1、钟表指针重叠问题

时钟问题详细讲解

我只是在论坛看到相关内容，并加以整理：

一、重合问题

1、钟表指针重叠问题

中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？

（2006国家考题）

A、10 B、11 C、12 D、13 答案B

2、中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？

A、60 B、59 C、61 D、62 答案B

讲讲第2题，如果第2题弄懂了第1题也就懂了！

给大家介绍我认为网友比较经典的解法：

考友1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分针速度的60倍，秒针和分针一起从12点

的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1格/秒，那么秒针的速度就是60格/秒，设追上的时候路程是S，

时间是t，方程为(1+60)t＝S 即61t＝S，中午12点到下午1点，秒针一共走了3600格，即S的范围是0，那么t的范围就是0

即0，因为t只能取整数，所以t为1～59，也就是他们相遇59次。

第1题跟这个思路是一样的，大家可以算算！

给大家一个公式吧 61T＝S （S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了）

如第1题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为12小时，也就是说分针走了720格

T(max)=720/61.8，取整数就是11。

1、钟表指针重叠问题

中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？

A、10 B、11 C、12 D、13

考友2.这道题我是这么解,大家比较一下:

解:可以看做追及问题,时针的速度是:1/12格/分 分针的速度是:1格/分.

追上一次的时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分

从12点到12点的总时间是720 分钟,所以重合次数n=总时间/追上一次的时间=720/720/11 次

二、关于成角度的问题，我推荐个公式及变式给你：

设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.（请大家掌握）

钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。

1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式）

变式与应用

2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A （已知角度或时针或分针求其中一个的公式。

3.由变式2.可以变为

30×〔(X-Y/5)＋Y/60]=A或30×｛〔（X+12)-Y/5]＋Y/60}=A

说明变式3.实质上完全等同变式2.

例题3〔2000年国家考题〕

某时刻钟表时间在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时刻正好方向相反且在一条直线上，则从时刻为（）

A.10点15分 B.10点19分 C.10点20分 D.10点25分

思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为Y,用变式2解出

30×10－5.5Y=180 解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,本题最接近A.(说明此国考题不够严谨！）

思路2.根据钟表的特点：首先看时针在10点到11点之间，那么根据“正好方向相反且在一条直线上”分针必在4点到5点之间（相对时针而言），那么在6分钟以前分针必在3点附近（相对时针而言），运用排除法选A

(说明到这里基本规律已完毕，在考题中已经可以应付了，后面的讲解作为大家了解，我也是从网络搜索的，只是前面知识的运用而已！)

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时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

时钟盘面被等分为12个大格，那么每个大格之间的夹角为360°÷12=30°。每个大格又被分成5个小格，每个小格之间的夹角为30°÷5=6°。在钟表上时针与分针是同时运动的，它们的关系是：时针走1小时转过30°，分针转过360°，恰为一个圆周。

重点?难点

在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问题的扩展和延伸。因此只要能够透彻地分析、解答了两针夹角问题，其他问题则有章可循。

学法指导

解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综合在一起，然后求解，另外，还需要注意全面考虑多种可能的情况。

经典例题

例1 如图1，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？

思路剖析

将时钟盘面分成12个分格，那么在1点45分，分针必落在9这个位置上，而时钟针不在1这个位置上，而是在1和2之间的某个位置上，也就是要求出从1点到1点45分，45分钟的时间时钟转过的角度。时针走60分钟转过360°÷12=30°，那么走45分钟，转过 。而且从1点45分时时钟盘面上时针、分针的位置易知，从9点整到13点整之间包含有4个大格。那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的和。

解 答

点 津

或用变式2. 360-（30×1－5.5×45）＝142.5°（思考为什么用360来减，当然在考题中选择题答案是唯一的好办！）

对于求两针夹角的问题，我们都可以按照例1的思路求解。从此题的求解中，可以总结出如下的规律性结论：在1点45分时，两针夹角：，那么在a点b分时，两针夹角：，为了避免a÷5的情况（分针在时针前），通常a采用24时计时法；若a>b÷5（分针在时针后），则a采用12时计时法。如果所求的角度是大于180°的，那么需与360°求差后求出的值为最后结果。

　例2 从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？

思路剖析

时针与分针直线也就是说两针的夹角为180°。从5时整开始时，时针在一个小时之内从5运转到6，分针从12开始在一个小时之内会旋转360°，必然在此期间有一个时刻时针与分针成了直线，从图2中易知此时刻必然落在11与12之间。此题是已知两针夹角求时间的问题，与例1正好是个相反的过程。我们仍可按照例1得出的规律求解。当两针成直线时，时间为5点几分，那么a=5，由于分针位置在11至12之间，则b>55，那么b÷5>11，a÷5，应采用24小时计时法。只须解一个方程，便可求解此题。

解 答

时针与分针第一次成直线，它们的夹角为180°，设从5时整开始，经过b分后，时针与分针第一次成直线，这时分针落在11与12之间，即b÷5>11，而a=5÷5，则采用24时计时法，可得方程：

那么可知在5时60分时，即6时整，两针成直线。

或者360－〔30×5－5.5×y〕＝180解出y＝60（变式1.好理解些）以下类似略了

答：从5时整开始，经过60分钟后，时针与分针第一次成直线。

例3 从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？

思路剖析

时针与分针的重合，在第一次它们的夹角为360°，那么解决两针重合问题的方法与求解两针成直线问题的方法类似。从6点整开始，一个小时之内，时针从6转到7；分针从12开始转过360°，在此期间必有一时刻两针重合。

解 答

重合时两针都落在6与7之间，因此b÷5>6，而a=6÷5，则采用24时计时法，经过b分钟后两针重合，得方程：

例4 在8时多少分，时针与分针垂直？

思路剖析

在8时多少分时，两针垂直应有两种情况。如图3和图4所示。图3是分针在时针后，此时的垂直夹角是90°。图4是分针在时针前，此时的垂直夹角是270°。确定了夹角之后，可根据例1得出的规律进行运算。

解 答

分为两种情况：

（1）分针在时针后，a=8,a>b÷5，可采用12时计时法，设从8时整开始，经过b1分后，时针与分针第一次垂直，夹角为90°。得方程：

（2）时针在分针后，a=8，a÷5，可采用24时计时法，设从8时整开始，经过b2分后，时针与分针第二次垂直，夹角为2700。

得方程：

由于求得b2=60分，那么经过60分钟，即在9点钟时，两针第二次垂直。但题意要求是在8点几分时垂直，所以此种情况可舍。

答：在8小时 点分时，时针与分针垂直。

例5 如图5所示的时间是8点20分差一些。如果时针和分针同6的距离正好相等，试问是几点几分？

思路剖析

由于时针和分针同6的距离正好相等，从图中可知，时针和分针与6的距离都是两个大格再加上部分大格。注意到时针多走的部分大格是时针与8的距离，即在几分钟内时针走的格数，而分针多出的部分大格是分歧针与4的距离，即40个大格减去分针几分钟内走的格数。而这两部分是相等的。由于分针走5分钟走1个大格，那么1分钟就走个大格，而时针60分钟走1个大格，那么1分钟走个大格。由此可以将经过几分钟后时针与8的距离和分针与4的距离表示出来，得到方程，进而求出结果。

解 答

发散思维训练

1.求下面各种盘面上的时针与分针之间的夹角。

（1）3时25分；（2）8时40分；（3）9时12分

2.从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？

3.小明同时开动两个钟后发现，其中的一个钟每小时慢3分钟，而另一个钟每小时快2分钟。过了一段时间他再去看这两个钟，发现那个快的钟正好比慢的钟快1小时，问小明过了多长时间去看的钟？

4.时针现在表示的时间是15时整，那么分针旋转2002周后，时针表示的时间是几时？

5.钟面上的时针和分针同时旋转，在相同的时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的多少倍？

6.一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？

7.时钟的分针和时针在24小时中，形成过几次直角？

8.时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？

9.在一天的第六个小时，小月看了一下表，分针正接近时针，还差3分的距离就重合。求现在是几点钟？

请同学们做完练习后再看答案！

参 考 答 案

1.解：

2.解：

时针与分针第一次成直线，即它们的夹角为180。设从9点整开始，经过b分后，时针与分针第一次成直线，这时针针必落在3与4之间，即b÷5<4，而a=9>b÷5，可采用12时计时法，得到方程：

3.解：

快的钟比慢的钟每小时快3+2=5（分钟），1小时=60分钟，快出60分钟则需经过60÷5=12（小时）

答：小明过了12小时去看的钟。

4.解：

分针旋转1周经过的时间是1小时，那么2002周后经过的是2002个小时，一天有24小时，2002÷24=83……10，即旋转2002周之后经过了83天，还多10个小时，而现在的时间是15时，15+10=25，25-24=1（小时）。

答：当分针旋转2002周之后，时针表示的时间是1时。

5.解：

由于在相同的时间内分针旋转的度数是时针旋转度数的多少倍是一个固定的值，那么不妨看经过1个小时，两针各旋转多少度。1小时，时针旋转整个表盘的，而分针旋转一周。因此有：1÷=12（倍）。

答：相同时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的12倍。

6.解：

分针追上时针即两针重合，设在9点b分时两针重合，夹角为360°，采用24时计时法。

7.解：

因为时针在1小时内转动30°÷60=0.5°，分针1分钟转动360°÷6=6°，设：经过x分后，时针与分针成为直角，那么有方程x×（6°-0.5°）=90°，故x=16。即：一天的开始时，两针都指12，两针在16分钟以后，第一次形成直角。所以，下式成立：16×n=60×24，故n=88。但是，两针到下次重合前，形成的角依次是90°、180°、270°、360°（相当于0°），其中，符合题意的只有90°和270°二个。因此，24小时内，时针和分针可以形成44次直角。

8.解：

设时针和分针成一条直线，所需时间为x分钟，这样，分针在表盘上转动6x°，因为分针1分钟转6°，时针1分钟转0.5°，时针则转了0.5x°，那么两针之差相差180°。

6x°-0.5x°=180°

5.5x°=180°

x=32

答：经过32分钟两针可以成一条直线。

9.解：

一天的第六个小时，应从5点钟开始算起。设从5点开始经b分钟，时针和分针满足题中给出的要求。由于分针在一分钟里，顺时针旋转6°，而时针一分钟里旋转0.5°，分针与时针相差3分，那么两针夹角6°×3=18°。a=5，a>b÷5，则采用12时计时法

钟表指针重叠问题