乘法分配律有效教学的实践研究

一、研究的缘起

2018年7月初在批阅本校四下年级（共224人）的数学期末试卷时，发现简便计算中以下两题“25×48×125”、“165×79”错误率很高，分别如下：

其中错误原因主要有以下几点：(1)乘法分配律意义理解有误;(2) 乘法分配律与乘法结合律混淆;(3) 拆分错误;(4)没有简便计算；（5）乱做或不做。

在进行试卷分析时，本人与四年级老师探讨这个问题，四年级老师说：“以前对简便计算没怎么关注过，只知道简便计算学生不容易掌握，尤其乘法分配律和乘法结合律，学生老是搞错。这学期我们很重视，除了上新课特别注意外，平时还把简便计算当作过关题，一天1—2题，训练了将近两个月，结果考试出来，你看，乘法分配律还是错误那么多。”当时听了这番话，就在心里想：为什么简便计算学生这么不容易掌握？原因到底出在哪里？学生在学习这一内容时会遇到哪些困难？这些困难又该如何解决？乘法分配律该如何进行教学才是有效的呢？

带着以上的困惑， 我开始了下面的探索与研究。

二、研究的过程

（一）课该从哪里开始？

本人首先翻阅了《人教版》、新《浙教版》、《北师大》、《苏教版》几套教材，发现每套教材在编排这部分内容时都不一样，情况如下：

到底哪种编排更合理？是把这几种运算定律放在一起教学有利于学生掌握乘法分配律？还是把乘法结合律与乘法分配律分开教学更利于学生理解？是这几种运算定律单独成一个单元教学有利？还是在相应的教学内容中分别教学这几种运算定律更利于学生理解掌握乘法分配律？带着这些疑问，我在四上年级两个平行班进行了对比教学，四（1）班在教学交换律后直接教学乘法分配律，四（2）班按四下人教版第二单元教材编排，先教学交换律、结合律，然后进行乘法分配律的教学，两个班级都由本人按照相同的教学设计进行教学。（教学过程见附录一、附录二、附录三）然后在新课教学后对有关乘法分配律的习题进行检测。第一次检测是在乘法分配律新课教学（一课时），又进行一节简便计算（主要是a×(b±c)和a×99+a这两种类型）的新课教学（一课时），共两课时后，我对两个班级的学生进行了测试（共6道题目：①32×（200+3） ②38×29+38 ③82×85+15×82 ④123×15+43×123+42×123 ⑤ 124×25－25×24 ⑥99×14+14）结果如下：

接着我又进行了乘法分配律的第二课时的简便计算教学，主要类型有“a×接近整百数，如：102（或99）×45”与“a×25（或125），如25×44”这两类。然后对利用乘法分配律进行简便计算的题目（共8题：分别如下：①102×45 ②98×32 ③48×301④25×44 ⑤48×125 ⑥45×16⑦45×99+45 ⑧48×101－48）进行了检测，情况如下：

从以上两次检测数据看出：两次测试的正确率都不高，尤其第二次测试，8题全对的人数只占每班人数的三分之一到五分之二，说明学生在学习这块内容时，还是有一定的困难。其次，两次检测四（1）班全对人数都比四（2）班的全对人数要多，这跟乘法结合律与乘法分配律分开教学是有一定关系的，在后测中也发现，四（2）班学生对乘法分配律概念的掌握受乘法交换律和乘法结合律的干扰比较多，具体见下表：

乘法分配律概念掌握对比表

由此我认为学习乘法分配律时，应该单独教学，避免乘法交换律和乘法结合律的干扰，这更有利于学生的理解和掌握。

（二）学生的困难到底在哪里？

回过头来重新审视自己的教学，第一课时教学什么是乘法分配律（见附录一）时，我感觉学生学得比较轻松。课始，我先从学生熟悉的具体情境入手，“①篮球场长28米，宽15米，周长是多少米？②1件球衣15元，1条球裤20元.买5件球衣和5条球裤一共多少元？③小强摆木块，每行摆6个绿木块，8个红木块，共摆了4行。小强共摆了多少个木块？”让学生用不同的方法解答，观察后发现两种方法的结果是一样的，再让学生根据发现举一些这样的算式，然后总结出什么是乘法分配律。最后利用乘法分配律进行一些相应的练习。应该说在这节课里，学生没有感到困难。

困难是从哪里开始的呢？从简便计算。第二课时（见附录二），我先复习什么是乘法分配律，然后让学生观察两组算式：

下面每组2个算式的得数相同吗？你觉得哪个算式计算起来比较方便？

①（32＋68）×4 32×4＋68×4

②（20＋12）×5 20×5＋12×5

③25×（4＋8） 25×4＋25×8

④99×35 100×35—1×35

这个环节，学生也是没有问题的，他们能发现两种方法中哪种更简便一些。接着，我就让学生“运用乘法运算定律，进行简便计算：①27×14＋27×86 ②（50＋25）×4 ③59×44＋41×44 ④ 39×102”。当算式脱离了具体的情境，学生需要依靠乘法分配律来进行简便计算时，有部分学生就感到束手无策了： “27×14＋27×86”这题该如何简便？学生在以往的学习中有简便计算的经验支撑吗？似乎没有。在这之前，人教版1—3年级的教材中没有出现过简便计算。四年级上册在三位数乘两位数乘法单元中出现了因数末尾有0的竖式简便，但竖式的简便跟这里的简便没有多大联系。从教材编排看出，如何让学生有简便计算的意识，在这里存在一个空当。因此，学生在以往的学习经验中没有类似的经验来支撑运用乘法分配律进行简便计算的学习。其次，把“27×14＋27×86”转化成“27×（14＋86）” 学生需要自如地利用乘法分配律的意义来进行运算，对一部分学生来说也是困难的。在以往的学习经验中，学生缺少把四个数参与的运算改变成三个数的运算（或者反过来：把三个数的运算转变成四个数的运算），他们还停留在原来是几个数，现在也应该是几个数这样的经验之下，不习惯这种变化。即使第一节课已经学习了乘法分配律，但对于接受和理解能力较弱的学生来说，也还是存在困难。这可以从检测中学生出现的错误看出：简便计算32×（200+3），在展开过程中，四年级两个班共有11位学生出现了“200×32+3”或“32×3+200”这样的错误，其中四（2）班8人出现，四（1）班3人出现，四（2）班的错误人数将近是四（1）班人数的3倍。分析原因，可能四（1）班未受乘法结合律的干扰有关系。另外就这题，还有3个学生未简便计算，3个学生乱做（如：32+3 ×200）或没做。

对于变式题一，如“99×14+14”这题，两个班共有19人出错，错误原因主要如下：①14×90+14×9；②99×（14+14）；③99+14+99+1；④99×（14+1）分析这几种错误，学生都是因为不理解乘法分配律的意义以及整个算式表示的意思所致。我在单独辅导后进生时，问他：“这个算式表示什么意思？这里一共有几个14？”他一开始说1个14， 后来说有2个14，总之他并不理解这个算式表示的意思。如果学生不知道这个算式表示的是：99个14加上1个14，合起来是100个14，所以可以用“14×（99+1）”来计算，那即使靠模仿做对了，又有什么意义呢？如果说基本类型的题目，学生还可以有章可循，那么到了变式题，学生不能按“a×(b+c)= a×b+ a×c”这个来套时，错误势必会更多。实际上的确是这样。虽然这类题目，通过一定量的训练，学生也能解答。但这样的教学是有效的吗？

对于变式题二，如：“125×24”这题，两个班共有24人出错，主要错误有：①125×（24－4）；②128×8×4；③125×8+125×3；④100×20+25×4；分析错误原因，最主要的问题是不会拆分。以往的教学中有没有这方面的渗透呢？人教版教材中第六册《两位数乘两位数的笔算》有一点渗透，在引导学生探索“24×12”的得数时，教材给出了把“12”拆分成“10+2”。在教学这部分内容时，一些老师也许会让学生用不同的方法求出“24×12”的得数，有些学生可能会想到把“12”或者“24”拆开来，变成24×（10+2）或者24×2×6或24×3×4等。如果老师平时教学没有进行过这方面的渗透，在学习这类简便计算题时，学生进行拆分是有困难的，出现上面的错误也在所难免。

下面我们再来看看通过将近两个月的训练，在期末考试中，学生还有哪些具体的错误：

三、研究所得：课到底该如何上？

以上仅从教材和学生的学习起点、学习经验两方面进行分析，发现学生学习乘法分配律及简便计算存在一些困难。那反思我们的教学，我们有没有在学生有困难的地方给学生以点拨和引导？我们该如何进行乘法分配律的教学，才能使我们的学生在学习时能从模仿走向理解？使课堂更扎实有效呢？我认为应该从下面几个方面来入手：

（一）系统把握教材，提前渗透意义

一般情况下，我们往往在教学某一知识点的前几天或前几周才去进行备课，在备课时才会去关注相关知识的教学起点问题。有时甚至要等课上完了，学生的作业中出现错误，我们才猛然发现我们的教材编排或教学存在一定的问题，然后去找到问题的源头。其实平时教学，我们需要认真地研读教材的真正用意，系统地把握好教材，为学生的后继学习打好基础。根据以上的分析，乘法分配律这一知识点需要提前做好以下一些渗透：

1．充分理解乘法算式的意义，为学习乘法分配律做好准备

在人教版第三册《7的乘法口诀》第78页练习题中有这样的题目：

在教学这一题目时，我们不要只为计算而计算，需要最大限度地发挥练习题的多重价值（本身为7的口诀巩固，其次也是进一步理解乘法算式的意义，另外还为乘法分配律作孕伏）。比如“7×6+7”可以先让学生计算出结果，一般学生会根据算式先算“7×6”等于42，再算“42+7”等于49。接着老师可以问：“除了这种方法，我们还可以怎样算呢？”有些学生可能会根据算式的意义“6个7连加后，再加一个7，就等于7个7，所以可以用“7×7=49”来计算。这其实就是学习乘法分配律简便计算的基础，如果在做这题的时候，老师能重视并充分利用这些习题，不仅让学生说出这些算式的意义，用简便方法计算出结果。还应该引导学生比较“7×6+7”与“7×4+4”这两类算式表示的意义有什么相同和不同之处，让所有的学生都能真正理解这样的算式所表示的意义。另外我觉得还需要补充一些这样的算式，如：“7×9+7”、“7×11-7”、“9×19+9”等。虽然学生只学了7的乘法口诀，可能还算不出这样算式的得数，但我们的意图不在算结果，而重在理解算式意义，若让每个学生都理解到位，那到了四年级下册学习乘法分配律时，学生的困难会大大减少。

2．在具体情境中理解拆分，为学习乘法分配律做好铺垫

人教版第六册《笔算乘法》第63页（下图）

在学习两位数乘两位数笔算乘法时，教材安排了两种思路：左边是口算，右边是笔算，其实笔算的过程与口算的过程是一样的，只不过书写格式不同。很多老师在上这节课时都会关注把12拆分成“10+2”，还会把口算和笔算进行比较。由于在这里有了把“一个数拆分成两个数相加的和”的经验，所以学生在计算“25×44”这类题目时，老师们会发现，学生把“44”拆分成“40+4”的人数会比拆分成“4×11”的人数多。我觉得在上这节课时，我们不仅要关注把“12”拆分成“10+2”，还要关注把“12”拆分成“4×3”、“6×2”。如果学生在以往的学习中有了拆分的经验，到了学习乘法运算定律就不会感觉那么困难了。如果我们能根据具体的算式渗透一些凑整的策略，那效果会更好。比如说刚才的算式“24×12”拆分成“24×2×6”与“24×3×4”比较不出那种拆分更好，如果给学生的算式是“25×24”，那这里的拆分就需要讲究策略了，是拆分25呢？还是拆分24？是把24拆分成3×8好呢？还是拆分成4×6好呢？这里可以引导学生讨论，让学生初步感受到拆分的策略。

3．充分利用相关知识点，为乘法分配律做好孕伏

在学习长方形的周长和解决一些乘加、乘减的实际问题时（如买整套的运动服等），我们会发现其实这些知识点都蕴含着乘法分配律，如果我们在教学时能充分利用好这些材料，能为今后学习乘法分配律做好孕伏。如下图是人教版第五册第42页的“长方形的周长”：

我们在教学时，应该鼓励学生用不同的方法解答，并比较几种方法的异同，延长学生体验和经历的过程，在数次的解答中（最好数据是经过挑选和设计的），学生会自然而然地选择比较简便的那种方法，然后老师才水到渠成地去总结出长方形的周长公式。这样的教学看上去会慢一点，其实这对学生学习经验的积累，对帮助学生理解知识、对后续学习、后续发展都是有益的。

（二）呈现多样情境，促进意义理解

在进行乘法分配律的教学时，我们一般是先呈现情景，再提炼出定律，然后进行以算式为主的训练。但是按这样的程序下来学生掌握的情况并不好，在将近训练了2个月的情况下，学生的正确率只有75%左右。从中看出我们的教学很多时候不是仅靠做题能解决问题的。对于乘法分配律的学习，特别是那些本身学习就有困难的学生，面对算式，面对那些跟原先认知有差异的算式，他们已无从下手，算式与情景之间有着一道深深的鸿沟。

因此我认为，我们必须反复呈现算式的情景，不仅在情景中抽象出规律，还应多样地呈现情境，并将规律应用于情景，从而加深对乘法分配律意义的理解。

1．呈现生活情景，促进意义理解

如在解决99×15这样的题目时，我们可能出于教学时间的考虑，在教学时，会直接告诉学生，99×15表示有99个15，我们可以把99看作100，用100×15，这样比原来多算了一个15，所以我们还应该减去一个15。我们一般写成：“（100-1）×15=100×15-1×15”。或者有些老师比较注重对结果的关注，我们在教学时还可能会说：因为结果相等，所以算式相等。而学生偏偏对这样的两个看似不一样的算式理解不了：结果是相等的，可算式产生了变化呀。真的不可思议！与其这样，学生在课内学得糊里糊涂，课后再花时间训练，力图通过大量模仿直至熟练，还不如在新课时多花一点时间，多呈现一些情景，让学生真正理解算式的意义、简便计算的算理。

我们在教学“99×15”时，可以先呈现这样一个情景：

请学生解决：老师买书的钱怎么算呢？（99×15）也就是老师买了100本少1本书所付的钱：（100-1）×15；还可以是老师买100本后，再卖给我一本，那就是100×15-15。有了这样的生活情景支撑，学生能比较轻松地理解此算式“99×15”到彼算式“（100-1）×15”的过渡，让各个算式之间真正建立起联系。其余类型的教学（如37×102）也都可以这样教学。

总之，我们在教学的过程中，需要依托一些情景来帮助学生真正从模仿走向理解。

2．呈现图形情景，促进意义理解

数学教学不能始终停留在生活经验上，我们需要从生活经验逐渐上升到数学经验，需要逐步地抽象。因此，在呈现生活情景之后，我们应该过渡到图形、符号情景。这样也为学生充分理解乘法分配律打下扎实的基础。比如在教学基本类型的简便计算（如：a×（b+c）=a×b+a×c），我们在呈现生活情景（如买34套服装，每件上衣158元，每条裤子42元）之后，可以呈现下面的情景：

机器人足球比赛即将举行。会展中心扩建了比赛场地。求扩建后的场地面积。

在后继的练习中，我们有必要反复多样呈现这样的情景。然后再引导学生看着算式去想情景，不断地去思考算式的本意。

3.呈现算式情景，促进意义理解

在学习乘法分配律时，除了需要借助以上两种情境帮助学生理解外，我觉得还必须补充算式情境，如教学“99×15+15”这类题时，我们还需要回到第三册刚学习乘法时的情境，让学生真正理解乘法其实就是加法的简便计算，乘法分配律也是加法的简便计算。我们可以在乘法分配律简便计算的第二课时进行这样的教学：

先出示：计算“15+15+15”，学生计算后，说说方法。除了加，还可以用乘“15×3”.明白乘法是加法的简便计算。接着出示9个15连加，让学生计算结果，学生一般会用“15×9”来计算。然后在“15×9”的基础上补上“+15”，即“15×9+15”，让学生计算，学生会比较自然地想到原来有9个15，再加一个15，现在一共有10个15，也就是10×15=150。然后老师带着学生一起再来观察算式的变化，理解为什么可以这样变。接下去的练习，我们应该围绕算式表示的意义来进行简便计算。

只有这样，学生真正理解了简便计算的算理，学生学习起来才不会感觉累，老师教时也会轻松自如。

四、有待进一步研究的问题

1. 情境是否要贯彻始终？情境呈现多了，对后继教学有没有其他影响？其次还有教学时间的问题，情境呈现多了，必然会多花费一些教学时间。那情境应该在什么时候呈现?到底呈现多少才算合适?

2．概念的记忆有必要吗？在乘法分配律教学后约40天（期间没有对学生进行过任何有关乘法分配律的练习和辅导），我对两个班级的学生进行了后测（见附录四），共108人，能正确用字母、文字或举例子来说明乘法分配律的只有45人，只占了总人数的41.7%。如果学生没有建立正确、清晰、完整的数学概念，怎么能提高运算和解题技能？因此，如何在新课教学时，引导学生理解、记忆概念，也需要进一步研究。

3.学生的简便意识如何培养？在后测中发现对于题目中没有明确要求简便计算的题目“王大伯家果园里的苹果成熟了，卖给水果超市203千克苹果，每千克售价12元。一共能卖多少钱？”两个班的学生（共108人）只有36人自觉运用乘法分配律或乘法结合律进行简便计算，只占了总人数的33.3%。在平时计算中能根据具体数据灵活计算，一直是我们计算教学中的一个目标，如何培养，还需要我们长期关注、进一步研究。

附录四：

乘 法 分 配 律 后 测

1、 什么是乘法分配律？（你可以用字母、文字、或举例子的方法来说明）

2、 简便计算。（用递等式计算）

125×（8+80） 225×113－225×13 99×17+17

53×102 37×99 24×25 87×101－87

3、 元旦搞庆祝活动，学校买来35套演出服，上衣每件58元，裙子每条42元。学校一共要花多少元钱买服装？

4、王大伯家果园里的苹果成熟了，卖给水果超市203千克苹果，每千克售价12元。一共能卖多少钱？

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