绝密★启用前

重点高中提前招生模拟考试数学试卷（6）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

一．选择题（共10小题，每题4分）

1．已知：三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．﹣1

2．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（　　）

A．7cm B．8cm C．7cm或1cm D．1cm

3．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知x为实数，化简的结果为（　　）

A． B． C． D．

5．已知关于x的方程2x2+x+m+=0有两个不相等的负实根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜ B． C． D．

6．若α为直角三角形的一个锐角，则等于（　　）

A．1﹣sinα﹣cosα B．1+sinα+cosα C．0 D．sinα+cosα﹣1

7．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（　　）

A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣ D．﹣2

9．二次函数y=x2+bx+c的图象与轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=（　　）

A． B． C． D．

10．如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a），那么直线l经过的象限有（　　）

A．二、四 B．一、三 C．二、三、四 D．一、三、四

　二．填空题（共10小题，每题4分）

11．若规定两数a，b通过运算得4ab，即a*b=4ab，若x*x+2*x﹣2*4=0，则x=　 　．

12．设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2+…+S2008=　 　．

13．已知m，n为正整数，若＜＜，当m最小时分数=　 　．

14．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为 　 　．

15．已知b﹣a=，2a2+a=，那么﹣a的值为　 　．

16．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=　 　．

17．观察下列各式：32=52﹣42；52=132﹣122；72=252﹣242；92=412﹣402；…请你将猜想到的规律用含正整数n（n≥1）的等式表示出来　 　．

18．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为　 　．

19．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至P′，将△ABP绕点A旋转后，与△ACP′重合，如果AP=，那么PP′=　 　．

20．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖　 　块，第n个图形中需要黑色瓷砖　 　块（用含n的代数式表示）．

　三．解答题（共6小题，共70分）

21．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本=进价×销售量）

22．计算：+（）﹣1﹣4cos45°﹣2÷×2﹣（2009﹣）0+|2﹣|

23．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

24．如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC﹣AD=1．以CD为直径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F，与BC交于点G．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证：AE=BF；

（3）当AE=1时，在线段AB上是否存在点P，以点A，P，D为顶点的三角形与以点B，P，C为顶点的三角形相似？若存在，在图中描出所有满足条件的点P的位置（不要求计算）；若不存在，请说理由．

（4）当AE为何值时，能满足（3）中条件的点P有且只有两个？

25．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）

（1）求点P6的坐标；

（2）求△P5OP6的面积；

（3）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．

重点高中提前招生模拟考试数学试卷（6）

参考答案与试题解析

1．已知：三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．﹣1

【考点】15：绝对值；33：代数式求值．菁优网版权所有

【分析】可由已知，三个数a、b、c的积为负数，和为正数，得三个数中有两个正数，一个负数，故可得=1，=﹣1，故得=1﹣1=0，即得ax3+bx2+cx+1=0+0+0+1=1．

【解答】解：∵三个数a、b、c的积为负数，和为正数，

∴得三个数中有两个正数，一个负数，

∴=1，

∴=﹣1，

故得=1﹣1=0，

∴ax3+bx2+cx+1=0+0+0+1=1．

故选：B．

【点评】本题主要考查代数式求值问题，利用绝对值的基本性质，以及正数与负数的性质，便得所求结果，要认真掌握．

2．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（　　）

A．7cm B．8cm C．7cm或1cm D．1cm

【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论．

【分析】因为AB、CD位置不明确，所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论．

【解答】解：本题要分类讨论：

（1）AB，CD在圆心的同侧，如图①，连接OA、OC，过O作AB的垂线交CD，AB于E、F，

根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm，FB=AB=×6=3cm，

在Rt△OED中，OD=5cm，ED=4cm，由勾股定理得OE===3cm，

在Rt△OFB中，OB=5cm，FB=3cm，则OF===4cm，

AB和CD的距离=OF﹣OE=4﹣3=1cm；

（2）AB，CD在圆心的异侧，如图②，连接OA、OC，过O作AB的垂线交CD，AB于E、F，

根据垂径定理得ED=CD=×8=4cm，FB=AB=×6=3cm，

在Rt△OED中，OD=5cm，ED=4cm，由勾股定理得OE===3cm，

在Rt△OFB中，OB=5cm，FB=3cm，则OF===4cm，

AB和CD的距离是OF+OE=4+3=7cm．

AB和CD的距离是7cm或1cm．

故选：C．

【点评】本题涉及到垂径定理及勾股定理，解题时要注意分类讨论，不要漏解．

3．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；R6：关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有

【分析】根据题意可得出点P在第三象限，从而列出不等式组求解即可．

【解答】解：∵点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，

∴，

由①得，a＞﹣，

由②得，a＜2，

∴a=1或0．

故选：B．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及一元一次不等式组的整数解，是基础知识要熟练掌握．

4．已知x为实数，化简的结果为（　　）

A． B． C． D．

【考点】73：二次根式的性质与化简；78：二次根式的加减法．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】根据二次根式的性质进行化简：=﹣x，=﹣，代入后合并同类二次根式即可．

【解答】解：原式=﹣x﹣x•（﹣）

=﹣x+

=（1﹣x）．

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减法等知识点的理解和运用，关键是根据二次根式的性质得出=﹣x，=﹣．

5．已知关于x的方程2x2+x+m+=0有两个不相等的负实根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜ B． C． D．

【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有

【分析】由方程有两个不相等的负实数根可以推出，△=b2+4ac＞0，同时=＞0，通过解不等式，即可推出m的取值范围．

【解答】解：∵2x2+x+m+=0有两个不相等的负实根，

∴△=b2﹣4ac=12﹣4×2×（m+）＞0，=＞0，

∴解不等式得：m，m，

∴．

故选：B．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式、根与系数的关系、根的判别式，关键在于根据题意列出一元一次不等式，认真的进行计算．

6．若α为直角三角形的一个锐角，则等于（　　）

A．1﹣sinα﹣cosα B．1+sinα+cosα C．0 D．sinα+cosα﹣1

【考点】73：二次根式的性质与化简；T3：同角三角函数的关系．菁优网版权所有

【分析】打开根号内的式子，将sinα+cosα作为一个整体，可得原式=|sinα+cosα﹣1|，再去绝对值即可求解．

【解答】解：应该是sinα+cosα﹣1．

原式=

=

=

=|sinα+cosα﹣1|

=|sin（α+）﹣1|

因为α为直角三角形的一个锐角，故＜α+＜，

所以＜sin（α+）＜1，1＜sin（α+）＜．

所以，原式=sinα+cosα﹣1．

故选：D．

【点评】考查了同角三角函数的关系，注意整体思想的运用，有一定的难度．

7．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有

【分析】分别列举出以1、2、3、4、5、6、7、8、9开头的上升数，再除以2位数的总数即可．

【解答】解：1开头的两位自然数有10，11，12，13，14，15，16，17，18，19其中有8个“上升数”；

2开头的两位自然数有20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，其中有7个“上升数”；

同理以3开头的两位自然数也有10个，其中有6个“上升数”；

一直到8开头的两位自然数也有10个，其中有1个“上升数”；

9开头的两位自然数没有“上升数”；

所以全部两位自然数有90个，“上升数”一共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个），

所以任取一个两位数，是“上升数”的概率是．

故选：B．

【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；易错点是得到上升数的个数与两位数的总个数．

8．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（　　）

A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣ D．﹣2

【考点】29：实数与数轴．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题．

【分析】首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB=AC利用两点间的距离公式便可解答．

【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，

∴AB=﹣1，

∵点B关于点A的对称点为C，

∴AC=AB．

∴点C的坐标为：1﹣（﹣1）=2﹣．

故选：C．

【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．

9．二次函数y=x2+bx+c的图象与轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=（　　）

A． B． C． D．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有

【分析】首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把A与B两点横坐标用c表示，由此联立方程即可求得答案．

【解答】解：由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．

设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），

则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，

由根与系数的关系得：x1+x2=﹣b，x1x2=c，

又∵∠CAO=30°，则AC=2c，

∴AB=AC=2c；

∴x1=OA=ACcos30°=c，x2=OB=OA+AB=3c．

由x1x2=9c2=c，得c=．

故选：C．

【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

10．如果一条直线l经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a），那么直线l经过的象限有（　　）

A．二、四 B．一、三 C．二、三、四 D．一、三、四

【考点】F5：一次函数的性质．菁优网版权所有

【分析】先根据题意设出一次函数的解析式，再分别把A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a）代入，求出函数的解析式即可．

【解答】解：设此一次函数的解析式为y=kx+c，

把A（a，b），B（b，a），C（a﹣b，b﹣a）三点代入，

得，

解得．

故此一次函数的解析式为y=﹣x，

故直线l经过第二、四象限．

故选：A．

【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，比较简单．

11．若规定两数a，b通过运算得4ab，即a*b=4ab，若x*x+2*x﹣2*4=0，则x=　2或﹣4　．

【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有

【专题】23：新定义．

【分析】根据新定义写出一元二次方程，并用因式分解法求出方程的根．

【解答】解：依题意可以列方程：

4x2+8x﹣32=0

x2+2x﹣8=0

（x+4）（x﹣2）=0

x+4=0或x﹣2=0

∴x1=﹣4，x2=2．

故答案为：2或﹣4．

【点评】此题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据新定义写出一元二次方程，然后用因式分解法求出方程的根是解题关键．

12．设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2+…+S2008=　　．

【考点】F5：一次函数的性质．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】先依次计算出S1、S2等的面积，再依据规律求解．

【解答】解：∵kx+（k+1）y﹣1=0

∴当x=0时，y=；当y=0时，x=

∴Sk=××=，

根据公式可知，S1+S2+…+S2008=[﹣+﹣+…+﹣]=（1﹣）=．

【点评】结合题意依次计算出S1、S2等的面积，再总结规律，易求解．

13．已知m，n为正整数，若＜＜，当m最小时分数=　　．

【考点】65：分式的基本性质；98：解二元一次方程组．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】首先由不等式可得出2007n﹣2006m＞0，2007m﹣2008n＞0；分别设2007n﹣2006m=x，2007m﹣2008n=y；（x、y是正整数）然后用x、y分别表示出m、n的值，根据m的值最小，判断出此时x、y、n的值，进一步得出所求分数的值．

【解答】解：由题意，得﹣＞0，﹣＞0，即＞0，＞0，

∵m，n为正整数，

∴2007n﹣2006m＞0，2007m﹣2008n＞0；

设2007n﹣2006m=x，2007m﹣2008n=y；（x、y是正整数）

则有：，解得；

当m最小时，x=y=1；即m=4015，n=4013；此时m、n互质，故=．

故答案为．

【点评】此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识，是道难度较大的题．

14．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为 　﹣4或﹣或﹣　．

【考点】*D：取整函数．菁优网版权所有

【分析】首先令[x]=n，可得方程3x﹣2n+4=0，即可求得x的值，然后由[x]≤x＜[x]+1，可得关于n的不等式组，解不等式组即可求得n的值，则代入方程即可求得x的值，注意要检验．

【解答】解：令[x]=n，代入原方程得3x﹣2n+4=0，即x=，

又∵[x]≤x＜[x]+1，

∴n≤＜n+1，

整理得：3n≤2n﹣4＜3n+3，即﹣7＜n≤﹣4，

∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6，

∴当n=﹣4时，x=﹣4，

当n=﹣5时，x=﹣，

当n=﹣6时，x=﹣，

经检验，x=﹣4或x=﹣或x=﹣是原方程的解．

故答案为：﹣4或﹣或﹣．

【点评】此题考查了取整函数的知识．注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用是解此题的关键．

15．已知b﹣a=，2a2+a=，那么﹣a的值为　　．

【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由第一个等式表示出b，由第二个等式表示出a2，然后将所求式子通分后，利用同分母分式的减法法则计算后，将表示出的b与a2代入，化简后即可求出值．

【解答】解：∵b﹣a=，∴b=a+，

又2a2+a=，∴a2=﹣，

则﹣a=====．

故答案为：

【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意化简求值题要将原式化为最简后再代值．根据已知的两等式表示出的b与a2是解本题的关键．

16．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ADC=60°，AB=11，BC=2，则BD=　14　．

【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】延长AB与DC的延长线相交于点E，构造了两个30°的直角三角形，首先在直角三角形CBE中求得BE的长，再进一步在直角三角形ADE中，求得AD的长，再在直角三角形BAD中由勾股定理求得BD．

【解答】解：如图，延长AB与DC的延长线相交于点E．

在Rt△ADE中，∵∠ADE=60°，

∴∠E=30°．

在Rt△BCE中，sinE=，

∴BE==4，

∴AE=AB+BE=11+4=15．

在Rt△DAE中，tanE=，

∴AD=AE•tanE=15×=5，

在Rt△BAD中，

BD===14，

故答案为：14．

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形，关键要特别注意构造30°的直角三角形，熟练运用锐角三角函数求解．

17．观察下列各式：32=52﹣42；52=132﹣122；72=252﹣242；92=412﹣402；…请你将猜想到的规律用含正整数n（n≥1）的等式表示出来　（2n+1）2=（2n2+2n+1）2﹣（2n2+2n）2（n≥1）　．

【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有

【分析】仔细观察每一个等式，用含有n的式子表示出等号左边的底数，然后表示出等号右边的底数即可．

【解答】解：∵32=52﹣42；

52=132﹣122；

72=252﹣242；

92=412﹣402；

…

∴（2n+1）2=（2n2+2n+1）2﹣（2n2+2n）2（n≥1）．

故答案为：（2n+1）2=（2n2+2n+1）2﹣（2n2+2n）2（n≥1）．

【点评】本题考查了数字的变化，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．

18．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为　3≤b≤6　．

【考点】FI：一次函数综合题．菁优网版权所有

【分析】根据题意确定直线y=﹣2x+b经过哪一点b最大，哪一点b最小，然后代入求出b的取值范围．

【解答】解：由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即﹣2×1+b=1，b=3；

当直线y=﹣2x+b过C（2，2）时，b最大即2=﹣2×2+b，b=6，故能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≤b≤6．

【点评】本题是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．

19．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至P′，将△ABP绕点A旋转后，与△ACP′重合，如果AP=，那么PP′=　2　．

【考点】KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．菁优网版权所有

【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知．

【解答】解：∵△ABP绕点A旋转后能与△ACP′重合，

∴AP=AP′=，∠PAP′=90°，

∴PP′=2．

【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．

20．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖　10　块，第n个图形中需要黑色瓷砖　3n+1　块（用含n的代数式表示）．

【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有

【分析】分析几何模型，进行合理的运算，图形的变换作出正确解答．

【解答】解：本题考查的是规律探究问题．从图形观察每增加一个图形，黑色正方形瓷砖就增加3块，

第一个黑色瓷砖有3块，

则第3个图形黑色瓷砖有10块，

第N个图形瓷砖有4+3（n﹣1）=3n+1（块）．

故答案为：10；3n+1．

【点评】本题考查学生能够在实际情景中有效的使用代数模型．

21．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本=进价×销售量）

【考点】HE：二次函数的应用．菁优网版权所有

【专题】12：应用题．

【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．

【解答】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y，

=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，

，

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000=2000，

解这个方程得：x1=30，x2=40，

答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．

（3）∵a=﹣10＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当30≤x≤40时，w≥2000，

∵x≤32，

∴当30≤x≤32时，w≥2000，

设成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000，

∵a=﹣200＜0，

∴P随x的增大而减小，

∴当x=32时，P最小=3600，

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．

22．计算：+（）﹣1﹣4cos45°﹣2÷×2﹣（2009﹣）0+|2﹣|

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有

【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣2×2×2﹣1+2﹣

=2+2﹣2﹣8﹣1+2﹣

=﹣5﹣．

【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键．

23．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣与x轴正半轴交于点A（3，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．

（1）求a的值；

（2）求点F的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有

【专题】153：代数几何综合题．

【分析】（1）由于抛物线过A（3，0）点，可将A的坐标代入抛物线中即可求出a的值；

（2）F的横坐标与A的横坐标相同，纵坐标等于AB+BD，因此求出BD的长是解题的关键，可先根据抛物线的解析式求出D的横坐标（D的纵坐标是OA的长），然后根据BD=CD﹣OA即可得出BF的值，也就求出了AF的长，即可得出F的坐标．

【解答】解：（1）把A（3，0）代入y=ax2﹣x﹣中，得a=；

（2）∵A（3，0）

∴OA=3

∵四边形OABC是正方形

∴OC=OA=3

当y=3时，，

即x2﹣2x﹣9=0

解得x1=1+，x2=1﹣＜0（舍去）

∴CD=1+

在正方形OABC中，AB=CB

同理BD=BF

∴AF=CD=1+

∴点F的坐标为（3，1+）．

【点评】本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点，（2）题中根据抛物线的解析式求得D点的坐标是解题的关键．

24．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；

（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；

（2）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：

①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．

【解答】解：（1）∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．

∴=，即=；

∴AN=x；

∴S=S△MNP=S△AMN=•x•x=x2．（0＜x＜4）

（2）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，

∴△AMO∽△ABP，

∴==，

∵AM=MB=2，

故以下分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时，y=S△PMN=x2，

∴当x=2时，y最大=×4=，

②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，

∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x，

又∵MN∥BC，

∴四边形MBFN是平行四边形；

∴FN=BM=4﹣x，

∴PF=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，

又∵△PEF∽△ACB，

∴（）2=，

∴S△PEF=（x﹣2）2；

y=S△MNP﹣S△PEF=x2﹣（x﹣2）2=﹣x2+6x﹣6，

当2＜x＜4时，y=﹣x2+6x﹣6=﹣（x﹣）2+2，

∴当x=时，满足2＜x＜4，y最大=2．

综上所述，当x=时，y值最大，最大值是2．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用，要注意（2）中要根据P点的位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．

25．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）

（1）求点P6的坐标；

（2）求△P5OP6的面积；

（3）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．

【考点】D5：坐标与图形性质；K3：三角形的面积；R2：旋转的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有

【分析】（1）OP6旋转了6×45°=270°，得到点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P6（0，﹣26）；

（2）根据两组对应边的比相等，且它们的夹角也相等，则这两个三角形相似得到△P0OP1∽△P1OP2∽△Pn﹣1OPn．然后求出S△P0OP1=×1×=，再求出，利用相似三角形面积的比等于它们的相似比即可得到△P5OP6的面积；

（3）分类讨论：令旋转次数为n，①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（2n，0）；②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为（×2n，×2n）；③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（0，2n）．

【解答】解：

（1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P6（0，﹣26），即P6（0，﹣64）；

（2）由已知可得，△P0OP1∽△P1OP2∽△Pn﹣1OPn．

设P1（x1，y1），则y1=2sin45°=，

∴=×1×=，

又∵，

∴，

∴；

（3）由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，

①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（2n，0）；

②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为（×2n，×2n），即（2n﹣1，2n﹣1）；

③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，

此时，点Pn的绝对坐标为（0，2n）．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形相似的判定与性质以及各象限和坐标轴上的点的坐标特点．

冲刺实验班河南省实验中学2019中考提前自主招生数学模拟试卷(6)附解析