第七章 无穷级数

一、本章的教学目标及基本要求：

（1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。

（2） 掌握几何级数与p—级数的收敛性。

（3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

（4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。

（5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

（7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

（10） 掌握函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

（11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开成傅氏级数，会将定义在上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。

二、本章教学内容的重点和难点：

　　重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．

　　难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．

§7.1　常数项级数的概念及性质

一、内容要点

1、常数项级数概念：

常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；

2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：

性质1：若级数收敛于和s，则级数也收敛，且其和为ks．(证明)

性质2：若级数、分别收敛于和s、 ，则级数也收敛，且其和为s± ．(证明)

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明)

性质4：若级数收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；

　　性质5(级数收敛的必要条件)：若级数收敛，则它的一般项un趋于零，即．(证明)；　

一、 概念

定义:设已给定数列, ,…,…,称形式加法++…++…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为, 即 =++…++…, 其中称为一般项.

将其前项的和: =++…+称为级数的前项的部分和,或简称部分和.

注1: 由上我们便得到一个数列, ,…, ,…,从形式上不难知道 =,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?

定义: 当时,若部分和数列有极限,即 =,就称常数项级数收敛,且称为其和,并记为: =++…++… , 若数列没有极限,就称发散.

注1: 当级数收敛时,其部分和又可看成为的近似值. 两者之差 =++… 称为级数的余项.用代替所产生的误差就是它的绝对值,即.

注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设为一数列,令=,=,…, =, , 则这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.

[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数):的敛散性.其中

解: 我们先考虑其部分和: =

利用中学知识,得 = (时)

(I) 当时,由于 ==, 故几何级数收敛,且收敛于.

(II) 当时,由于=不存在,故此时几何级数发散.

(III) 当时,此时几何级数为:,= ()此时级数发散.

(IV) 当时,级数为,=,不存在.故此时级数发散.

综上所述,几何级数在时收敛,在时发散.

[例2] 证明级数收敛.

证: 首先,由于

=

=+++…+

=

= =

原级数收敛,且收敛于.

[例3] 证明调和级数发散.

证: =

=++…+

word/media/image66_1.pngword/media/image67_1.png++…+

===

当时,.显然不存在. 故原级数发散.

一、 性质

性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即收敛,则.

证: 设收敛于. 即=.

注1: 若反之,则不一定成立.即, 原级数不一定收敛. 如调和级数发散,但.

注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若,则原级数一定不收敛.

性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.

证: ++…++…的部分和序列为

++…++…的部分和序列为.

则 , 由于为有限数,则为一个有限数.

则 与同敛散.

若原级数收敛,则==. 则收敛. 即++…++…收敛

若原级数发散,则不存在, 故也不存在. 则发散. 即++…++…发散.

性质3: 若级数收敛于,则它的各项都乘以一常数所得的级数收敛于.即=

性质4: 若级数和分别收敛于和,则级数收敛于.

注1:称为级数与的和与差.

注2: 若级数和之中有一个收敛,另一个发散,则发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.

性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.

注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.

注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如:是发散的,

但 是收敛的.

注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.

[例4] 判别级数的敛散性.

解: 因级数与级数均收敛,由性质4可知

=+ 收敛.

§7.2　常数项级数的审敛法

一、内容要点

正项级数及其审敛法：

1．正项级数的概念；

2．基本定理：正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界．(证明)

3．比较审敛法：设和都是正项级数，且un vn (n = 1, 2, …)．若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散．(证明)

　　推论：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N，使当n N时有un kvn (k > 0)成立，则级数收敛；如果级数发散，且当n N时有un kvn (k > 0)成立，则级数发散．

4．比较审敛法的极限形式：设和都是正项级数，

　　(1) 如果，且级数收敛，则级数收敛；

(2) 如果或，且级数发散，则级数发散．(证明)

　　5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设为正项级数，如果

，

则当 < 1时级数收敛； > 1(或)时级数发散； = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；

　　6．根值审敛法(柯西判别法)：设为正项级数，如果

，

则当 < 1时级数收敛； > 1(或)时级数发散； = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；

　　7．极限审敛法：设为正项级数，

　　(1) 如果(或)，则级数发散；

(2) 如果p>1，而，则级数收敛．(证明)

　　交错级数及其审敛法:

　　1．交错级数的概念：

　　2．莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件：

　　(1) un un + 1 (n = 1, 2, 3, …)；

(2)

则级数收敛，且其和s u1，其余项rn的绝对值 rn un + 1． (证明)

　　绝对收敛与条件收敛：

1. 绝对收敛与条件收敛的概念；

2. 定理：如果级数绝对收敛，则级数必定收敛．(证明)

一、 教学要求和注意点（略）

前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.

设为一正项级数,为其部分和.显然部分和序列是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理.

定理: 正项级数收敛有界.

证: “”收敛收敛有界.

“”有界,又是一个单调上升数列存在收敛.

定理1(比较审敛法) 设与是两个正项级数,且.那么

1) 如果收敛,则收敛.

2) 如果发散,则发散.

证: 设和分别表示和的部分和,显然由

(1)收敛有界有界也收敛.

(2)发散无界无界也发散.

推论: 设两个正项级数与,如果对于(为某一自然数)的,恒成立不等式(的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论.

[例1]: 讨论-级数的敛散性.其中常数.

解 (1) 当时,因,而发散, =发散

(2) 当时,对于任意实数,总存在自然数,使得,因此

, ,

于是 =

==<.

这表明有上界,又单调上升,故存在-级数收敛.

综上所述,当时, -级数发散;当时-级数收敛.

[例2] 若正项级数收敛,则 (1)收敛, (2)收敛, (3)收敛.

证: (1)由, 由于正项级数收敛,则由比较审敛法, 知收敛

(2), 由于正项级数收敛,收敛,则收敛,

(3)由于收敛,则,则,当时, ,从而,则由比较审敛法,则收敛.

比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数与,如果存在极限:

(1) 当,则级数与同时收敛或同时发散.

(2) 当时,如果收敛,则级数必收敛.

(3) 当,如果发散,则必发散.

证: 1)因,根据极限的定义,对于,必存在正整数,当时,恒成立不等式,

即

由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散.

2),即,则存在,当时, ,得,由比较审敛法知,如果级数收敛,则级数必收敛.

3),即,则存在,当时, ,得,比较审敛法知,当发散,则必发散.

[例3] 证明收敛.

证: 由,又收敛,则由比较审敛法的极限形式收敛

定理2: (达朗贝尔D’Alembert判别法) 设正项级数,如果极限,则

1) 当时,级数收敛;

2) 当或时,级数发散.

3) 当时,法则失效. (证明略)

注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.

[例4] 证明收敛.

证: , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.

[例5] 讨论()的敛散性.

解:

当时, 由比值审敛法知,原级数收敛.

当时, 由比值审敛法知,原级数发散.

当word/media/image180_1.png时,判别法失效.但此时原级数= 发散.

时,原级数收敛.;时,原级数发散.

定理3: (Cauchy判别法) 设为正项级数,如果,则

1) 当时,级数收敛;

2) 当(或为)时,级数发散.

3) 当时,法则失效. (证明略)

注1:习惯上,我们称 Cauchy判别法为根值审敛法.

[例6] 证明收敛.

证:,故由根值审敛法知,原级数收敛.

任意项级数的敛散性

一、 交错级数及其审敛法

交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:

word/media/image187_1.png或,其中

定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数word/media/image187_1.png满足:

1) , 2)

则级数收敛,其和,余项的绝对值.

证: 先考察交错级数前项的和,并写成

,

或

根据条件(1)可知:是单调增加的,且,即有界,故

再考察级数的前项的和,显然,由条件(2),得

最后,由于,得,即交错级数收敛于,且,其余项的绝对值仍为收敛得交错级数,所以

.

[例1] 证明交错级数收敛.

证: (1), (2).

由上述定理知, 交错级数收敛.且其和.

一、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛

定义1: 设有级数,其中()为任意实数,这样的级数称为任意项级数.

定义2: 设为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数收敛,就称绝对收敛;若收敛,但不收敛,就称为条件收敛.

定理2: 若任意项级数绝对收敛,则收敛.

证: 因,且级数收敛,由正项级数的比较判别法知,级数收敛,再由级数的性质4知级数 = 收敛.

注1: 定理2反之则不一定成立.如:收敛,但为调和级数是发散的.

[例2] 证明 =对都是绝对收敛的.

证: 下面我们莱证明是收敛的.事实上,对,

=.

由比值判别法知,是收敛的,所以对都是绝对收敛的.

[例3] 证明在时为条件收敛,而在时为绝对收敛.

证: 首先,我们知道为一个莱布尼兹级数,且有当时,单调下降趋于零.故对,原级数总是收敛的.

其次,考虑其绝对值级数,也就是-级数.由上一节的例1的结果知,当时发散,时收敛.

综上所述,在时为条件收敛,而在时为绝对收敛.

绝对收敛的级数的几个注释:

注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如=, 而

注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:

其中.

如果两个级数与都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数也绝对收敛.且当,时,.若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.

§7.3　幂级数

一、内容要点

　　函数项级数的概念：

函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数．

　　幂级数及其收敛性：

　　1．幂级数的概念；

2．幂级数的收敛性：

(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数当x = x0(x0 0)时收敛，则适合不等式 x < x0 的一切x使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数当x = x0时发散，则适合不等式 x > x0 的一切x使这幂级数发散．(证明)

推论：如果幂级数不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得

当 x < R时，幂级数绝对收敛;

当 x > R时，幂级数发散；

　　当x = R或x = R时，幂级数可能收敛也可能发散．

(2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念；

(3) 幂级数的收敛半径的求法:

定理２：如果

，

其中an、an + 1 是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径

(证明).

　　3．幂级数的运算：

幂级数的加法、减法、乘法、除法；

4．幂级数的和函数的性质：

　　性质1：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续．

　　性质2：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式

．

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．

　　性质3：幂级数的和函数s(x)在其收敛区间( R , R)内可导，并有逐项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．

二、 教学要求和注意点

一、 函数项级数地一般概念

前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数.

设,是定义在区间I上的函数,序列, ,是一个函数列,对于I上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子: , (1)简记为.称为定义在I上的函数项级数.

注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如-级数, ,等等.

对于I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:

= (2)

若级数(2)收敛,就称是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于,不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I中的每一点,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I上收敛.

对于收敛域中的每一个点,函数项级数为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点的函数.记为.则=.又称为和函数.若将其部分和函数记为, 则.同理,称为的余项.为代替时的误差.显然,也有(为收敛域中任一点)

二、幂级数及其收敛性

幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式: (3) ,其中叫做幂级数的系数.显然,幂级数在上都有定义.

从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在处总是收敛的.而对的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.

定理1(阿贝尔Abel定理) 设幂级数

= (3)

若幂级数(3)在处收敛,则对于满足条件的一切,级数(3)绝对收敛.反之,若它在时发散,则对一切适合不等式的,级数(3)发散.

证: 收敛 =

, 对,有

又

当时, , 收敛. 收敛.

绝对收敛.

第二部分用反证法即可.(自证)

由定理1不难知: 设为任一收敛点,为任一发散点.则必有。若将收敛点处染成兰色,发散点处染成红色,显然兰点必集中在原点附近,R上其它点就是红点.这样,兰色与红色就必有一个分界点.从而有:

推论:如果幂级数(3)不是在上每一点都收敛,也不是只在处收敛,那么必存在一个唯一的正数R,使得:

(1) 当时,幂级数(3)收敛;

(2) 当时,幂级数(3)发散;

(3) 当或,幂级数(3)可能收敛,也可能发散.

可由此得幂级数(3)的收敛域是一个以原点为中点的区间,称为幂级数(3)的收敛区间.区间的半径为R,故R称为收敛半径.而收敛区间可能是开的,可能是闭的,也可能是半开半闭的.若幂级数(3)在上每一点都收敛,就规定R=;若幂级数(3)仅在处收敛,就规定R=.下面来求R.

定理2: 设幂级数,其系数当时(为某一个正整数),且存在极限

则 (1) 当时,收敛半径;

(2) 当时,收敛半径;

(3) 当时,收敛半径.

证: 当时级数必收敛.下面考察的情形,对幂级数,各项取绝对值,组成级数

= (5)

对级数(5)直接用比值审敛法,得 .

(1) 如果,则当,即时,级数(5)收敛,从而级数收敛,即绝对收敛;当时,即时,从某一个n开始,有,因此,级数(5)的通项当时不趋于零.所以当时也不趋于零,从而级数发散.于是得收敛半径=.

(2) 当时,则对任一, ,因此对任一(包括)级数(5)收敛,从而级数(3)绝对收敛,于是收敛半径.

(3) 当,对一切及充分大的n,都有,此时, =,

则当n趋向无穷大时幂级数(3)的一般项不趋于零,从而级数(3)也必发散,于是得.

[例1] 求幂级数的收敛半径与收敛区间.

解:

收敛半径为.

又当时,收敛, 绝对收敛.

收敛区间为

[例2] 求的收敛半径及收敛区间.

解: ,

收敛区间为原点.

[例3] 求的收敛区间.

解: 观察幂级数的形式发现,是缺项级数.那么就不能直接利用定理2求级数的收敛半径.

方法一: 令,所给级数变为,收敛半径

故级数当时收敛; 当时发散.当或时,级数分别为及,前者发散,后者收敛,因此的收敛域为.因,所以

当时,原级数收敛; 当时,原级数发散.

收敛区间为.

方法二:对原级数直接用比值审敛法.

当时,原级数收敛; 当时,原级数发散

收敛区间为.

[例4] 求的收敛区间.

解: 同上题,可用两种解法,方法一: 令,所给级数转化为

收敛半径 .

故级数 当当时收敛; 当时发散; 当或时,级数分别为和, 前者发散, 后者收敛. 故的收敛域为.

又, 所以. 收敛区间为.

方法二:直接用比值审敛法.这里就不详细的讲了,可参照本节例3的方法来解.

三、幂级数的运算性质

定理3:设幂级数和的收敛半径分别为和(均为正数) ,取,则在区间内成立:

1) 加法与减法:

=

2) 乘法:

.

定理4: 设幂级数在内的和函数,则

1)在内连续.若幂级数在(或)也收敛,则在处左连续(或在处右连续).

2)在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:

求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.

3)在内可以积分,且有逐项积分公式:

,

其中是内任一点,积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径.

注1: 若逐项求导或逐项积分后的幂级数在或处收敛,则或对或处也成立.

注2: 反复应用结论2)可得:幂级数的和函数在收敛区间内具有任意阶导数.

[例5] 证明.

证: 不难知 .

逐项从0到进行积分,得 =

上式右端级数对也收敛.由注1知,令上式成立.

=

[例6] 求的和函数以及收敛半径.

解: 令=, =.显然 =. 现在对求积分:

. 令

, 又对求积:

. 显然的和函数为,收敛半径为1,进而由性质2,3知的收敛半径也为1.下求和函数

由

=. 即为所求和函数.

§7.4　函数展开成幂级数

一、内容要点

泰勒级数(Taylor)

1．泰勒级数和麦克劳林级数的概念；

　　2．定理：设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n 时的极限为零，即

(证明)．

　　函数展开成幂级数的方法：

　　1．直接展开法:

例1 (e x的展开)；例2 (sinx的展开)

　　2．间接展开法：

例3 (ln(1+x)的展开)，例4 (cosx的展开) , 例5～例9．

近似计算：

例1 ～ 例3；

　　欧拉(Euler)公式：

(1) 复数项级数的概念：

　　复数项级数、复数项级数收敛与绝对收敛；

(2) 欧拉(Euler)公式：eix = cosx + I sinx .

二、 教学要求和注意点（略）

说明1：这部分只强调应用，理论分析不必说得太多，多了反而容易产生不必要的问题。
说明2：用幂级数运算求级数和、求解微分方程的题型可适当地多选些。

一、泰勒(Tayler)级数

以前我们学过一个函数的泰勒公式,具体是:如果在点的某一个邻域内具有直到n+1阶的导数,则有其n阶泰勒公式: =

其中为Lagrange型余项:,介于与之间.换而言子,就是用代替时所产生的误差.如果随着n的增大,误差越来越小,则说明近似代替的效果越来越佳.特别地,若在的某一个邻域内具有各阶的导数, ,…, ,…,且其余项有,则有.即 从而 .

=

这时说明可以用来精确表示.反之,若可以用上面这个式子来精确表示,即有.

下面我们系统地介绍一下:

定义: 若在点有各阶导数, ,…, ,…, 就称

为在处的泰勒级数.

注: 由定义知,在处有泰勒级数,只须在处有各阶导数即可,未必要在的某个邻域内有各阶导数.但若考虑其敛散性时,需要考虑在的某个邻域内有各阶导数

在处的泰勒级数显然为一个函数项级数,它有其敛散性,综合前述我们有下列定理:

定理: 设在的某个邻域内有各阶导数,在处的泰勒级数在的某个邻域内收敛于的充要条件为:

注1: 若在处的泰勒级数在的某个邻域内收敛于,或说和函数为,这时我们写成

=

且说展开成泰勒级数(或称在处的泰勒展开式)

注2: 并非任一函数都可展开成泰勒级数.如考虑在处的任何阶导数都存在,且, ,此时,在处有泰勒级数:,显然,它在上收敛,且和函数为0,而不是.事实上,其泰勒级数未必收敛,即使收敛也未必收敛于

当时,的泰勒级数变为,称为的麦克劳林级数.

下面我们来说明这样一个事实:若可展开成泰勒级数,则这种展开是唯一的.我们用麦克劳林级数来证明这一点.若有=和=,则有上次讲到的注2和3,不难得:, ,从而说明唯一性.

二、函数展开成幂级数

将某函数展成幂级数通常有下列几个布骤:

(1) 求出的各阶导数:, ,…, ,…,若在处,的某阶导数不存在,即终止.此函数不能展开成幂级数.

(2) 求出word/media/image425_1.png, , ,…, ,…,

(3) 求出幂级数的收敛半径R.

(4) 观察当时,是否有,如无,则说明不能展开成幂级数;若有,则说明可以展开成幂级数,且有=,

[例1]将在展开成幂级数.

解: 不难得出 ,word/media/image431_1.png 进而word/media/image432_1.png,word/media/image433_1.png

幂级数为,其收敛半径为

对, (在与之间)

显然

而对,

故有 . 对成立.

在处可展成幂级数,且有: .

[例2] 将展开为的幂级数.

解: 由于,word/media/image431_1.png,令,则

, , ,word/media/image431_1.png及幂级数

,其收敛半径为

又对, , (在与之间)

, 成立

,.

同理: ,.

,

,

,.

函数的幂级数展开式一般比较难求,能直接从前面所讲的四个步骤来求的为数不多.因此,通常是从已知的展开式出法,通过变量代换,四则运算,或逐项求导,逐项积分等办法间接求出其展开式.这种方法称为间接法.以上几个展开式在间接法中有很重要的位置,故须将之记住.

[例3] 将展开成的幂级数.

解: ,

,

,

[例4] 将展开为的幂级数

解:,

而, 故在上式中,将换成,得

,

[例5] 将展成的幂级数.

解:

当我被上帝造出来时，上帝问我想在人间当一个怎样的人，我不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。于是，我降临在了人间。

我出生在一个官僚知识分子之家，父亲在朝中做官，精读诗书，母亲知书答礼，温柔体贴，父母给我去了一个好听的名字：李清照。

小时侯，受父母影响的我饱读诗书，聪明伶俐，在朝中享有“神童”的称号。小时候的我天真活泼，才思敏捷，小河畔，花丛边撒满了我的诗我的笑，无可置疑，小时侯的我快乐无虑。

“兴尽晚回舟，误入藕花深处。争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。”青春的我如同一只小鸟，自由自在，没有约束，少女纯净的心灵常在朝阳小，流水也被自然洗礼，纤细的手指拈一束花，轻抛入水，随波荡漾，发髻上沾着晶莹的露水，双脚任水流轻抚。身影轻飘而过，留下一阵清风。

可是晚年的我却生活在一片黑暗之中，家庭的衰败，社会的改变，消磨着我那柔弱的心。我几乎对生活绝望，每天在痛苦中消磨时光，一切都好象是灰暗的。“寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚”这千古叠词句就是我当时心情的写照。

最后，香消玉殒，我在痛苦和哀怨中凄凉的死去。

在天堂里，我又见到了上帝。上帝问我过的怎么样，我摇摇头又点点头，我的一生有欢乐也有坎坷，有笑声也有泪水，有鼎盛也有衰落。我始终无法客观的评价我的一生。我原以为做一个着名的人，一生应该是被欢乐荣誉所包围，可我发现我错了。于是在下一轮回中，我选择做一个平凡的人。

我来到人间，我是一个平凡的人，我既不着名也不出众，但我拥有一切的幸福：我有温馨的家，我有可亲可爱的同学和老师，我每天平凡而快乐的活着，这就够了。

天儿蓝蓝风儿轻轻，暖和的春风带着春的气息吹进明亮的教室，我坐在教室的窗前，望着我拥有的一切，我甜甜的笑了。我拿起手中的笔，不禁想起曾经作诗的李清照，我虽然没有横溢的才华，但我还是拿起手中的笔，用最朴实的语言，写下了一时的感受：

人生并不总是完美的，每个人都会有不如意的地方。这就需要我们静下心来阅读自己的人生，体会其中无尽的快乐和与众不同。

“富不读书富不久，穷不读书终究穷。”为什么从古到今都那么看重有学识之人？那是因为有学识之人可以为社会做出更大的贡献。那时因为读书能给人带来快乐。

自从看了《丑小鸭》这篇童话之后，我变了，变得开朗起来，变得乐意同别人交往，变得自信了……因为我知道：即使现在我是只“丑小鸭”，但只要有自信，总有一天我会变成“白天鹅”的，而且会是一只世界上最美丽的“白天鹅”……

我读完了这篇美丽的童话故事，深深被丑小鸭的自信和乐观所折服，并把故事讲给了外婆听，外婆也对童话带给我们的深刻道理而惊讶不已。还吵着闹着多看几本名着。于是我给外婆又买了几本名着故事，她起先自己读，读到不认识的字我就告诉她，如果这一面生字较多，我就读给她听整个一面。渐渐的，自己的语文阅读能力也提高了不少，与此同时我也发现一个人读书的乐趣远不及两个人读的乐趣大，而两个人读书的乐趣远不及全家一起读的乐趣大。于是，我便发展“业务”带动全家一起读书……现在，每每遇到好书大家也不分男女老少都一拥而上，争先恐后“抢书”，当我说起我最小应该让我的时候，却没有人搭理我。最后还把书给撕坏了，我生气地哭了，妈妈一边安慰我一边对外婆说：“孩子小，应该让着点。”外婆却不服气的说：“我这一把年纪的了，怎么没人让我呀？”大家人你一言我一语，谁也不肯相让……读书让我明白了善恶美丑、悲欢离合，读一本好书，犹如同智者谈心、谈理想，教你辨别善恶，教你弘扬正义。读一本好书，如品一杯香茶，余香缭绕。读一本好书，能使人心灵得到净化。书是我的老师，把知识传递给了我；书是我的伙伴，跟我诉说心里话；书是一把钥匙，给我敞开了知识的大门；书更是一艘不会沉的船，引领我航行在人生的长河中。其实读书的真真乐趣也就在于此处，不是一个人闷头苦读书；也不是读到好处不与他人分享，独自品位；更不是一个人如痴如醉地沉浸在书的海洋中不能自拔。而是懂得与朋友，家人一起分享其中的乐趣。这才是读书真正之乐趣呢！这所有的一切，不正是我从书中受到的教益吗？

我阅读，故我美丽；我思考，故我存在。我从内心深处真切地感到：我从读书中受到了教益。当看见有些同学宁可买玩具亦不肯买书时，我便想到培根所说的话：“世界上最庸俗的人是不读书的人，最吝啬的人是不买书的人，最可怜的人是与书无缘的人。”许许多多的作家、伟人都十分喜欢看书，例如毛泽东主席，他半边床上都是书，一读起书来便进入忘我的境界。

书是我生活中的好朋友，是我人生道路上的航标，读书，读好书，是我无怨无悔的追求。

多读书，可以让你觉得有许多的写作灵感。可以让你在写作文的方法上用的更好。在写作的时候，我们往往可以运用一些书中的好词好句和生活哲理。让别人觉得你更富有文采，美感。

多读书，可以让你全身都有礼节。俗话说：“第一印象最重要。”从你留给别人的第一印象中，就可以让别人看出你是什么样的人。所以多读书可以让人感觉你知书答礼，颇有风度。
多读书，可以让你多增加一些课外知识。培根先生说过：“知识就是力量。”不错，多读书，增长了课外知识，可以让你感到浑身充满了一股力量。这种力量可以激励着你不断地前进，不断地成长。从书中，你往往可以发现自己身上的不足之处，使你不断地改正错误，摆正自己前进的方向。所以，书也是我们的良师益友。

多读书，可以让你变聪明，变得有智慧去战胜对手。书让你变得更聪明，你就可以勇敢地面对困难。让你用自己的方法来解决这个问题。这样，你又向你自己的人生道路上迈出了一步。

多读书，也能使你的心情便得快乐。读书也是一种休闲，一种娱乐的方式。读书可以调节身体的血管流动，使你身心健康。所以在书的海洋里遨游也是一种无限快乐的事情。用读书来为自己放松心情也是一种十分明智的。

读书能陶冶人的情操，给人知识和智慧。所以，我们应该多读书，为我们以后的人生道路打下好的、扎实的基础！
“书籍是全世界的营养品, 生活里没有书籍, 就好象没有阳光; 智慧里没有书籍, 就好象鸟儿没有翅膀。”（[英] 莎士比亚）。“一本新书象一艘船, 带领着我们从狭隘的地方, 驶向生活的无限广阔的海洋。”（[瑞士] 凯勒）。“不读书就没有真正的学问,没有也不可能有欣赏能力、文采和广博的见识。……不读书的人就不是一个完人。”（[俄] 赫尔岑）。多读书, 可以开阔视野, 增长见识, 启迪智慧, 可以使自己在工作中有所创造, 有所成就; 多读书, 可以丰富自己的知识宝库, 进一步懂得生活, 可以提高自己的文采和对艺术的欣赏能力, 可以变“下里巴人”为“阳春白雪”, 从而使自己的生活更加丰富多采, 充满情趣。 “书是随时在近旁的顾问, 随时都可以供给你所需要的知识, 而且可以按照你的心意, 重复这顾问的次数。”（凯勃司）。知识就是力量, 科学技术就是生产力。要想建设一个具有高度精神文明的社会主义强国, 没有一定的科学技术水平是不行的; 科学技术仅为少数人所掌握, 也是不行的, 尤其是在科学技术高度发达的今天, 更是如此。而要想让所有的人都上学学习, 是不可能的。那么, 就只有在工作中学习,利用一切可以利用的时间和条件自学。在自学过程中, 不可能人人都能得到指导老师, 那么, 最好的老师就是书籍。 “书籍蜿蜒伸入我们的心灵, 诗人的诗句在我们的血流里舒缓地滑行。我们年轻时诵读它们, 年老时仍然铭记它们。我们读到他人的遭遇, 却感到身历其境。书籍到处可得, 而且价廉物美。我们就象呼吸空气中的氧一样吸收书中的营养。”([英] 哈慈利特)。读书有这样多的好处, 而书籍又可随时随地买到, 并且花钱不多; 时间, 工作之余也是足够的; 精力, 20岁左右的小伙子和姑娘们是充沛的。这种年龄, 记忆力旺盛, 分析判断能力也已达到一定程度, 且无家室之累, 正是集中精力学习知识的黄金时代, 千万不要白白地浪费掉。中国有句古话: “少壮不努力,老大徒伤悲”。待到自己在曲折的人生中悟出应该多学本事的道理, 想学的时候, 由于年龄的增长, 记忆力衰退, 由于家庭的重负, 精力集中不起来, 那时想学也学不好了。与其那时悔恨终生, 倒不如现在就努力学习。 “学海无涯勤是岸, 云程有路志是梯”, “勤奋能点燃智慧的火苗, 懒惰是埋葬天才的坟墓”。“业精于勤, 荒于嬉; 行成于思, 毁于随。”（[唐] 韩愈）。成功的喜悦, 永远都是只属于那些勤奋好学, 勇于攀登的人们。“如果你们, 年轻的人们, 真正希望过‘很宽阔, 很美好的生活’, 就创造它吧, 和那些正在英勇地建立空前未有的、宏伟的事业的人手携手地去工作吧。”（[苏] 高尔基）。为了能够工作得更好和生活得更美好, 读书学习吧, 年轻的朋友! 古人云：“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉。”可见，古人对读书的情有独钟。其实，对于任何人而言，读书最大的好处在于：它让求知的人从中获知，让无知的人变得有知。读史蒂芬?霍金的《时间简史》和《果壳中的宇宙》，畅游在粒子、生命和星体的处境中，感受智慧的光泽，犹如攀登高山一样，瞬间眼前呈现出仿佛九叠画屏般的开阔视野。于是，便像李白在诗中所写到的“庐山秀出南斗旁，屏风九叠云锦张，影落明湖青黛光”。 对于坎坷曲折的人生道路而言，读书便是最佳的润滑剂。面对苦难，我们苦闷、彷徨、悲伤、绝望，甚至我们低下了曾经高贵骄傲的头。然而我们可否想到过书籍可以给予我们希望和勇气，将慰藉缓缓注入我们干枯的心田，使黑暗的天空再现光芒？读罗曼?罗兰创作、傅雷先生翻译的《名人传》，让我们从伟人的生涯中汲取生存的力量和战斗的勇气，更让我们明白：唯有真实的苦难，才能驱除罗曼谛克式幻想的苦难；唯有克服苦难的悲剧，才能帮助我们担当起命运的磨难。读海伦?凯勒一个个真实而感人肺腑的故事，感受遭受不济命运的人所具备的自强不息和从容豁达，从而让我们在并非一帆风顺的人生道路上越走越勇，做命运真正的主宰者。在书籍的带领下，我们不断磨炼自己的意志，而我们的心灵也将渐渐充实成熟。 读书能够荡涤浮躁的尘埃污秽，过滤出一股沁人心脾的灵新之气，甚至还可以营造出一种超凡脱俗的娴静氛围。

下午13：00—17：00

B．实行不定时工作制的员工，在保证完成甲方工作任务情况下，经公司同意,可自行安排工作和休息时间。

3．1．2打卡制度

3.1.2.1公司实行上、下班指纹录入打卡制度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。

3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。

3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间；

3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。

3.1.2.5手工考勤制度

3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。

3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。

3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生，应遵守相关请、休假制度，如实填报相关表单。

3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;

3.2加班管理

3.2.1定义

加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。

A．现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，各部门应按月工时标准，合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表，保证员工有效工时达到要求。凡是达到月工时标准的，应扣减员工本人的存休或工资；对超出月工时标准的，应说明理由，报主管副总和人力资源部审批。

B．因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴，所以延时工作在4小时（不含）以下的，不再另计加班工资。因工作需要，一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天，超过8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员，一般情况下延时工作不计加班，因特殊情况经总经理以上领导批准的延时工作，可按以上标准计加班。

3.2.2.2员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》，因无法确定加班工时的，应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申请表》经部门经理同意，主管副总经理审核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有效，如遇特殊情况，也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序，视为乙方自愿加班。

3.2.2.3员工加班，也应按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认；有打卡记录但无公司总经理批准的加班，公司不予承认加班。

3.2.2.4原则上，参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。

3.2.2.5加班工资的补偿：员工在排班休息日的加班，可以以倒休形式安排补休。原则上，员工加班以倒休形式补休的，公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1：1的比例冲抵病、事假。

3.2.3加班的申请、审批、确认流程

3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取，加班统计周期为上月26日至本月25日。

3.2.3.2员工加班也要按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认。各部门的考勤员(文员)负责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》加班前到部门考勤员(文员)处领取《加班申请表》，《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意，主管副总审核，总经理签字批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员)保管。

3.2.3.3部门考勤员（文员）负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部，逾期未交的加班记录公司不予承认。

下午13：00—17：00

度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。

3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。

3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间；

3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。

3.1.2.5手工考勤制度

3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。

3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。

3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生，应遵守相关请、休假制度，如实填报相关表单。

3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;

3.2加班管理

3.2.1定义

加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。

A．现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，各部门应按月工时标准，合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表，保证员工有效工时达到要求。凡是达到月工时标准的，应扣减员工本人的存休或工资；对超出月工时标准的，应说明理由，报主管副总和人力资源部审批。

B．因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴，所以延时工作在4小时（不含）以下的，不再另计加班工资。因工作需要，一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天，超过8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员，一般情况下延时工作不计加班，因特殊情况经总经理以上领导批准的延时工作，可按以上标准计加班。

3.2.2.2员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》，因无法确定加班工时的，应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申请表》经部门经理同意，主管副总经理审核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有效，如遇特殊情况，也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序，视为乙方自愿加班。

3.2.2.3员工加班，也应按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认；有打卡记录但无公司总经理批准的加班，公司不予承认加班。

3.2.2.4原则上，参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。

3.2.2.5加班工资的补偿：员工在排班休息日的加班，可以以倒休形式安排补休。原则上，员工加班以倒休形式补休的，公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1：1的比例冲抵病、事假。

3.2.3加班的申请、审批、确认流程

3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取，加班统计周期为上月26日至本月25日。

3.2.3.2员工加班也要按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认。各部门的考勤员(文员)负责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》加班前到部门考勤员(文员)处领取《加班申请表》，《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意，主管副总审核，总经理签字批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员)保管。

3.2.3.3部门考勤员（文员）负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部，逾期未交的加班记录公司不予承认。

当我被上帝造出来时，上帝问我想在人间当一个怎样的人，我不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。于是，我降临在了人间。

我出生在一个官僚知识分子之家，父亲在朝中做官，精读诗书，母亲知书答礼，温柔体贴，父母给我去了一个好听的名字：李清照。

小时侯，受父母影响的我饱读诗书，聪明伶俐，在朝中享有“神童”的称号。小时候的我天真活泼，才思敏捷，小河畔，花丛边撒满了我的诗我的笑，无可置疑，小时侯的我快乐无虑。

“兴尽晚回舟，误入藕花深处。争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。”青春的我如同一只小鸟，自由自在，没有约束，少女纯净的心灵常在朝阳小，流水也被自然洗礼，纤细的手指拈一束花，轻抛入水，随波荡漾，发髻上沾着晶莹的露水，双脚任水流轻抚。身影轻飘而过，留下一阵清风。

可是晚年的我却生活在一片黑暗之中，家庭的衰败，社会的改变，消磨着我那柔弱的心。我几乎对生活绝望，每天在痛苦中消磨时光，一切都好象是灰暗的。“寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚”这千古叠词句就是我当时心情的写照。

最后，香消玉殒，我在痛苦和哀怨中凄凉的死去。

在天堂里，我又见到了上帝。上帝问我过的怎么样，我摇摇头又点点头，我的一生有欢乐也有坎坷，有笑声也有泪水，有鼎盛也有衰落。我始终无法客观的评价我的一生。我原以为做一个着名的人，一生应该是被欢乐荣誉所包围，可我发现我错了。于是在下一轮回中，我选择做一个平凡的人。

我来到人间，我是一个平凡的人，我既不着名也不出众，但我拥有一切的幸福：我有温馨的家，我有可亲可爱的同学和老师，我每天平凡而快乐的活着，这就够了。

天儿蓝蓝风儿轻轻，暖和的春风带着春的气息吹进明亮的教室，我坐在教室的窗前，望着我拥有的一切，我甜甜的笑了。我拿起手中的笔，不禁想起曾经作诗的李清照，我虽然没有横溢的才华，但我还是拿起手中的笔，用最朴实的语言，写下了一时的感受：

人生并不总是完美的，每个人都会有不如意的地方。这就需要我们静下心来阅读自己的人生，体会其中无尽的快乐和与众不同。

“富不读书富不久，穷不读书终究穷。”为什么从古到今都那么看重有学识之人？那是因为有学识之人可以为社会做出更大的贡献。那时因为读书能给人带来快乐。

自从看了《丑小鸭》这篇童话之后，我变了，变得开朗起来，变得乐意同别人交往，变得自信了……因为我知道：即使现在我是只“丑小鸭”，但只要有自信，总有一天我会变成“白天鹅”的，而且会是一只世界上最美丽的“白天鹅”……

我读完了这篇美丽的童话故事，深深被丑小鸭的自信和乐观所折服，并把故事讲给了外婆听，外婆也对童话带给我们的深刻道理而惊讶不已。还吵着闹着多看几本名着。于是我给外婆又买了几本名着故事，她起先自己读，读到不认识的字我就告诉她，如果这一面生字较多，我就读给她听整个一面。渐渐的，自己的语文阅读能力也提高了不少，与此同时我也发现一个人读书的乐趣远不及两个人读的乐趣大，而两个人读书的乐趣远不及全家一起读的乐趣大。于是，我便发展“业务”带动全家一起读书……现在，每每遇到好书大家也不分男女老少都一拥而上，争先恐后“抢书”，当我说起我最小应该让我的时候，却没有人搭理我。最后还把书给撕坏了，我生气地哭了，妈妈一边安慰我一边对外婆说：“孩子小，应该让着点。”外婆却不服气的说：“我这一把年纪的了，怎么没人让我呀？”大家人你一言我一语，谁也不肯相让……读书让我明白了善恶美丑、悲欢离合，读一本好书，犹如同智者谈心、谈理想，教你辨别善恶，教你弘扬正义。读一本好书，如品一杯香茶，余香缭绕。读一本好书，能使人心灵得到净化。书是我的老师，把知识传递给了我；书是我的伙伴，跟我诉说心里话；书是一把钥匙，给我敞开了知识的大门；书更是一艘不会沉的船，引领我航行在人生的长河中。其实读书的真真乐趣也就在于此处，不是一个人闷头苦读书；也不是读到好处不与他人分享，独自品位；更不是一个人如痴如醉地沉浸在书的海洋中不能自拔。而是懂得与朋友，家人一起分享其中的乐趣。这才是读书真正之乐趣呢！这所有的一切，不正是我从书中受到的教益吗？

我阅读，故我美丽；我思考，故我存在。我从内心深处真切地感到：我从读书中受到了教益。当看见有些同学宁可买玩具亦不肯买书时，我便想到培根所说的话：“世界上最庸俗的人是不读书的人，最吝啬的人是不买书的人，最可怜的人是与书无缘的人。”许许多多的作家、伟人都十分喜欢看书，例如毛泽东主席，他半边床上都是书，一读起书来便进入忘我的境界。

书是我生活中的好朋友，是我人生道路上的航标，读书，读好书，是我无怨无悔的追求。

多读书，可以让你觉得有许多的写作灵感。可以让你在写作文的方法上用的更好。在写作的时候，我们往往可以运用一些书中的好词好句和生活哲理。让别人觉得你更富有文采，美感。

多读书，可以让你全身都有礼节。俗话说：“第一印象最重要。”从你留给别人的第一印象中，就可以让别人看出你是什么样的人。所以多读书可以让人感觉你知书答礼，颇有风度。
多读书，可以让你多增加一些课外知识。培根先生说过：“知识就是力量。”不错，多读书，增长了课外知识，可以让你感到浑身充满了一股力量。这种力量可以激励着你不断地前进，不断地成长。从书中，你往往可以发现自己身上的不足之处，使你不断地改正错误，摆正自己前进的方向。所以，书也是我们的良师益友。

多读书，可以让你变聪明，变得有智慧去战胜对手。书让你变得更聪明，你就可以勇敢地面对困难。让你用自己的方法来解决这个问题。这样，你又向你自己的人生道路上迈出了一步。

多读书，也能使你的心情便得快乐。读书也是一种休闲，一种娱乐的方式。读书可以调节身体的血管流动，使你身心健康。所以在书的海洋里遨游也是一种无限快乐的事情。用读书来为自己放松心情也是一种十分明智的。

读书能陶冶人的情操，给人知识和智慧。所以，我们应该多读书，为我们以后的人生道路打下好的、扎实的基础！
“书籍是全世界的营养品, 生活里没有书籍, 就好象没有阳光; 智慧里没有书籍, 就好象鸟儿没有翅膀。”（[英] 莎士比亚）。“一本新书象一艘船, 带领着我们从狭隘的地方, 驶向生活的无限广阔的海洋。”（[瑞士] 凯勒）。“不读书就没有真正的学问,没有也不可能有欣赏能力、文采和广博的见识。……不读书的人就不是一个完人。”（[俄] 赫尔岑）。多读书, 可以开阔视野, 增长见识, 启迪智慧, 可以使自己在工作中有所创造, 有所成就; 多读书, 可以丰富自己的知识宝库, 进一步懂得生活, 可以提高自己的文采和对艺术的欣赏能力, 可以变“下里巴人”为“阳春白雪”, 从而使自己的生活更加丰富多采, 充满情趣。 “书是随时在近旁的顾问, 随时都可以供给你所需要的知识, 而且可以按照你的心意, 重复这顾问的次数。”（凯勃司）。知识就是力量, 科学技术就是生产力。要想建设一个具有高度精神文明的社会主义强国, 没有一定的科学技术水平是不行的; 科学技术仅为少数人所掌握, 也是不行的, 尤其是在科学技术高度发达的今天, 更是如此。而要想让所有的人都上学学习, 是不可能的。那么, 就只有在工作中学习,利用一切可以利用的时间和条件自学。在自学过程中, 不可能人人都能得到指导老师, 那么, 最好的老师就是书籍。 “书籍蜿蜒伸入我们的心灵, 诗人的诗句在我们的血流里舒缓地滑行。我们年轻时诵读它们, 年老时仍然铭记它们。我们读到他人的遭遇, 却感到身历其境。书籍到处可得, 而且价廉物美。我们就象呼吸空气中的氧一样吸收书中的营养。”([英] 哈慈利特)。读书有这样多的好处, 而书籍又可随时随地买到, 并且花钱不多; 时间, 工作之余也是足够的; 精力, 20岁左右的小伙子和姑娘们是充沛的。这种年龄, 记忆力旺盛, 分析判断能力也已达到一定程度, 且无家室之累, 正是集中精力学习知识的黄金时代, 千万不要白白地浪费掉。中国有句古话: “少壮不努力,老大徒伤悲”。待到自己在曲折的人生中悟出应该多学本事的道理, 想学的时候, 由于年龄的增长, 记忆力衰退, 由于家庭的重负, 精力集中不起来, 那时想学也学不好了。与其那时悔恨终生, 倒不如现在就努力学习。 “学海无涯勤是岸, 云程有路志是梯”, “勤奋能点燃智慧的火苗, 懒惰是埋葬天才的坟墓”。“业精于勤, 荒于嬉; 行成于思, 毁于随。”（[唐] 韩愈）。成功的喜悦, 永远都是只属于那些勤奋好学, 勇于攀登的人们。“如果你们, 年轻的人们, 真正希望过‘很宽阔, 很美好的生活’, 就创造它吧, 和那些正在英勇地建立空前未有的、宏伟的事业的人手携手地去工作吧。”（[苏] 高尔基）。为了能够工作得更好和生活得更美好, 读书学习吧, 年轻的朋友! 古人云：“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉。”可见，古人对读书的情有独钟。其实，对于任何人而言，读书最大的好处在于：它让求知的人从中获知，让无知的人变得有知。读史蒂芬?霍金的《时间简史》和《果壳中的宇宙》，畅游在粒子、生命和星体的处境中，感受智慧的光泽，犹如攀登高山一样，瞬间眼前呈现出仿佛九叠画屏般的开阔视野。于是，便像李白在诗中所写到的“庐山秀出南斗旁，屏风九叠云锦张，影落明湖青黛光”。 对于坎坷曲折的人生道路而言，读书便是最佳的润滑剂。面对苦难，我们苦闷、彷徨、悲伤、绝望，甚至我们低下了曾经高贵骄傲的头。然而我们可否想到过书籍可以给予我们希望和勇气，将慰藉缓缓注入我们干枯的心田，使黑暗的天空再现光芒？读罗曼?罗兰创作、傅雷先生翻译的《名人传》，让我们从伟人的生涯中汲取生存的力量和战斗的勇气，更让我们明白：唯有真实的苦难，才能驱除罗曼谛克式幻想的苦难；唯有克服苦难的悲剧，才能帮助我们担当起命运的磨难。读海伦?凯勒一个个真实而感人肺腑的故事，感受遭受不济命运的人所具备的自强不息和从容豁达，从而让我们在并非一帆风顺的人生道路上越走越勇，做命运真正的主宰者。在书籍的带领下，我们不断磨炼自己的意志，而我们的心灵也将渐渐充实成熟。 读书能够荡涤浮躁的尘埃污秽，过滤出一股沁人心脾的灵新之气，甚至还可以营造出一种超凡脱俗的娴静氛围。

下午13：00—17：00

度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。

3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。

3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间；

3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写《外勤登记表》,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写《未打卡补签申请表》，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。

3.1.2.5手工考勤制度

3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。

3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。

3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生，应遵守相关请、休假制度，如实填报相关表单。

3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;

3.2加班管理

3.2.1定义

加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。

A．现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，各部门应按月工时标准，合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表，保证员工有效工时达到要求。凡是达到月工时标准的，应扣减员工本人的存休或工资；对超出月工时标准的，应说明理由，报主管副总和人力资源部审批。

B．因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴，所以延时工作在4小时（不含）以下的，不再另计加班工资。因工作需要，一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天，超过8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员，一般情况下延时工作不计加班，因特殊情况经总经理以上领导批准的延时工作，可按以上标准计加班。

3.2.2.2员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》，因无法确定加班工时的，应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。《加班申请表》经部门经理同意，主管副总经理审核报总经理批准后有效。《加班申请表》必须事前当月内上报有效，如遇特殊情况，也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序，视为乙方自愿加班。

3.2.2.3员工加班，也应按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认；有打卡记录但无公司总经理批准的加班，公司不予承认加班。

3.2.2.4原则上，参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。

3.2.2.5加班工资的补偿：员工在排班休息日的加班，可以以倒休形式安排补休。原则上，员工加班以倒休形式补休的，公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1：1的比例冲抵病、事假。

3.2.3加班的申请、审批、确认流程

3.2.3.1《加班申请表》在各部门文员处领取，加班统计周期为上月26日至本月25日。

3.2.3.2员工加班也要按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认。各部门的考勤员(文员)负责《加班申请表》的保管及加班申报。员工加班应提前申请，事先填写《加班申请表》加班前到部门考勤员(文员)处领取《加班申请表》，《加班申请表》经项目管理中心或部门经理同意，主管副总审核，总经理签字批准后有效。填写并履行完审批手续后交由部门考勤员(文员)保管。

3.2.3.3部门考勤员（文员）负责检查、复核确认考勤记录的真实有效性并在每月27日汇总交人力资源部，逾期未交的加班记录公司不予承认。

微积分第七章 无穷级数