第四章　图形的相似

6　利用相似三角形测高

素材一 新课导入设计

　word/media/image3_1.png情景导入　word/media/image4_1.png置疑导入　word/media/image4_1.png归纳导入　word/media/image3_1.png复习导入　word/media/image4_1.png　类比导入　word/media/image3_1.png悬念激趣

word/media/image5_1.png情景导入　今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度．你能采用什么办法呢？先独立思考，再小组交流．

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图4－6－1

[说明与建议] 说明：用源于生活的美丽图片吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，调动学生的学习情趣，增强感性，诱发学生对新知识的需求．建议：重点让学生明白利用三角形相似可求得不能直接测量的物体的高度，为本节课的学习做好铺垫．

word/media/image5_1.png复习导入　请同学们回忆判定两三角形相似的条件有哪些，利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯杆)的高度．

学生回答：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似．

[说明与建议] 说明：回顾复习三角形相似判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．建议：引导学生结合实际生活理解相似三角形的应用——测高，测距离等．

word/media/image5_1.png悬念激趣　每个小组准备好小镜子、标杆、皮尺等测量工具，分组活动、全班交流研讨．并运用所学知识验证结论的正确性．

[说明与建议] 说明：思维往往是从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．

素材二 考情考向分析

[命题角度1] 利用相似三角形的性质测楼高

根据太阳光是平行光线可以得到同一时刻同一地点下两个物体及其影长是成比例的，即物体、光线、影子所组成的两个三角形相似．可利用相似的性质来求物体高度或在阳光下的影子的长度．

例　[柳州中考] 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图4－6－2)，然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)

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图4－6－2

A．10米　　B．12米　　C．15米　　D．22.5米

[命题角度2] 利用太阳光求物体高度

在太阳光等平行光线下，利用相似三角形可以得到对应边成比例，结合生活，可以总结为阳光下物高与影长成正比．

例　[岳阳中考] 同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6 m的人影长为1.2 m，一电线杆影长为9 m，则电线杆的高为__12__m.

[命题角度3] 利用影子求物体的高度(影子落在墙上时)

当物体的影子有一部分落在墙上时，我们要考虑墙上的影子高度如何转化．通过作辅助线可以把物体分成两部分，一部分物体的高度就是影子在墙上的高度，另一部分可以看做影子完全落在水平面上，即可利用相似三角形的相关知识来求解．

例　[黑龙江中考] 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图4－6－3所示，其中木杆AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木杆PQ的长度为__2.3__m.

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图4－6－3

[命题角度4] 利用标杆(或三角尺)解决实际问题

借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似三角形，进而利用对应边成比例解决问题．利用标杆或三角尺构造相似三角形是解此题的关键．

例　如图4－6－4，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__5.5__m.

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图4－6－4

素材三 教材习题答案

P105习题4.10

1．高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度．

解：16 m.

2．旗杆的影子长6 m，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m，如果此时附近小树的影子长3 m，那么小树有多高？

解：4 m.

3．一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程．请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高．

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解：略．

4．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1 m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5 m，AC在地面的影长CM＝4.5 m，求窗户的高度．

解：2 m.

提示：先说明两个三角形相似．

素材四 图书增值练习

专题　利用相似三角形的性质求树或建筑物的高

1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m.

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2．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3 m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5 m，量得CE＝2 m，EC1＝6 m，C1E1＝3 m..

(1)△FDM∽△________，△F1D1N∽△________；

(2)求电线杆AB的高度．

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【知识要点】

1．利用相似三角形求物高或影长．

2．构建相似三角形测量河宽．

【温馨提示】

利用影长计算或测量时，注意在同一时刻，物体的实际高度/影长＝被测物体的实际高度/被测物体的影长．

【方法技巧】

1．牢记相似三角形的性质和条件．

2．在测量无法到达顶部的物体的高度或测量不能直接到达的两点间的距离时，常构造相似三角形求解．

答案

1．5.5　解析：利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.

∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴＝.

∵DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m，AC＝1.5 m，CD＝8 m，

∴＝，∴BC＝4(m)，

∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)．

2．解：(1)FBG　F1BG

(2)根据题意，∵D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG，∴＝.

∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG，∴＝，

∵D1N＝DM，∴＝，即＝，∴GM＝16.

∵＝，∴＝，∴BG=13.5，

∴AB＝BG＋GA＝15(m)．

答：电线杆AB的高度为15 m.

素材五 数学素养提升

《记一次“测旗杆的高度”的活动》

活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯灯杆）的高度．

　　活动方式：分组活动、全班交流研讨．

　　活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具．

　　师：外边阳光明媚,天公做美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度．首先我们应该清楚测量原理．请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理．

　　甲组:利用阳光下的影子．

　　从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图）,即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．

　　有理有据．你们讨论得很成功．请乙组出代表说明方法2．

　　乙组:利用标杆．

　　如图，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC．

　　因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE，DG=AB

　　由得GC=

　　∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD．

　　还可以这样做．

　　过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC，

　　∴由可求得MC的长．于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF．

　　乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A的做法．这可以减少运算量．

　　请丙组同学出代表讲解．

　　丙组：利用镜子的反射．

　　这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC=．

　　同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员．活动内容是：测量学校操场上地旗杆高度．

　　［同学们紧张有序的进行测量］。

　　通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：

　　1．你还有哪些测量旗杆高度的方法？

　　2．今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？

　　通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性．

　　对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论．

　　1．测量中允许有正常的误差．我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功．

　　2．方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确．

　　3．大家都认为方法简单易行，是个好办法．

　　4．方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力．

　　5．同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”．在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢．

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