2019年上海市高考数学试卷

2019.06.07

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 已知集合，，则

2. 已知，且满足，求

3. 已知向量，，则与的夹角为

4. 已知二项式，则展开式中含项的系数为

5. 已知、满足，求的最小值为

6. 已知函数周期为1，且当，，则

7. 若，且，则的最大值为

8. 已知数列前项和为，且满足，则

9. 过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于、，在上

方，为抛物线上一点，，则

10. 某三位数密码，每位数字可在09这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有

两位数字相同的概率是

11. 已知数列满足（），若均在双曲线上，

则

12. 已知（，），与轴交点为，若对于图像

上任意一点，在其图像上总存在另一点（、Q异于），满足，且

，则

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）

A. B. C. D.

14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，

则的值可能为（ ）

A. B. C. D.

16. 已知，有下列两个结论：① 存在在第一象限，在第三象限；② 存在在第二象限，在第四象限；则（ ）

A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.

（1）求直线与平面的夹角；

（2）求点A到平面的距离.

18. 已知，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若在时有零点，求的取值范围.

19. 如图，为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，km，，，.

（1）求的长度；

（2）若km，求D到海岸线的最短距离.

（精确到0.001km）

20. 已知椭圆，、为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.

（1）若直线垂直于x轴，求；

（2）当时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；

（3）若直线交y轴于M，直线交y轴于N，是否存在直线l，使得，

若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.

21. 数列有100项，，对任意，存在，

，若与前n项中某一项相等，则称具有性质P.

（1）若，，求所有可能的值；

（2）若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质P；

（3）若中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用a、d、c表示.

参考答案

一. 填空题

1.

2. ，

3. ，

4. ，的系数为

5. ，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当，时，

6. ，

7. ，法一：，∴；

法二：由，（），求二次最值

8. ，由得：（），∴为等比数列，且，

，∴

9. ，依题意求得：，，设坐标为，

有：，带入有：，

即

10. ，法一：（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）；

法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）

11. ，法一：由得：，∴，，利用两点间距离公式求解极限：；

法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在轴投影为1，渐近线斜角满足：，∴

12.

二. 选择题

13. 选D，依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为

14. 选B，依题意：，

15. 选C，法一：依次代入选项的值，检验的奇偶性；

法二：，若为偶函数，则，且

也为偶函数（偶函数偶函数=偶函数），∴，当时，

16. 选D，取特殊值检验法：例如：令和，求是否存在（考试中，

若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）

三. 解答题

17.（1）；（2）.

18.（1）；（2）.

19.（1）km；（2）35.752km.

20.（1）；（2），；（3）.

21.（1）3、5、7；（2）略；（3）.

（完整版）2019上海高考数学试卷及答案