2020年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）﹣的相反数是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

2．（4分）如图是由5个大小相同的小正方体拼成的几何体，下列说法中，正确的是（　　）

A．主视图是轴对称图形 B．左视图是轴对称图形

C．俯视图是轴对称图形 D．三个视图都不是轴对称图形

3．（4分）总投资约160亿元，线路全长约29.06km的合肥地铁一号线已于2016年12月31日正式运营，这标志着合肥从此进入了地铁时代，将160亿用科学记数法表示为（　　）

A．160×108 B．16×109 C．1.6×1010 D．1.6×1011

4．（4分）如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．55°

5．（4分）下列运算中，正确的是（　　）

A．3x3•2x2=6x6 B．（﹣x2y）2=x4y C．（2x2）3=6x6 D．x5÷x=2x4

6．（4分）蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（　　）

A．折线统计图 B．频数分布直方图

C．条形统计图 D．扇形统计图

7．（4分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A． B． C． D．

8．（4分）随着电子商务的发展，越来越多的人选择网上购物，导致各地商铺出租价格持续走低，某商业街的商铺今年1月份的出租价格为a元/平方米，2月份比1月份下降了5%，若3，4月份的出租价格按相同的百分率x继续下降，则4月份该商业街商铺的出租价格为：（　　）

A．（1﹣5%）a（1﹣2x）元 B．（1﹣5%）a（1﹣x）2元 C．（a﹣5%）（a﹣2）x元 D．a（1﹣5%﹣2x）元

9．（4分）如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．AF=CF

B．∠DCF=∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有4个

D．tan∠CAD=

10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为：（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）分解因式：2ab3﹣8ab=　 　．

12．（5分）在某校“我爱我班”班歌比赛中，有11个班级参加了决赛，各班决赛的最终成绩各不相同，参加了决赛的六班班长想知道自己班级能否获得一等奖（根据比赛规则：最终成绩前5名的班级为一等奖），他不仅要知道自己班级的成绩，还要知道参加决赛的11个班级最终成绩的　 　（从“平均数、众数、中位数、方差”中选择答案）

13．（5分）A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是　 　km/h．

14．（5分）如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN

以上结论中，正确的是　 　（请把正确结论的序号都填上）

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15．（8分）计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．

16．（8分）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6=0．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17．（8分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．

（1）在图中画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的△A1B1C1；

（2）在图中画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，计算点A所经过的路径的长度．

18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3…An在直线l上，点C1、C2、C3…Cn在y轴正半轴上，请解决下列问题：

（1）点A6的坐标是　 　；点B6的坐标是　 　；

（2）点An的坐标是　 　；正方形AnBnCnCn﹣1的面积是　 　．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19．（10分）如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1米）

20．（10分）合肥市2020年中考的理化生实验操作考试已经顺利结束了，绝大部分同学都取得了满分成绩，某校对九年级20个班级的实验操作考试平均分x进行了分组统计，结果如下表所示：

（1）求a的值；

（2）若用扇形统计图来描述，求第三小组对应的扇形的圆心角度数；

（3）把在第二小组内的两个班分别记为：A1，A2，在第五小组内的三个班分别记为：B1，B2，B3，从第二小组和第五小组总共5个班级中随机抽取2个班级进行“你对中考实验操作考试的看法”的问卷调查，求第二小组至少有1个班级被选中的概率．

六、解答题（满分12分）

21．（12分）如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

七、解答题（满分12分）

22．（12分）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE；

（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；

（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

八、解答题

23．（14分）在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．

如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式．

（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．

（3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h（米）应满足h＞2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界（排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．

2020年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）（2020•蜀山区一模）﹣的相反数是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【分析】根据相反数的定义，可以得知负数的相反数为负，绝对值没变，此题得解．

【解答】解：﹣（﹣）=，

故选A．

【点评】本题考查了负数的相反数，解题的关键是牢记正数的相反数为负，负数的相反数为正，且绝对值不变．

2．（4分）（2020•蜀山区一模）如图是由5个大小相同的小正方体拼成的几何体，下列说法中，正确的是（　　）

A．主视图是轴对称图形 B．左视图是轴对称图形

C．俯视图是轴对称图形 D．三个视图都不是轴对称图形

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再根据轴对称图形的定义可得答案．

【解答】解：如图所示：左视图是轴对称图形．

故选：B．

【点评】此题考查了轴对称图形，以及学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

3．（4分）（2020•蜀山区一模）总投资约160亿元，线路全长约29.06km的合肥地铁一号线已于2016年12月31日正式运营，这标志着合肥从此进入了地铁时代，将160亿用科学记数法表示为（　　）

A．160×108 B．16×109 C．1.6×1010 D．1.6×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将160亿用科学记数法表示为：1.6×1010．

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（4分）（2020•蜀山区一模）如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．55°

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．

【解答】解：根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，

∴∠4=∠3﹣∠1=95°﹣50°=45°，

∵a∥b，

∴∠2=∠4=45°．

故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

5．（4分）（2020•蜀山区一模）下列运算中，正确的是（　　）

A．3x3•2x2=6x6 B．（﹣x2y）2=x4y C．（2x2）3=6x6 D．x5÷x=2x4

【分析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．

【解答】解：A、3x3•2x2=6x5，故选项错误；

B、（﹣x2y）2=x4y2，故选项错误；

C、（2x2）3=8x6，故选项错误；

D、x5÷x=2x4，故选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，解答此题的关键是熟练掌握整式的除法法则：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

6．（4分）（2020•蜀山区一模）蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（　　）

A．折线统计图 B．频数分布直方图

C．条形统计图 D．扇形统计图

【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．

【解答】解：这七天空气质量变化情况最适合用折线统计图，

故选：A．

【点评】此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．

7．（4分）（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．

【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，

∴BE：EC=1：3；

∴BE：BC=1：4；

∵DE∥AC，

∴△DOE∽△AOC，

∴=，

∴S△DOE：S△AOC==，

故选D．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．

8．（4分）（2020•山亭区模拟）随着电子商务的发展，越来越多的人选择网上购物，导致各地商铺出租价格持续走低，某商业街的商铺今年1月份的出租价格为a元/平方米，2月份比1月份下降了5%，若3，4月份的出租价格按相同的百分率x继续下降，则4月份该商业街商铺的出租价格为：（　　）

A．（1﹣5%）a（1﹣2x）元 B．（1﹣5%）a（1﹣x）2元 C．（a﹣5%）（a﹣2）x元 D．a（1﹣5%﹣2x）元

【分析】根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），二月份的价格为a（1﹣5%），3，4每次降价的百分率都为x，后经过两次降价，则为（1﹣5%）a（1﹣x）2．

【解答】解：由题意得，4月份该商业街商铺的出租价格为（1﹣5%）a（1﹣x）2元

故选B．

【点评】此题考查列代数式问题，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．．

9．（4分）（2020•蜀山区一模）如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．AF=CF

B．∠DCF=∠DFC

C．图中与△AEF相似的三角形共有4个

D．tan∠CAD=

【分析】由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以==，故A正确，不符合题意；

过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；

根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；

由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．

【解答】解：A、∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴=，

∵AE=AD=BC，

∴=，故A正确，不符合题意；

B、过D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC，故B正确，不符合题意；

C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C错误．

D、设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有=．

∵tan∠CAD===，故D正确，不符合题意．

故选C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

10．（4分）（2020•无棣县二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为：（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再证明∠BED=∠CDF=135°﹣∠BDE，那么△BED∽△CDF，根据相似三角形对应边成比例求出y与x的函数关系式，结合函数值的取值范围即可求解．

【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC=3，

∴∠B=∠C=45°，BC=3．

∴∠BDE+∠BED=180°﹣∠B=135°，

∵∠EDF=45°，

∴∠BDE+∠CDF=180°﹣∠EDF=135°，

∴∠BED=∠CDF，

∴△BED∽△CDF，

∴=．

∵BD=2CD，

∴BD=BC=2，CD=BC=，

∴=，

∴y=，故B、C错误；

∵E，F分别在AB，AC上运动，

∴0＜x≤3，0＜y≤3，故A错误．

故选D．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求反比例函数的解析式，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）（2020•蜀山区一模）分解因式：2ab3﹣8ab=　2ab（b+2）（b﹣2）　．

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=2ab（b2﹣4）=2ab（b+2）（b﹣2），

故答案为：2ab（b+2）（b﹣2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．（5分）（2020•蜀山区一模）在某校“我爱我班”班歌比赛中，有11个班级参加了决赛，各班决赛的最终成绩各不相同，参加了决赛的六班班长想知道自己班级能否获得一等奖（根据比赛规则：最终成绩前5名的班级为一等奖），他不仅要知道自己班级的成绩，还要知道参加决赛的11个班级最终成绩的　中位数　（从“平均数、众数、中位数、方差”中选择答案）

【分析】根据题意和平均数、众数、中位数、方差的含义可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

11个班级中取前5名，

故只要知道参加决赛的11个班级最终成绩的中位数即可，

故答案为：中位数．

【点评】本题考查统计量的选择，解答此类问题的关键是明确题意，选出合适的统计量．

13．（5分）（2020•蜀山区一模）A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是　72　km/h．

【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程要检验．

【解答】解：设乙车的速度为xkm/h，

，

解得，x=60，

经检验x=60是原分式方程的根，

∴1.2x=1.2×60=72，

故答案为：72．

【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．

14．（5分）（2020•蜀山区一模）如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN

以上结论中，正确的是　①②③④　（请把正确结论的序号都填上）

【分析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，求得BE+BH=BE+DF=EF，故②正确；根据三角形的外角的性质得到∠ANM=∠AEB，于是得到∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；由△AMN∽△BME，得到，推出△AMB∽△NME，根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE=AN，根据相似三角形的性质得到EF=MN，于是得到S△AEF=2S△AMN故④正确．

【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH=EF，

∴∠AEB=∠AEF，

∴BE+BH=BE+DF=EF，故②正确；

∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN，

∠AEB=90°﹣∠BAE=90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）=90°﹣（45°﹣∠BAH）=45°+∠BAH，

∴∠ANM=∠AEB，

∴∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正确；

∵AC⊥BD，

∴∠AOM=∠ADF=90°，

∵∠MAO=45°﹣∠NAO，∠DAF=45°﹣∠NAO，

∴△OAM∽△DAF，故③正确；

连接NE，

∵∠MAN=∠MBE=45°，∠AMN=∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴，

∴，∵∠AMB=∠EMN，

∴△AMB∽△NME，

∴∠AEN=∠ABD=45°，

∵∠EAN=45°，

∴∠NAE=∠NEA=45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴AE=AN，

∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，

∴△AMN∽△AFE，

∴=，

∴EF=MN，

∵AB=AO，

∴S△AEF=S△AHE=HE•AB=EF•AB=MNAO=2×MN•AO=2S△AMN．故④正确．

故答案为：①②③④．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用旋转变换作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15．（8分）（2020•蜀山区一模）计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．

【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2﹣2×+2﹣﹣4+1=﹣1．

【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（8分）（2020•蜀山区一模）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6=0．

【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可得．

【解答】解：∵x2﹣6x=﹣6，

∴x2﹣6x+9=﹣6+9，即（x﹣3）2=3，

则x﹣3=±，

∴x=3．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17．（8分）（2020•蜀山区一模）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．

（1）在图中画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的△A1B1C1；

（2）在图中画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，计算点A所经过的路径的长度．

【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；

（3）先计算出OA，然后利用弧长公式计算．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）OA==2，

所以点A所经过的路径的长度==π．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

18．（8分）（2020•蜀山区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3…An在直线l上，点C1、C2、C3…Cn在y轴正半轴上，请解决下列问题：

（1）点A6的坐标是　A6（32，31）　；点B6的坐标是　（32，63）　；

（2）点An的坐标是　（2n﹣1，2n﹣1﹣1）　；正方形AnBnCnCn﹣1的面积是　22n﹣2　．

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标，然后根据正方形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…，

∴An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数）．

观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点，

∴点Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1），

∴B6的坐标是（32，63）；

故答案为：（32，31），（32，63）；

（2）由（1）得An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数），

∴正方形AnBnCnCn﹣1的面积是（2n﹣1）2=22n﹣2，

故答案为：（2n﹣1，2n﹣1﹣1），22n﹣2（n为正整数）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数）”是解题的关键．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19．（10分）（2020•蜀山区一模）如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（≈1.73，结果精确到0.1米）

【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.6m即为主教学楼的高度AB．

【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，

∴FG==，

在Rt△ACG中，tan∠ACG=，

∴CG==AG．

又∵CG﹣FG=24m，

即AG﹣=24m，

∴AG=12m，

∴AB=12+1.6≈22.4m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．

20．（10分）（2020•蜀山区一模）合肥市2020年中考的理化生实验操作考试已经顺利结束了，绝大部分同学都取得了满分成绩，某校对九年级20个班级的实验操作考试平均分x进行了分组统计，结果如下表所示：

（1）求a的值；

（2）若用扇形统计图来描述，求第三小组对应的扇形的圆心角度数；

（3）把在第二小组内的两个班分别记为：A1，A2，在第五小组内的三个班分别记为：B1，B2，B3，从第二小组和第五小组总共5个班级中随机抽取2个班级进行“你对中考实验操作考试的看法”的问卷调查，求第二小组至少有1个班级被选中的概率．

【分析】（1）由总班数20﹣1﹣2﹣8﹣3即可求出a的值；

（2）由（1）求出的a值，即可求出第三小组对应的扇形的圆心角度数；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二小组至少有1个班级被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：

（1）a=20﹣1﹣2﹣8﹣3=6；

（2）第三小组对应的扇形的圆心角度数=×360°=108°；

（3）画树状图得：

由树状图可知共有20种可能情况，其中第二小组至少有1个班级被选中的情况数有14种，

所以第二小组至少有1个班级被选中的概率==．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

六、解答题（满分12分）

21．（12分）（2020•山亭区模拟）如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

【分析】（1）由平行线分线段成比例可求得CD的长，则可求得A、B、C、的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；

（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；

（3）由B、C的坐标可求得BC的长，当BC=BP时，则可求得P点坐标，当BC=PC时，可知点C在线段BP的垂直平分线上，则可求得BP的中点坐标，可求得P点坐标．

【解答】解：

（1）∵CD⊥OA，

∴DC∥OB，

∴===，

∴CD=2OB=8，

∵OA=OD=OB=3，

∴A（3，0），B（0，4），C（﹣3，8），

把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得，解得，

∴一次函数解析式为y=﹣x+4，

∵反比例函数y=的图象经过点C，

∴k=﹣24，

∴反比例函数的解析式为y=﹣；

（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，

即线段AC（包含A点，不包含C点）所对应的自变量x的取值范围，

∵C（﹣3，8），

∴0＜﹣x+4≤﹣的解集为﹣3≤x＜0；

（3）∵B（0，4），C（﹣3，8），

∴BC=5，

∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，

∴有BC=BP或BC=PC两种情况，

①当BC=BP时，即BP=5，

∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP﹣PB=5﹣4=1，

∴P点坐标为（0，9）或（0，﹣1）；

②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，

∴线段BP的中点坐标为（0，8），

∴P点坐标为（0，12）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，﹣1）或（0，9）或（0，12）．

【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、函数与不等式、等腰三角形的性质、数形结合及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在（2）中注意利用数形结合思想，在（3）中确定出△PBC的两种情况是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

七、解答题（满分12分）

22．（12分）（2020•蜀山区一模）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE；

（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；

（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O切线，得到OC⊥CD，根据平行线的性质得到∠EAC=∠ACO，有等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，于是得到结论；

（2）连接BC，由三角函数的定义得到sin∠CAE==，得到∠CAE=30°，于是得到∠CAB=∠CAE=30°，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，解直角三角形即可得到结论；

（3）根据余角的性质得到∠DCB=∠ACO根据相似三角形的性质得到结论．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O切线，

∴OC⊥CD，

∵AE⊥CD，

∴OC∥AE，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠EAC=∠A=CAO，

即AC平分∠BAE；

（2）解：连接BC，

∵AE⊥CE，AC=2CE=6，

∴sin∠CAE==，

∴∠CAE=30°，

∴∠CAB=∠CAE=30°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴cos∠CAB==，

∴AB=4，

∴⊙O的半径是2；

（3）CD2=BD•AD，

证明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠DCB=∠ACO，

∴∠DCB=∠ACO=∠CAD，

∵∠D=∠D，

∴△BCD∽△CAD，

∴，

即CD2=BD•AD．

【点评】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，余角的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

八、解答题

23．（14分）（2020•蜀山区一模）在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．

如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式．

（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．

（3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h（米）应满足h＞2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界（排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．

【分析】（1）利用抛物线的顶点F的坐标为（6，2.8），将点（0，2）代入解析式求出即可；

（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.8=2.6，当y=0时，﹣（x﹣6）2+2.8=﹣0.4，分别得出即可；

（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，由点C（0，2）得解析式为y=（x﹣6）2+h，再依据x=18时y≤0即可得h的范围．

【解答】解：（1）由题意可得抛物线的顶点F的坐标为（6，2.8），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+2.8，

将点C（0，2）代入，得：36a+2.8=2，

解得：a=﹣，

∴y=﹣（x﹣6）2+2.8；

（2）当x=9时，y=﹣（9﹣6）2+2.8=2.6＞2.24，

当x=18时，y=﹣（18﹣6）2+2.8=﹣0.4＜0，

∴这次发球可以过网且不出边界；

（3）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+h，

将点C（0，2）代入，得：36a+h=2，即a=，

∴此时抛物线解析式为y=（x﹣6）2+h，

根据题意，得：+h≤0，

解得：h≥，

又∵h＞2.32，

∴h≥

答：球既能过网又不会出界的h的取值范围是h≥．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．

2020年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷