第一讲 圆的周长与面积（一）

【知识概述】

圆是由曲线围成的平面图形。在日常生活和学习中我们经常会遇到与圆的周长和面积有关的问题。

圆的周长除以它的直径的商是一个固定不变的数，这个结果被称为“圆周率”。圆周率是一个无限不循环的小数，用字母“π”表示，圆的周长=圆周率x直径，即C=πd或C=2πr。

圆的面积等于圆周率与半径平方的乘积，即S=f4942613b4adc42a0e2a6772eb11d67a.png。

下图圆的阴影部分是一个扇形，它的面积是一个圆的面积的四分之一，它的周长是圆周长的四分之一再加上两条半径的长。

【例题精学】

例1：把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示）捆4圈至少用绳子多少厘米？ (接头部分用去15厘米）

思路点拨：用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。这个图形的周长可分为两类：线段的长度和弧的长度。而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上4条直径的长度之和。

【同步精炼】

1、 计算下雨中阴影部分的周长。（单位：厘米）

2、 一个街心花园如下图的形状,中间正方形的边长是 20 米,四周为半圆 形,这个街心花园的周长是多少米? 

3、 在学校200米的跑道中,每条跑道宽1.2米.由于有弯道,为了公平,外道和内道选手的起跑线不在同一地点.如：A点处是小明的起跑线,B是小强的起跑线,AB两点的距离是?

例2：如下图，从点A到点B沿着大圆走和沿着中,小圆周走的路程相同吗?

思路点拨：从点A到点B有两种走法：第一种是大圆的周长的一半；第二种是由A到C的中圆周长的一半与C到B的小圆周长的一半的和。设小圆的直径为a，中原的直径为b，则大圆的直径为a+b。那么第一种走法的路程为C1=πae838bb54986d1162d354a4f9ca45dd8c.png2+πbe838bb54986d1162d354a4f9ca45dd8c.png2；第二种走法的路程为C2=πae838bb54986d1162d354a4f9ca45dd8c.png2+πbe838bb54986d1162d354a4f9ca45dd8c.png2，所以C1=C2.

【同步精炼】

1、 下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗？

2、 已知AB=50cm，求圆中各圆的周长总和。

3、 已知一个大圆中紧紧的排列着三个半径不同的小圆（如图），并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上。如果大圆的周长是30cm，那么三个小圆的周长之和是多少？

例3：将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆按下图形状放置，求阴影部分的周长。

思路点拨：阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加上两条线段的长。

两个半圆的弧长是2×2×3.14÷2+2×3×3.14÷2=15.7（厘米）

两条线段的长是3+（2×2-3）=4（厘米）

这样就求出阴影部分的周长了。

【同步精炼】

1、 一个半圆的周长是20.56厘米，这个半圆的直径是多少厘米？

2、 以B与C为圆心的两个半圆的直径都是4分米，求阴影部分的周长。

3、 下图中圆的面积等于长方形的面积，已知圆的周长是36厘米，那么图中的阴影部分的周长是多少厘米？

例3：下图是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点，Q点为正方形一边上的中点，那么阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）

思路点拨：求阴影部分的面积最常用的方法叫做“排空法”。所谓排空法就是指用图形外围的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积。此题中图形外围的面积应该是正方形和半圆面积之和，比较好求。空白部分是个不规则的四边形，我们可以用分割的方法把它分成几块基本图形再求面积。

连接BP，则图中阴影部分面积可以用正方形与半圆面积的和减去三角形ABP与三角形BPQ的面积之和。

【同步精炼】

1、 下图小半圆的半径为4厘米，求阴影部分的面积。

2、 下图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

第二讲 圆的周长与面积（二）

【知识概述】

在上一讲中，我们知道了求阴影部分面积常用的方法是“排空法”。除此之外，还经常用到“二次求差法”、“平移旋转法”。

所谓“二次求差法”就是利用“排空法”求图中阴影部分的面积，而空白部分的面积也要通过两个图形面积相减求得。

有些不规律的组合图形（或阴影部分）的面积计算，无法直接或较难直接求得，但是通过将这些图形分割，或将这些图形平移、旋转后重新组成一个面积大小不变的新图形，这时面积很容易求得。这种方法就是“平移旋转法”。

【例题精学】

例1：在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE的半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CF=4厘米，求图中阴影部分的面积。

思路点拨：观察图形，不难看出图中的阴影部分面积可以用扇形ABE的面积减去空白部分ABFD的面积，而空白部分ABFD的面积又可以用长方形ABCD的面积减去扇形BCF的面积，这就是“二次求差法”的利用。

【同步精炼】

1、 如下图，扇形AFB恰为一个圆的四分之一，BCDE是正方形，AFBG是正方形，则图中阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）

2、 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

3、 下图正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。

例2：如下图，OA,OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6厘米，∠BOA=90°，阴影部分的面积是多少平方厘米？

思路点拨：连接AB与CO(如右图)，经过观察可以发现：阴影部分a的面积与空白部分b的面积相等，阴影部分c的面积与空白面积d的面积相等。这样a和c就可以移至b和d的位置。原图的阴影部分的面积就可以转化为三角形ABO的面积。

【同步精炼】

1、 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

2、 2、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

3、 如下图，半径分别为2,3,4厘米的同心圆被八等分，求阴影部分的面积。

例3：已知正方形的边长为10厘米，以两条边长为直径作两个半圆（如下图），求阴影部分的面积。

思路点拨：有些学生面临这道题时可能会想到“排空法”，即用正方形的面积减去空白部分的面积，但解题时就会发现求空白部分的面积是比较麻烦的。我们利用正方形的对称性连接正方形的对角线，把其中一块阴影部分分割成Ⅰ和Ⅱ两个部分。（如下图）

而Ⅰ可以逆时针旋转90°移至Ⅰ’处，Ⅱ顺时针旋转90°移至Ⅱ’处。这样，通过分割和旋转的方法，可以把原图中的阴影部分拼成一个三角形，再求这个三角形的面积就简单多了。

【同步精炼】

1、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

2、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

3、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

例4：下图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长40厘米，求AB的长度。

思路点拨：由图中两块阴影部分的面积相等可知：三角形ABC的面积=阴影部分面积（Ⅰ）+空白部分面积（Ⅲ）；半圆的面积=阴影部分面积（Ⅱ）+空白部分面积（Ⅲ）。这说明三角形ABC的面积等于半圆的面积。求出半圆的面积也就知道了三角形ABC的面积。再根据“高=三角形面积×2÷底”就可以求出AB的长了。

【同步精炼】

1、 下图中三角形ABC是直角三角形，阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积小23平方米，BC的长度是多少米？

2、 在下图中，直角三角形ABC的直角边AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7厘米，求BC的长。

3、 在下图中，长方形的宽为1厘米，以B点喝C点为圆心，以宽为半径的扇形相较于点G，形成两个阴影部分。已知两个阴影部分的面积相等，求长方形的长。

第三讲 分数混合运算

【知识概述】

在进行分数计算时，不仅要熟练地掌握四则运算的法则和运算定律，而且还常常要根据算式中数的特点和算式结构，运用一些运算技巧，灵活选择计算方法，使一些较复杂的分数计算化难为易、化繁为简。

【例题精学】

例1：(1)e7dd7c709954d650af375f8d4546f0f4.png×17 (2) 28×84e51a5f6f731596b414c58549a73255.png

思路点拨：观察这两道题中数的特点，第(1)中的e7dd7c709954d650af375f8d4546f0f4.png比1少1f0dceecced15bb9d2d6ffe8d43947a5.png，把e7dd7c709954d650af375f8d4546f0f4.png写成1减1f0dceecced15bb9d2d6ffe8d43947a5.png的差与17相乘，在运用乘法分配律使计算简便；同样，第(2)中的28与84e51a5f6f731596b414c58549a73255.png中的分母相差1，把28分成27加1的和与84e51a5f6f731596b414c58549a73255.png相乘，在运用乘法分配律使计算简便。

【同步精炼】

1、57faa30c1be56cd80c4dcac4315bee29.png×19 2、 36×fc19676f500e96cbb04f7a11600bd898.png

3、4d3371f46ca0d709f0ed23888ddb365c.png×126 4、 8×0a9ceeb3cde530d0266a99efe81bf962.png

例2： 1998÷19988db6c30ee74c11b5b61688ec19657502.png

思路点拨：这道题先把带分数化成假分数：19988db6c30ee74c11b5b61688ec19657502.png＝f5a62d84c5e1167b47ab21a2fba7381b.png，先不要急着算出分子，观察数的特点，f5a62d84c5e1167b47ab21a2fba7381b.png＝62a1e1006eadbd7df40f18881255aff2.png＝4a3acb64c2d134783cb81091c79408fc.png，再去除1998算出最后结果。

【同步精炼】

1、238÷238346ee6e687764fe04c6d166a7532a82d.png 2、 1999÷1999aa27855e333b1e2f43c7592cb864014a.png

例3：c94fbcf4d7550773f88ce983c5791c87.png

思路点拨：仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999－1）=1999+2000×1999－2000=2000×1999－1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果为1.

【同步精炼】

1、 6d72c3c6210727061260f5bf8e39150a.png2、557f159d8349d578ee50a6a5f36aa5aa.png

例3：366a906425b2039bcee338bb98e3ba73.png+c05673c1d3a2903d8dbc16842c0d5547.png+e4112bd1eb54b673c29c539e0561da9e.png+11541d55ecc6bc9b15fec41d85097104.png+004587b4838d1bc54bd003e7540b9790.png

思路点拨：在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续自然数的积。

366a906425b2039bcee338bb98e3ba73.png=1－93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png， c05673c1d3a2903d8dbc16842c0d5547.png=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png－7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png， e4112bd1eb54b673c29c539e0561da9e.png=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png－eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png， 11541d55ecc6bc9b15fec41d85097104.png=eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png－22417f146ced89939510e270d4201b28.png， 004587b4838d1bc54bd003e7540b9790.png=22417f146ced89939510e270d4201b28.png－6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png，……

b20b0700885fe1d993f8571a8cccc3b0.png=9ba22ee6c5f55c74af52949dd103f942.png－9e3e9a82bbe73604b642d7fe1a0f2c9a.png

把每个分数都写成两个分数的差，使部分分数相互抵消，使计算简便。

【同步精炼】

1、366a906425b2039bcee338bb98e3ba73.png+c05673c1d3a2903d8dbc16842c0d5547.png+e4112bd1eb54b673c29c539e0561da9e.png+……+8821af1e32ac82f5e7c225ad16f2226c.png3、1+93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png+6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png+3f745284407e4a2b198f3db1bab93436.png+4497aadaeffe498074034fea0b11c01a.png+32f3521784b79035d5e72f428a705795.png+d8ec64d3e04f017f125db19d298896f1.png+3a648186727416ef9027f0dfde94f4a4.png+573f52d649b92dbbfd835cd1fab46fc9.png+f441970c47335ac1add400643ef7dcb3.png

2、93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png+6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png+3f745284407e4a2b198f3db1bab93436.png+4497aadaeffe498074034fea0b11c01a.png+32f3521784b79035d5e72f428a705795.png

第四讲 分数混合运算

稍复杂的分数应用题

【知识概述】

有些稍微复杂的分数应用题中的两个或两个以上单位“1”的量，这时一般先用转换法统一单位“1”，有时还要根据解题需要，把分率转化成比，然后才能进行解答。

【例题精学】

例1：甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，结果甲捐了另外三人总数的一半，乙捐了另外三人总数的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，丙捐了另外三人总数的eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？

思路点拨：根据题意可知，甲、乙、丙、丁四人捐款的总数是一定的，把四人的总数看成单位“1”。“甲捐了另外三人总数的一半”，则甲的捐款是四人捐款总数的b1e8256040e13f75382f13056bede249.png，同理，乙的捐款是四人捐款总数的5e1f0447859a5c914167cd1f621e0f57.png，而丙的捐款是四人捐款总数的ddd81d2d62e229265f7bb1f7cc0d3f75.png。那么我们就可以求出丁捐的91元所对应的分率，在求出四人的捐款总数。

【同步精炼】

1、甲、乙、丙、丁四个数，甲数是其他三个数之和的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，乙数是其他三个数之和的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，丙数是其他三个数之和的eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png，已知丁数是260，则四个数的和是多少？甲数是多少？

2、三个小朋友合买一枚价值24元的2012年奥运会纪念章，第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png。问：第三个孩子付了多少元？

3、 学校有数学、气象、航模三个兴趣小组，其中数学小组的人数是其他两组人数的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，气象小组的人数是其他两组人数的fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png，航模小组比数学小组少3人。三个小组共有多少人？

例2：乙队原有的人数是甲队的a784243d8211e519a1071acd55f1f3b0.png。现在甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png。原来两队一共有多少人？

思路点拨：当“甲队派30人到乙队” 后，甲、乙两队的人数都发生了变化，但是两队的总人数没有变化，因此我们把甲、乙两队的总人数看成单位“1”。“乙队原有的人数是甲队的a784243d8211e519a1071acd55f1f3b0.png”，则乙队占总人数的cdb28895dad9a62cf232661031285812.png，后来乙队占总人数的f3bbafe932a3f171f718a7dce50a57b9.png，求出30人所对应的分率，再求出原来的总人数。

【同步精炼】

1、甲、乙两个粮库，甲粮库库存的吨数是乙粮库的bfba1ebe54521386299239d81379388d.png。现在从乙粮库调6吨粮食到甲粮库，则甲粮库存粮的吨数是乙粮库的27abf3c3c0ceec6fce6416dc3fcf1951.png。原来两个粮库各存粮多少吨？

2、甲、乙两人共有邮票若干枚，其中甲占3c2852a99aef9c912ed765aa8fb46a37.png，若乙给甲12枚，则乙余下的枚数占总数的add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png。两人共有邮票多少枚？

3、六（一）班在一次聚会中，请假人数是出席人数的c9abe9b909361ae53a62f3bd4cf65fa6.png，中途又有一人离开，这样请假人数是出席人数的4eaadb84ce30c2c791ef285835105995.png。六（一）班共有多少人？

例3：一堆糖果，其中奶糖占3c2852a99aef9c912ed765aa8fb46a37.png，再放入16块水果糖后，奶糖就只占eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png。这一堆糖果原来一共有多少块？

思路点拨：解答这道题时，应该抓住奶糖不变这个条件。因为在总块数发生变化的情况下，有变化的是水果糖的块数，而奶糖的块数没有变，所以应该把奶糖的块数看成单位“1”，通过水果糖块数的变化，求出奶糖的块数，最后求出糖的总块数。

【同步精炼】

1、 袋里有若干个球，其中红球占a72b18c11198b7bf9f0fea1af1863fd2.png，后来又往袋里放了6个红球，这时红球占总数的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png。原来袋里有多少个球？

2、 某科技发明兴趣小组中女生占b3d88de656ac257a94ffaae441d5160f.png，后来又转来了15名女生，这样女生占总人数的463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png。这个兴趣小组男生有多少人？

3、 科技活动小组中，女生人数占0580caa35cb38096c461dc12b333d6da.png，后来又转来了4名女生，这时女生人数占小组人数的bb0695289f737b14ad09e2ee77c5942f.png。这个科技活动小组男生有多少人？现在共有多少人？

例4：两个筑路队合修一条公路，甲队修的463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png相当于乙队修的9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png。甲队比乙队多修了10千米，两队共修了多少千米？

思路点拨：因为甲队修的路×463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png=乙队修的路×9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png，

所以甲队修的路 ：乙队修的路=9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png：463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png=5：4，甲队修了5份，乙队修了4份，总共9份。

“甲队比乙队多修了10千米”，甲队比乙队多修了1份，那么1份就是10千米，一共9份，就是90千米。

【同步精炼】

1、 两袋大米，第二袋比第一袋重15千克，已知第一袋大米的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png恰好与第二袋大米的c7ba8ef6ebee0e34f44f8e3921972e8a.png相等。两袋大米各重多少千克？

2、 桃树棵数的463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png和梨树棵数的bb0695289f737b14ad09e2ee77c5942f.png相等。两种果树各有多少棵？

3、 两根绳子共长27米，如果从第一根绳子上剪下add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png，从第二根绳子上剪下3米，那么两根绳子剩下的部分一样长。两根绳子原来各长多少米？

第五讲 观察物体

【知识概述】

1、 物体的三视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来，该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，还有其他三个视图不是很常用。三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图（侧视图）的总称。

2、 观察位置由低到高的变化，所观察到物体的画面也发生相应的变化。观察物体的时候，站的越高，看到的物体完整。

3、 观察位置由远到近变化，所观察景物的范围也相应变化。观察物体的时候，距离越近，观察到的景物越大，观察景物范围越小；距离越远，观察到的景物越小，观察景物范围越大。

4、 识别和判断拍摄地点与照片中的对应关系：可以假设自己在拍摄地点处，根据图中景物特点，联系自己的生活经验，想想究竟能看到什么，再下结论。判断照片拍摄的先后顺序时可以假设自己随着拍摄者的行走路线游览，想象自己先看到哪些景物，从而判断出照片拍摄的先后顺序。

【例题精学】

例1：

从正面看是（ ），从上面看是（ ），从侧面看是（ ）。在下面中选择。

思路点拨：假想自己站在每个方位看一看。从正面看到的应该是C答案所示图形，从上面看到的应该是E所示图形，从侧面看（一般指左侧面）看到的应该是A所示图形。

【同步精炼】

1、 用六个同样大小的正方体分别摆成下面的样子。

从（ ）面和（ ）面看，这三个物体的形状完全相同；

从（ ）面看，这三个物体的形状不同。

2、

(1)从侧面看到的是的图形的物体有（ ）

(2)从上面看到的是的的图形的物体有（ ）

从上面看到的是的的图形的物体有（ ）

从上面看到的是的的图形的物体有（ ）

(3)从左面看到的是的的图形的物体有（ ）

3、连一连。

例2：一个立体图形从上面看到的是，从侧面看到的是，从正面看到的是，搭这个立体图形至少要用几个？

思路点拨：从上面看到的是，说明至少要用4个，并且摆一摆，从正面看到的是，说明有两层，在第二层上至少要放一个，为方便表述，把第一层的四个小正方体编号，那么第二层的这个小正方体要摆在1号或者3号上；从侧面（左侧面）看到的是，也说明了要摆两层，第二层上至少摆一个，要摆在1号或者2号上，综合起来看，这个立体图形一共由5个组成，第一层摆4个，第二层摆1个，放在1号上，可以表示成。

【同步精炼】

1、一个立体图形从正面看是，从上面看是，从侧面看是，搭这个立体图形至少要用几个？

2、一个立体图形从正面看是，从上面看是，从侧面看是，搭这个立体图形至少要用几个？

3.有一个立体图形，从正面、左面、上面看到的形状分别如下：

例3：

小明在草地上连续拍摄了正在行驶的一辆汽车的一组照片。

上面三幅图照片按照拍摄时间的先后顺序排列是：

思路点拨： 判断照片先后顺序时，可以假设自己随着拍摄者的行走路线，想象自己先看到哪些景物，再看到哪些景物，从而判断出照片拍摄的先后顺序。那么，图中应该先看到的是汽车的正面，然后汽车从身边经过，最后看到的是汽车的尾部。所以上面三幅站片按照拍摄时间的先后顺序排列是312.

【同步精炼】

1、 观察下面三张照片，然后回答问题。

这三张照片按照从远到近的排列顺序是（ ），其中（ ）号照片应该是在树下拍到的。

2、 小雨沿着台阶向一座建筑物走上去，在下面的两幅图中，哪幅是在A处看到的，哪幅是在B处看到的？

例4：数一数，下图是由多少个小正方体组成的？

思路点拨：可以一层一层地数，在数每一层时，应先数每排有几个，有几排，最后再相加。图中第一层有三排，第一排1个，第2,3排都是3个，第一层一共7个；第二层有2排，第一排1个，第二排3个。第二层一共4个；第三层有一排，一共2个，所以三层一共有13个小正方体。

【同步精炼】

第六讲 百分数（利息和税收）

【知识概述】

同学们

【例题精学】

例1：

北师大六年级同步奥数培优