常见几何体的内切球与外接球问题

李冬禄

【摘 要】摘　要：几何体与球有关的组合问题，一种是内切，一种是外接．纵观近几年高考题,这两种特殊的位置关系在高考中既是考查的热点也是考查的难点，这是因为与球有关联的组合体，能很好地考查学生的空问想象能力以及化归能力.下面就近几年高考中涉及的几何体外接球与内切球问题进行分析,找出其中的规律,以便同学们更好地迎接高考.

【期刊名称】数理化解题研究

【年(卷),期】2018(000)016

【总页数】2

【关键词】几何体;外接球;内切球;构造

一、正方体的内切球与外接球

设正方体棱长为a,外接球半径为R,内切球半径为r,则:

结论1: 正方体的外接球半径R为正方体对角线的一半，即：(2R)2=3a2

结论2: 正方体的内切球半径r为棱长的一半，即：

结论3：与正方体棱相切的内切球半径r为正方体面对角线的一半，即：

例1　(2013福建12) 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、 俯视图均如图1所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____.

解析　易知球的内接几何体为棱长为2的正方体，由结论1知球的半径所以表面积为12π.

二、长方体的外接球

设长方体的棱长为a、b、c,外接球半径为R,则:

结论4: 长方体的外接球半径R为体对角线的一半，即：(2R)2=a2+ b2+ c2.

结论5：三条棱两两垂直、三个侧面两两垂直、对棱相等的三棱锥，其外接球问题均可构造成对应的长方体进行求解.

例2　(2011辽宁)已知正三棱锥P-ABC,点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为____.

解析　由结论5知可将此三棱锥构造成正方体，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，由结论1知正方体棱长为2，球心为正方体的中心，再由等体积法知P到面ABC的距离为球心到截面ABC的距离为

练习：

1. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(24π).

常见几何体的内切球与外接球问题