1a31a3131b31a3131(a3b113[(a3211a3b3(b132]1(a3211a3b31(b32
b13b
2b23
b3
b22．
b解法二：
1设a3m，b13n
∴m3a，n3b1
3a2m，b223n2
∴ab1a3232313ab1a2311a3b3bb23
m2n2m3n32
2mnmmnn＝m－n－(m＋n ＝－2n 2b13



b22．
b点评 不要认为设帮助未知数只是一种可有可无的运算技能，其实设帮助未知数是对数学问题的“层次性”的深刻熟悉的表示，是把复杂问题转化为两个或多个根本问题的重要的分析思维的具体表达．

例3 化简下列各式：
(1(83233(103292105；
(25xx3x55xxx3；
3(34x2xx3xxx334．
思路分析
用根式计算时，必须将根式化为同次根式才能进行乘、除、幂的计算，若式子中有重根式(根号套根号的情势，化同次根式更难更轻易掉足；假如逐层将根号处理为分指数，再用指数的运算性质运算既简捷又便利．
解：
(1 (823(103292105
152(102132[(2]319232[(10]
123(22319210325102
521103102
1102
2110． 23(251x31x2xx153x55x13xx3
((1x21x5(1x51x312



x151x10x61x15x101x6
＝1．
3(34x2xx3x3xx231x2]411x2]314134
334x[xx3[x5x2(x2
34x3(x25183121432
(x(x
3
211x8371x247878
xx
＝1．
点评 重根式化简只需作1～3个题，经由过程具体演算达到懂得办法的目标即可．

例4 求下列函数的定义域和值域： (1y3x2；
1(2y(x．
2思路分析
因为一般指数函数yax(a>0且a≠1的定义域是一切实数，值域是(0，＋∞，所以复杂的与指数函数有关的定义域、值域问题，重要推敲与自变量有关的代数式的运算限制和取值范围，就可以解出定义域；但值域问题一方面推敲指数函数的单调性，同时必须兼顾“指数函数”的值域是(0，＋∞．
1


解：
(1x20x2 ∴函数y3x2的定义域是[2，＋∞
∵x∈[2，＋∞时，x－2≥0 ∴x20
∵3>1，以3为底数的指数函数是增函数 ∴y3x2301
x2∴函数y3(2∵的值域是[1，＋∞．
1中x≠0 x11∴函数y(x的定义域是{x|x≠0且x∈R} 2∵x≠0时，110 x1111∴(x(01，而(x0
2221∴函数y(x的值域是{y|y>0且y≠1}．
2
例5 求下列关于x的不等式的解集． (16x21x21；
2(2a>0且a≠1时，ax2x12(a．
a思路分析
因为不等式中的变量x在指数部分，所以这类不等式(称指数不等式的解法是：应用指数函数的单调性，将各不等式先转化为一般的一元一次不等式，一元二次不等式及不等式组求解，由此看来，函数的单调性是用来处理与函数有关的量大年夜小比较的有力对象．
解：
∵6>1，则以6为底的指数函数是增函数
∵6x2x2160
∴x2x20
∴－2∴不等式的解集为{x|－2．



212(aaa
a当a>1时，以a为底的指数函数是增函数
(2∵ax22x∴x22xa2
x22xa20
⊿＝44a24(1a20
∴不等式的解集为R．
当0时，以a为底的指数函数是减函数 ∴x22xa2
x22xa20
⊿＝4(1a20
∴11a2x11a2 ∴a>1时不等式的解集是R，
0时，不等式的解集是{x|11a2x11a2}．

a1(a为实数 x2(1x∈R，试评论辩论f(x的单调性，并且用单调性定义给出证实；
(2当a＝0时，若函数y＝g(x的图象与y＝f(x的图象关于直线x＝1对称．求函数y＝g(x的解析式．
解：
例6 设f(x2x(1(ia＝0时，f(x2x1 任取x1，x2R，x1x2 ∵f(x1f(x2
2x12x2 2x1(12x2x1
∵x2x10， ∴2x2x1201 ∴f(x1f(x2



∴函数f(x是增函数．
(iia<0时，f(x是增函数，下面给出证实： 任取x1，x2R，x1x2 ∵f(x1f(x2
2x12x2x1x2a2x1a2x2
(22x1x2a 22x1x2∵x1x2， ∴2x12x2 又∵a<0， ∴2x1x2a0 ∴f(x1f(x2
从而得：函数f(x是增函数． (iii令u2x，g(uu0时 f(x＝1时， 可得：ua1
ua11u22ua0u11a
u又∵u2x是增函数
∴存在x1x2，有：2x111a，2x211a 也就是：存在两个实数x1，x2，x1x2，但有f(x1f(x21 ∴0时，f(x在全部实数R上不是单调函数 a＝1时，∵f(x＝3时，可得：u又∵u2x是增函数
∴存在x1x2，有：2x123，2x223
也就是：存在两个实数x1，x2，x1x2，但有f(x1f(x23 ∴a＝1时，f(x在全部实数R上不是单调函数
a>1时，f(x也不是单调函数．(请读者本身给出证实

14u23
u

(2在函数y＝g(x的图象上取一点P(x，y，点P关于直线x＝1的对称点Q(x1，y1
x2x1从而，得：
yy1∵函数y＝g(x的图象与函数y＝f(x的图象关于直线x＝1对称 ∴Q(x1，y1在y＝f(x的图象上 也就是：y12x11 从而，可得：y22x1 也就是：g(x22x1．
点评 函数f(x不是单调函数存在x1，x2，x1x2，但有f(x1f(x2．

【同步达纲演习】 一、选择题
1．若a3(83，b(102，则a＋b的值是( A．－18 C．－2 2．函数yB．18 D．2 2x3x1的定义域是(

B．(－∞，2] D．(－∞，－1 A．(－1，2] C．(－∞，－1∪(－1，2] 3．代数式aaa的值是( A．a
1C．a878B．a D．a
3432
4．已知0.7m0.7n，则m、n的关系是( A．1>m>n>0 C．m>n 5．代数式B．1>n>m>0 D．m332(aa55(aA．1 43(aa3225432的值是(

B．a2
(aa


5C．a3 D．以上谜底均不精确
6．函数f(xax(个中a>1( A．在(－∞，0上是增函数 C．增函数
B．在[0，＋∞上是增函数 D．减函数
7．若2a3b，则实数a、b间应当有的关系是( A．a>b C．aB．a＝b D．以上谜底都可能成立
8．三个数a(0.30，b(0.32，c20.3，则a、b、c的关系是( A．aC．bB．aD．b9．若指数函数y(a1x在(－∞，＋∞上是减函数，那么( A．0C．a＝－1
二、填空题
B．－1D．a<－1 1．函数y322x的定义域是____________________．
2．当x＝4时，代数式(x13(x41x21x21x41x21x41的值是____________________．
1＝____________________．(个中m、n都是天2nn3．化简代数式：xmnxm(mn24mnm2n2然数且m≠n 4．若272x9，则x＝____________________． 5．810.25320.60.0002(
三、解答题
用定义证实：函数f(x2x2x在区间(－∞，0]上是减函数．

四、选择题
1．若a3(33，b4(24，则a＋b的值是( A．1
12＝____________________．
100B．5

C．－1 2．函数yD．2π－5 4x的定义域是(
x42B．(－∞，2 D．(－∞，2∪[4，＋∞
1a2A．[4，＋∞ C．(2，4] 3．代数式A．a
1C．a8121a2a的值是(

B．a
3D．a8
14
4．若(am(an且m>n>1，则实数a的取值范围是( A．(1，＋∞ C．(0，π－1 5．已知3x10，则如许的x值( A．存在且有且只有一个 C．存在且x<2 B．存在且不只一个 D．根本不存在 B．(1，π
D．(－∞，π－1 6．函数f(xa|x|(个中a>0且a≠1，若对m有f(m>f(n成立，则a的取值范围是(

A．(0，1 C．(－1，0∪(0，1 7．若(0.255x4，则x的值是( A．1 C．4 B．－1 D．6 B．(1，＋∞
D．(－∞，－1∪(1，＋∞
8．已知a30.2，b(0.23，c(30.2，则a、b、c的大年夜小关系是( A．a>b>c C．c>a>b B．b>a>c D．b>c>a 9．函数f(x23x在区间(－∞，0上的单调性是( A．增函数 C．常数

五、填空题
B．减函数
D．有时是增函数有时是减函数
1．已知f(x2x，使[f(x]2f(x的x的值的集合是____________________． 2．函数f(x3x2x的定义域是集合____________________．



3．知足3x211的x的值的集合是____________________．
94．函数f(2x的定义域是[－1，2]，则函数f(x的定义域是____________________． 5．指数函数f(xax的图象经由点(2，
六、解答题
1，则底数a的值是____________________．
16abab12721．当a32，b时，求代数式1的值． 11128a3b3a3a3b3b3

2．求使不等式(x


参考谜底
【同步达纲演习】 一、 1．D 2．C 提示：23231a28a2x成立的x值的集合．(个中a>0且a≠1 13x1请求x≠－1即可．
3．A 4．D 5．D 6．D 11提示：axx(x
aa7．D 提示：a>b>0时，2a3b可能成立，当a时，2a3b可能成立，当a＝b＝0时，2a3b1
8．C 9．B 提示：底数知足0＋1<1． 二、
1．(－∞，5] 2．2


1提示：(x21x41x43x41x2
3．mx 4．1
3提示：272x(332x36x 5．9 三、
证实：设x1、x2是区间(－∞，0]上的随便率性两个值，x1x2 ∴x1x20
f(x2f(x1
2x22x2(2x12x1
2x22x1(x2x112x112x2
222x22x1x 212x2(2x22x1x212 x1x22x1∵x1x20 函数y2x是增函数 ∴2x22x1，2x1x20
x1x20，2x1x2201
∴2x1x210 ∴f(x2f(x10 即f(x2f(x1
∴f(x在区间(－∞，0]上是减函数． 四、



1．A 提示：3(333，4(242． 2．D 3．A 提示：1a2a1a21a2a1a2．
4．D 提示：a1a1． 5．A 提示：作函数y3x图象，看y＝10时的图象上的点的x值． 6．B 提示：f(x是偶函数作出图象不雅察． 7．D 提示：(0.255x(5x4x5 8．B 提示：c<0，b53，0． 9．B 提示：f(x232x8(x 五、
1．{x|x>0} 2．{x|x≥0} 提示：3x2x03x2x(x1(0x0． 3． 提示：14123232132，x212无解．
94．[，4]
提示：－1≤x≤2，则212xt22． 5．121 41且a>0 16提示：a2 六、



1．解：ab1a323231b3ab1a2311a3b3b23
1(a3b131(a3b13131a31a3131(a3b23123(a311a3b3b2323bab13113ab3
bb131(a3
2b
11127827当时b，b3(3(3
827813∴b2 3∴原式2(2．解：∵(x234．
321a28a8x
2∴原不等式化为：a8xa2x 当a>1时，函数yax是增函数 ∴8x22x ∴－2当0时，yax是减函数 ∴8x22x
∴x<－2或x>4 ∴当a>1时，x值集合是{x|－2；当0时，x值的集合是{x|x<－2或x>4}．



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