指数与指数函数

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指数与指数函数（讲义）
知识点睛
一、 指数与指数幂的运算 1. 根式

（1）如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*． （2）式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
当n1，且n∈N*时，有恒等式：(ana．
2. （1）当n为奇数时，a的n次方根有一个为a；当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，为a．
nn（2）当n为奇数时，aa；当n为偶数时，a|a|．
nnnnnn3. 分数指数幂
manma(a0，m，nN*，且n1；
n0的正分数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 二、指数函数及其性质
1. 定义：一般地，函数________ ( 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．
且a1的图象和性质： 2. 指数函数yax(a0， 0a1
ya1
y图象
y=1O(0，1xy=1 R
O(0，1x
定义域 值域 性质


3. 指数函数底数变化与图象分布规律
(0，+∞
①过定点(0，1，即x=0时，y=1 ②在R上是减函数
②在R上是增函数
1

①②y
③④1
① yax，②ybx，③ycx，④ydx， 有0ba1dc，即： x∈(0，+∞时，bxaxdxcx； Oxx∈(-∞，0时，bxaxdxcx．


精讲精练
1. 求下列各式的值．
8508=______；5(0.25=______；
6(ab6(ab=_______；2 283=________；2512=________；

27=________． 125132. 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）．
11m3=____________；a2a2a=____________；
mxy3b5xy=____________；2a5a2=____________； 6b323. 化简下列各式．
25st（1）(xy=_________；（2）=_________； 416r13341226（3）(2xy(3xy(4xy=_____________； （4）(ab(ab(ab=_____________． 4. 若102x25，则10x等于________． 5. 若a0，且a3，a5，则a1xy121212121413122314232xy2=________．
32326. 已知xx3，则x+x=________，xx=________，x2+x2=________，x2x2=________． 7. 计算下列各式：
（1）(8(10105



（2）(0.027


8. 下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）
A．y=(-4x C．y=-4x









B．y=πx

D．y=ax+2(a>0，且a≠1 B．a=1 D．a>0或a≠1
O-22xy132325124(256(22331 423329212129. 函数f(x(a23a3ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．a=1或a=2 C．a=2

10. 已知函数f(xaxb的图象如图所示，则f(3=________．
3


11. 函数f(x15x的定义域是（ ）
A．(-∞，+∞ B．[0，+∞ C．(-∞，0 D．(-∞，0]
112. 函数y(xa的定义域是R，则a的取值范围为_______．
213. 已知函数f(x的定义域是(1，2，则函数f(2x的定义域是____________． 14. 求下列函数的值域：
（1）f(x3x2，x∈[-1，1]

（2）f(x2x



（3）y(1x22x13



15. 若指数函数f(x(m1x是R上的减函数，则m的取值范围为（ A．m<2

B．m>2
C．-1<m<0 D．0<m<1
16. 在“_____”上填“>”或“<”．
（1）1.012.7____1.013.5；


（2）0.750.1____0.750.1；
（3）(1252.7____(52.7．
17. 设0<a<1，使不等式ax22x1ax23x5成立的x的集合为_____
_________．
18. 设a(323255，b(255，c(255，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b

D．b>c>a
19. a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是__________．4

）


20. 为了得到函数y2x31的图象，只需把函数y2x上所有点（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 21. 函数yaxa(a>0，a≠1的图象可能是（ ）

yyyy1111O1xO1xO1xO1x
A．


B．


C．
D．
22. 已知对不同的a值，函数f(x2ax1(a>0，且a≠1的图象恒过定点P，则P点的坐标是（A．(0，3

B．(0，2

C．(-1，3

D．(1，2
23. 函数y=ax-(b+1(a>0，且a≠1的图象在第一、三、四象限，则必有（ ）
A．0<a<1，b>0 B．0<a<1，b<0 C．a>1，b<0




D．a>1，b>0
24. 函数f(xax(a>0，且a≠1在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．

25. 已知函数f(x(1x12(1x2425．
（1）解不等式f(x5；
5
）


（2）求函数f(x的单调区间．

2x126. 设f(xx．
21（1）判断函数f(x的奇偶性； （2）判断f(x的单调性，并加以证明； （3）求f(x的值域；
（4）求证对任意非零实数x，都有

6
f(x0．
x



回顾与思考
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】 知识点睛 精讲精练
1． 50 2． m 4yax(a0，且a1
1 5a
9a-b 341144
121 55
35212xy ab
564r6t93． （1）xy；（2）；（3）24y3；（4）a2b2
3125s14．

55． 95 6． 5 7． （1）8． B 9． C 10． 333 11． D 12． (，0] 13． (0，1
51]；9] 1]；14． （1）[，（2）(0，（3）(0，315． C
7
25 7 35
10；（2）65
2

16． （1）<；（2）>；（3）>
17． {x|x<4} 18． A 19． c>a>b 20． A 21． C 22． C 23． D
1324． a或a
2225． （1）x<-3；（2）增区间(2，；减区间(，2 26． （1）奇函数；（2）单调递增；
（3）(-1，1；（4）证明略（可分别讨论x>0和x<0）

指数与指数函数（随堂测试）
127. 设y1＝40.9，y2＝80.48，y3(1.5，则（ ）
2A．y3>y1>y2 C．y1>y2>y3







B．y2>y1>y3 D．y1>y3>y2
1x(7(x028. 设函数f(x2，若f(a1，求实数a的取值范围．
(x≥0x1

8




【参考答案】
1. D 2．3a2

指数与指数函数（作业）
29. 求下列各式的值．
413=_____________；(0.53=_____________；
16231264=______________；36=_________________；
2781=____________；=______________． 6258233430. 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）．
a24aa=________________； =_______________；3ab2abab=______________；3a23a4=____________． 2b3231. 化简下列各式．
ab（1）(ab=____________；（2）2=____________；
c215121（3）(a3b(3a2b(4a3b3=________________；
6131264632. 计算下列各式．
（1）2

9
12(401(150
221

（2）(32364(

1649124280.25(2 0150
131271112 （3）0.25((210(23(243001


33. 下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）
A．y(3x C． y3x1







B．y3x

1D．y(x
3C．第三象限 C．cab
D．第四象限 D．bca
34. 若0a1，b1，则函数f(xaxb的图象不经过（ ）
A．第一象限 A．abc （ ）
A．f(x与g(x均为偶函数 B．f(x为奇函数，g(x为偶函数 C．f(x与g(x均为奇函数 D．f(x为偶函数，g(x为奇函数 37. 若102，104，则10ab3ab2B．第二象限 B．bac
35. 已知a30.2，b0.30.2，c30.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
36. 若函数f(x3x3x与g(x3x3x的定义域均为R，则
=___________．
38. 已知2x2x5，则4x4x=________，8x8x=________． 39. 直接写出下列函数的定义域．
（1）y240. 函数yx1___________；（2）y5x1____________． 的定义域为______________．
15xx113541. 已知函数f(x是指数函数，且f(，则f(3的值为________．
22542. 求下列函数的值域．
（1）f(x3|x|
10
（2）f(x1
x25



3x
（3）f(xx31


12（4）y(x4x3
5

43. 若指数函数f(x(2ax在定义域内是增函数，则a的取值范围为_______________． 44. 已知0a1，则3，a，a3的大小关系为______________． 45. 不等式2x2a132x4≤1的解集为________________．
246. 若函数f(xax1(a1的定义域、值域都是[0，2]，则a的值为________．
且a1在[-1，47. 若函数f(xax(a0，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x(14mx在[0，+∞上是增函数，求a的值．



21248. 函数f(x(x2mxm1的单调增区间与值域相同，求m的值．
2


【参考答案】
11


27．
1125119 16

62722453345454121228． a a ab ab
5529． （1）ab；（2）abc；（3）a6
82369330． （1）22；（2）98；（3）-8 31． D 32． A 33． B 34． D
35． 2
36． 23 110
37． （1）[1，（2）(-，；38． {x|x≠0且x≠1} 39． 125
15] 40． (1 [1，+；(2 (0，；(3 (0，1；(4 (0，51 41． (-，42． 3aa3
43． {x|-3≤x≤1} 44． 3
1
446． m2
a1345． a

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指数与指数函数

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