山西省朔州市应县四中高二数学上学期期中试卷(普通班,含解析)
发布时间:2020-04-03 16:40:45
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2015-2016学年山西省朔州市应县四中高二(上)期中数学试卷(普通班)
一、选择题每小题5分共60分,每小题一个选项,请填在机读卡上
1.下列四个命题中错误的是( )
A.若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面
B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线
C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面
2.下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
3.已知直线x+2ay﹣1=0与直线(a﹣2)x﹣ay+2=0平行,则a的值是( )
A. B.或0 C.﹣ D.﹣或0
4.直线x+ay+1=0与直线(a+1)x﹣2y+3=0互相垂直,则a的值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
5.两直线(2m﹣1)x+y﹣3=0与6x+my+1=0垂直,则m的值为( )
A.0 B. C. D.0或
6.已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+1=0,那么圆心坐标为( )
A.(﹣1,﹣3) B.(1,﹣3) C.(1,3) D.(﹣1,3)
7.圆:x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是( )
A.2 B. C. D.
8.设P,Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+(y﹣6)2=2上的点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.4
9.直线y=ax+1与圆x2+y2=2的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.与的值有关
10.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( )
A.+=1
B.+或+=1
C.=1
D.+=1或+=1
11.如图,椭圆上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.
12.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )
A.x﹣2y=0 B.x+2y﹣4=0 C.2x+3y﹣12=0 D.x+2y﹣8=0
二、填空题每小题5分,共20分
13.某几何体的三视图如图所示,它的体积为__________.
14.直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为__________.
15.由命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a=__________.
16.已知圆C:x2﹣2ax+y2=0(a>0)与直线l:x﹣y+3=0相切,则a=__________.
三、解答题
17.设椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,且长轴长是短轴长的2倍.又点P(4,1)在椭圆上,求该椭圆的方程.
18.求斜率为,且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程.
19.求圆心在直线3x+y﹣5=0上,并且经过原点和点(4,0)的圆的方程.
20.已知p:x2﹣12x+20<0,q:x2﹣2x+1﹣a2>0(a>0).若¬q是¬p的充分条件,求a的取值范围.
21.已知椭圆x2+4y2=4,直线l:y=x+m
(1)若l与椭圆有一个公共点,求m的值;
(2)若l与椭圆相交于P、Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
2015-2016学年山西省朔州市应县四中高二(上)期中数学试卷(普通班)
一、选择题每小题5分共60分,每小题一个选项,请填在机读卡上
1.下列四个命题中错误的是( )
A.若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面
B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线
C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【考点】平面的基本性质及推论;异面直线的判定.
【专题】证明题.
【分析】根据公理2以及推论判断A和B,由线线位置关系的定义判断C,利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D.
【解答】解:A、由两条直线平行确定一个平面判断正确,故A不对;
B、根据三棱锥的四个顶点知,任意三点都不共线,故B不对;
C、若两条直线没有公共点,则这两条直线异面或平行,故C对;
D、根据线面垂直的性质定理知,这两条直线平行,即不可能,故D不对.
故选C.
【点评】本题考查了的内容多,涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义,难度不大,需要掌握好基本知识.
2.下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】证明题;推理和证明.
【分析】利用直线与平面所成的角的定义,可排除A;利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B;利用面面平行的判定定理可判断C正确;利用面面垂直的性质可排除D.
【解答】解:A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相交或异面,故A错误;
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,故B错误;
C、三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,而它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面,故C正确;
D,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,排除D.
故选:C.
【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系,线面平行的判定和性质,面面垂直的性质和判定,空间想象能力,属基础题.
3.已知直线x+2ay﹣1=0与直线(a﹣2)x﹣ay+2=0平行,则a的值是( )
A. B.或0 C.﹣ D.﹣或0
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】直线与圆.
【分析】由直线的平行关系可得a的方程,解方程排除重合可得.
【解答】解:∵直线x+2ay﹣1=0与直线(a﹣2)x﹣ay+2=0平行,
∴1×(﹣a)=2a(a﹣2),解得a=或a=0,
经验证当a=0时两直线重合,应舍去,
故选:A
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.
4.直线x+ay+1=0与直线(a+1)x﹣2y+3=0互相垂直,则a的值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】计算题;直线与圆.
【分析】由直线x+ay+1=0与直线(a+1)x﹣2y+3=0互相垂直,知1×(a+1)+a×(﹣2)=0,由此能求出a.
【解答】解:∵直线x+ay+1=0与直线(a+1)x﹣2y+3=0互相垂直,
∴1×(a+1)+a×(﹣2)=0,
解得a=1.
故选C.
【点评】本题考查直线的垂直关系的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
5.两直线(2m﹣1)x+y﹣3=0与6x+my+1=0垂直,则m的值为( )
A.0 B. C. D.0或
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】直线与圆.
【分析】根据两直线垂直时,一次项对应系数之积的和等于0,解方程求得m的值.
【解答】解:∵(2m﹣1)x+y﹣3=0与6x+my+1=0,
∴6(2m﹣1)+m=0,解得m=,
故选:C.
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质,两直线垂直时,一次项对应系数之积的和等于0,属于基础题.
6.已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+1=0,那么圆心坐标为( )
A.(﹣1,﹣3) B.(1,﹣3) C.(1,3) D.(﹣1,3)
【考点】圆的一般方程.
【专题】计算题;直线与圆.
【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念,即可得到所求圆心坐标.
【解答】解:将圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0化成标准方程,得(x﹣1)2+(y﹣3)2=9,
∴圆表示以C(1,3)为圆心,半径r=3的圆.
故选:C.
【点评】本题给出圆的一般方程,求圆心的坐标.着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识,属于基础题.
7.圆:x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是( )
A.2 B. C. D.
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题.
【分析】先将圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,明确圆心和半径,再求得圆心(1,1)到直线x﹣y=2的距离,最大值则在此基础上加上半径长即可.
【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,
∴圆心为(1,1),半径为1
圆心(1,1)到直线x﹣y=2的距离,
则所求距离最大为,
故选B.
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,当考查圆上的点到直线的距离问题,基本思路是:先求出圆心到直线的距离,最大值时,再加上半径,最小值时,再减去半径.
8.设P,Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+(y﹣6)2=2上的点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.4
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】先由条件求得圆心(0,6)到直线x﹣y=0的距离为d的值,则d减去半径,即为所求.
【解答】解:由题意可得圆心(0,6)到直线x﹣y=0的距离为d==3,圆的半径r=,
故|PQ|的最小值为d﹣r=2,
故选:A.
【点评】本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.
9.直线y=ax+1与圆x2+y2=2的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.与的值有关
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=ax+1的距离d,判断得到d<r,即可得到直线与圆相交.
【解答】解:由x2+y2=2,得到圆心坐标为(0,0),半径r=,
∵圆心到直线y=ax+1的距离d=≤1<=r,
∴直线y=ax+1与圆x2+y2=2的位置关系是相交.
故选B
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,其中当d>r时,直线与圆相离;当d=r时,直线与圆相切;当d<r时,直线与圆相交(d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径).
10.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( )
A.+=1
B.+或+=1
C.=1
D.+=1或+=1
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得方程组,从而得到椭圆的方程.
【解答】解:由题意得,,
解得,a=5,b=4,c=3,
则椭圆的方程为:+或+=1.
故选B.
【点评】本题考查了椭圆的基本性质,属于基础题.
11.如图,椭圆上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.
【考点】椭圆的简单性质;椭圆的定义.
【专题】计算题.
【分析】根据椭圆的定义,椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于长轴2a,因此求出椭圆的半长轴a=5,从而得到|MF1|+|MF2|=10,根据点M到左焦点F1的距离为2,得到|MF2|=10﹣2=8,最后在△MF1F2中,利用中位线定理,得到|ON|=|MF2|=4.
【解答】解:∵椭圆方程为,
∴椭圆的a=5,长轴2a=10,可得椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于10.
∴|MF1|+|MF2|=10
∵点M到左焦点F1的距离为2,即|MF1|=2,
∴|MF2|=10﹣2=8,
∵△MF1F2中,N、O分别是MF1、F1F2中点
∴|ON|=|MF2|=4.
故选A.
【点评】本题以椭圆的焦点三角形为例,给出椭圆上一点到左焦点的距离,求三角形的中位线长.着重考查了三角形中位线定理和椭圆的定义等知识点,属于基础题.
12.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )
A.x﹣2y=0 B.x+2y﹣4=0 C.2x+3y﹣12=0 D.x+2y﹣8=0
【考点】椭圆的应用;直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】计算题.
【分析】设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则,两式相减再变形得,又由弦中点为(4,2),可得k=,由此可求出这条弦所在的直线方程.
【解答】解:设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,
则,
两式相减再变形得
又弦中点为(4,2),故k=,
故这条弦所在的直线方程y﹣2=(x﹣4),整理得x+2y﹣8=0;
故选D.
【点评】用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法.
二、填空题每小题5分,共20分
13.某几何体的三视图如图所示,它的体积为30π.
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题.
【分析】先根据三视图判断几何体为半球与圆锥的组合体,再根据球与圆锥的体积公式计算即可.
【解答】解:根据几何体的三视图,几何体为一圆锥与一半球的组合体.
半球的半径R=3,∴,V球=πR3=×27π=18π;
圆锥的高h==4,
∴V圆锥=πR2h=×9×4π=12π;
∴V=V半球+V圆锥=30π.
故答案是30π
【点评】本题考查根据几何体的三视图,求几何体的体积.V球=πR3,V圆锥=πR2h.
14.直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为8.
【考点】直线与圆相交的性质.
【专题】计算题.
【分析】求出圆的圆心坐标、半径,利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理,求出半弦长即可.
【解答】解:x2+y2=25的圆心坐标为(0,0)半径为:5,所以圆心到直线的距离为:d=,
所以|AB|==4,
所以|AB|=8
故答案为:8
【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离、弦长问题,考查计算能力.
15.由命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a=1.
【考点】命题的真假判断与应用;四种命题的真假关系.
【专题】转化思想;简易逻辑.
【分析】存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,其否命题为真命题,即是说“∀x∈R,都有x2+2x+m>0”,
根据一元二次不等式解的讨论,可知△=4﹣4m<0,所以m>1,则a=1.
【解答】解:存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,
∴其否命题为真命题,即是说“∀x∈R,都有x2+2x+m>0”,
∴△=4﹣4m<0,
∴m>1,m的取值范围为(1,+∞).
则a=1
【点评】考察了四种命题间的关系和二次函数的性质,属于常规题型.
16.已知圆C:x2﹣2ax+y2=0(a>0)与直线l:x﹣y+3=0相切,则a=3.
【考点】圆的切线方程.
【专题】直线与圆.
【分析】联立方程消去x由△=0解关于a的方程可得a值.
【解答】解:∵圆C:x2﹣2ax+y2=0(a>0)与直线l:x﹣y+3=0相切,
∴联立方程消去x可得4y2﹣2(a+3)y+6a+9=0,
由△=(2)2(a+3)2﹣4×4×(6a+9)=0可得a=3或a=﹣1(舍去)
故答案为:3.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及一元二次方程根的个数问题,属中档题.
三、解答题
17.设椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,且长轴长是短轴长的2倍.又点P(4,1)在椭圆上,求该椭圆的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;分类讨论;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由椭圆的焦点在x轴上或在y轴上加以讨论,分别根据题意求出椭圆的长半轴a与短半轴b的值,由此写出椭圆的标准方程,可得答案
【解答】解:①当椭圆的焦点在x轴上时,设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过点P(4,1),∴+=1,
∵长轴长是短轴长的2倍,∴2a=2•2b,即a=2b,
可得a=2,b=,
此时椭圆的方程为+=1;
②当椭圆的焦点在y轴上时,设方程为+=1(m>n>0).
∵椭圆过点P(4,1),∴+=1,
∵长轴长是短轴长的3倍,可得a=2b,
解得m=,n=,
此时椭圆的方程为=1.
综上所述,椭圆的标准方程为=1或=1.
【点评】本题给出椭圆的满足的条件,求椭圆的标准方程,着重考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程的方法,属于基础题.
18.求斜率为,且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程.
【考点】直线的截距式方程.
【专题】直线与圆.
【分析】设所求直线的方程为y=x+b,由此求出纵截距y=b,横截距x=﹣b,由已知得||=6,由此能求出直线方程.
【解答】解:设所求直线的方程为y=x+b,
令x=0,得y=b,
令y=0,得x=﹣b,
由已知,得||=6,
即b2=6,解得b=±3.
故所求的直线方程是y=x±3,即3x﹣4y±12=0.
【点评】本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题.
19.求圆心在直线3x+y﹣5=0上,并且经过原点和点(4,0)的圆的方程.
【考点】直线与圆相交的性质.
【专题】直线与圆.
【分析】由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点A(4,0)的中垂线x=2上,再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上,可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值,从而得到所求的圆的方程.
【解答】解:由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点A(4,0)的中垂线x=2上,
再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上,可得圆心C的坐标为(2,﹣1),故半径r=|OC|=,
故所求的圆的方程为 (x﹣2)2+(y+1)2=5.
【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,求圆的标准方程,求出圆心坐标,是解题的关键,属于中档题.
20.已知p:x2﹣12x+20<0,q:x2﹣2x+1﹣a2>0(a>0).若¬q是¬p的充分条件,求a的取值范围.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】计算题.
【分析】若¬q是¬p的充分条件,根据互为逆否命题真假性相同,我们可得p是q的充分条件,则P是Q的子集,进而构造关于a的不等式,解不等式即可得到a的取值范围.
【解答】解:∵p:x2﹣12x+20<0,∴P={x|2<x<10},
∵q:x2﹣2x+1﹣a2>0(a>0).∴Q={x|x<1﹣a,或x>1+a}
又由¬q⇒¬p,得p⇒q,
∴1+a<2,
∴0<a<1.
【点评】本题考查的知识点必要条件、充分条件与充要条件的判断,其中利用互为逆否命题真假性相同,得到p是q的充分条件,是解答本题的关键.
21.已知椭圆x2+4y2=4,直线l:y=x+m
(1)若l与椭圆有一个公共点,求m的值;
(2)若l与椭圆相交于P、Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)将直线的方程y=x+m与椭圆的方程x2+4y2=4联立,得到5x2+2mx+m2﹣1=0,利用△=0,即可求得m的取值范围;
(2)利用两点间的距离公式,再借助于韦达定理即可得到:两交点AB之间的距离,列出|AB|=2,从而可求得m的值.
【解答】解:(1)把直线y=x+m代入椭圆方程得:x2+4(x+m)2=4,即:5x2+8mx+4m2﹣4=0,
△=(8m)2﹣4×5×(4m2﹣4)=﹣16m2+80=0
解得:m=.
(2)设该直线与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根,
由韦达定理可得:x1+x2=﹣,x1•x2=,
∴|AB|====2;
∴m=±.
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题,难点在于弦长公式的灵活应用,属于中档题.