第二节　导数的几何意义和物理应用

与导数概念密切相关的两个问题是几何上求曲线的切线问题和物理学上已知运动规律求速度问题。下面我们以这两个问题对导数概念进一步说明。

一、几何意义

设是一区间上的函数，是曲线上的两点的连线称为曲线的割线，当时，割线AB也发生变化，如AB趋向于某一条直线,则称为曲线在点A的切线,当曲线是圆时,这个直线与圆只相交于一点.这与平面几何中的切线的概念是一致的.

有直线的斜率可以知道, 割线AB的斜率为,这里是AB割线与轴正方向的夹角。如果可导，并记为切线与轴正方向的夹角，那么切线的斜率为．

．

所以是曲线在的切线的斜率．

同样可以定义曲线在的法线为过点与曲线在的切线垂直的直线．

例5.8 求曲线在的切线与法线．

解：在的切线斜率为

，

所以切线方程为，即．

法线斜率为，所以法线方程为，即．

二、物理应用

在物理上，导数的应用也是很多的，先看一个简单的例子：

设时刻一车从某一点出发，在时刻车走了一定的距离，即距离是时间的函数．在时刻到时刻，车走了，这一段时间里车的平均速度为，当与很接近时，这个平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度.

类似地，表示单位时间里速度的变化量，即加速度．

例5.9 已知一物体从空中某点自由下落，下落的距离与时间的函数关系是，求其运行的速度与加速度．

解：运行速度：；

　　加速度：．

习题5.2

1．求抛物线上过点的切线和法线方程。

2. 求双曲线的切线中过点的切线方程。

3. 给定曲线。

（1）求曲线上横坐标为处的切线方程；

(2) 在曲线上求点，使得该点处的切线被被坐标轴所截得的长度最短。

4．已知一物体从空中450米处自由下落。

（1）物体下落五分钟后的速度；

(2) 当物体落到地面时的速度是多少？。

导数的几何意义和物理应用