第27章 圆与正多边形

【考点清单】

1、基本概念及性质

1. 不在同一直线上的三点确定一个圆；

2. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；

3. 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

4. 在平面上，经过给定两点的圆有无数个，这些圆的圆心联结这两点的线段的垂直平分线上；

5. 三角形的外心是这个三角形的外接圆的圆心；

6. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，都等于这个外接圆的半径；

7. 直角三角形的外心在斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部；

8. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心；

9. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等；

10. 基本概念：弧、弦、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等圆、同心圆、切线、割线、圆心距（线段）、连心线（直线）；正多边形的半径、边心距、中心角；

11. 等弧：能够重合的两条弧称为等弧。（长度相等的弧不一定是等弧。）

12. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

13. 正n边形（n≥3）：

正n边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；

当n为奇数时，正n边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，最小旋转角=360/n

当n为偶数时，正n边形是中心对称图形；

正n边形的内角和：180（n-2） 一个内角 180（n-2）/n 或者180-（360/n）

外角和360° 一个外角360°/n

每一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆

14. 点与圆的位置关系（d——点和圆心的距离）

15. 直线与圆的位置关系（d——圆心到直线的距离）

Ex R取何值，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？

R=1，AO取何值时，圆O与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？

16. 圆与圆的位置关系（d——两圆心之间的距离）

2、尺规作图

17. 作一个圆的圆心：任取非平行的两条弦，作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即圆心；

18. 三角形的外心：作任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即三角形的外心；

19. 三角形的内心：作三角形的任意两个内角的平分线，这两条角平分线的交点即三角形的内心；

20. 作一个圆的内接正三边形、四边形、六边形、八边形；

3、计算

21. 圆中的相关计算：

第一步：常添的辅助线：半径，弦心距，公共弦；

第二步：用好垂径定理、四等定理、等腰三角形三线合一性质进行说理；

第三步：抓住半径，半弦和弦心距构成的直角三角形OAD，运用勾股定理或三角比进行计算；

22. 圆中计算的几种类型：

（1）已知半径OA，∠AOB，求OD、AB；

利用三角比求OD、AD、AB；

（2）已知AB和CD，求半径；

设半径为R，则OD=R-CD，利用OA²=OD²+AD²求出R；

（3）已知半径R和AC，求AB;

利用两个直角三角形AD²=AO²-OD² AD²=AC²-CD² 得AO²-OD²=AC²-CD² ，设OD为x，得R²-x²=AC²-(R-x)²吗，求出x，最后利用勾股定理求AD，从而利用垂径定理得出AB；

（4）求三个两两外切的圆的半径

设元，根据R1+R2=d 列出方程求解。

（5）正n边形中求中心角、边长、半径、边心距，

转化为解等腰三角形OAB和Rt△AOH。

4、圆的几何证明

（1）与圆相关的基本图形：等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线

（2）常用的定理：

四等定理：前提——在同圆或等圆中，

圆心角相等劣弧（或优弧）相等弦相等弦心距相等。

垂径定理：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；

相切两圆的连心线经过切点；

角平分线的性质定理

∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB B ∴PE=PF

角平分线的判定定理

∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF ∴OP平分∠AOB

线段垂直平分线的性质定理

∵直线,MN垂直平分线段AB，点P在直线MN上 ∴PA=PB

线段垂直平分线的判定定理

∵PA=PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上（但不能说明直线MN垂直平分AB）

若还有一个点Q也在线段AB的垂直平分线上，那么直线PQ垂直平分线段AB

（3）补充证明

AB是圆O的直径，∠ACB=90°

联结OC，

∵OA=OC，OB=OC，∴∠A=∠OCA，∠B=∠OCB，

∴∠A+∠OCA+∠B+∠OCB=180°

∴2∠OCA+2∠OCB=180°∴∠OCA+∠OCB=90°

即∠ACB=90°

5、圆中的分类讨论

(1) 两圆相切——考虑内切和外切两种情况

(2) 两圆内切——考虑|R1-R2|=d即 R1-R2=d或R1-R2=-d两种情况；

(3) 两圆没有公共点，则两圆可能内含，也可能外离；

两圆只有一个公共点，则两圆可能内切，也可能外切；

(4) 已知弦AB平行于弦CD，并已知这两条弦的长度，求两条弦之间的距离；

当弦AB与弦CD在圆心同侧时，HG=OG-OH

当弦AB与弦CD在圆心异侧时，H’G=OG+OH’

（5）圆O1与圆O2相交，AB是公共弦，已知两圆的半径及公共弦长，求圆心距；

当两圆的圆心在公共弦的异侧时，O1O2=O1E+O2E

当两圆的圆心在公共弦的同侧时，O1O2=O1E-O2E

（6）AB是圆O的内接正六边形的边，BC是圆O的内接正八边形的边，求∠AOC的度数。

当A、C在点B的同侧时，∠AOC=∠AOB-∠AOC

当A、C在点B的异侧时，∠AOC=∠AOB+∠AOC

第27章 圆与正多边形 知识点整理