列一元一次方程解实际问题的一般方法

【学习目标】

1、使同学们知道形积问题的意义，能分析题中已知数与未知数之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题；

2、使同学们了解列出一元一次方程解应用题的方法。

3、通过对实际问题的解决，体会方程模型的作用，发展分析问题、解决问题、敢于提

出问题的能力.

【学习方法】自主探究与合作交流相结合．

【学习重难点】重点：列出一元一次方程解有关形积变化问题；

难点：依题意准确把握形积问题中的相等关系。

【学习过程】

模块一 预习反馈

一、预习准备

1、长方形的周长= ；面积=

2、长方体的体积= ；正方体的体积=

3、圆的周长= ；面积 =

4、圆柱的体积=

5、阅读教材：

二、课堂学习

6、理解解应用题的关键是找等量关系列方程

将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？

设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：

(提示：1、题目中已知的是“底面直径”，而不是“底面半径”，所以应注意转化.2、π的值不用写出，

在计算过程中可根据等式基本性质2约去.3、根据锻压前后体积不变这个等量关系来建立方程！)

解：根据等量关系，列出方程:

解得x=

因此，“矮胖”形圆柱，高变成了 m.

归纳：本节主要研究形积变化问题.对于这类问题，虽然形状和体积都可能发生变化，

但应用题中任然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能

够表示应用题全部含义的相等关系找出来，然后根据这个相等关系列出方程.此类问题

常见的有以下几种情况：

1、 形状发生了变化，而体积没变.此时，相等关系为变化前后体积相等.

2、 形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，相等关系为变化前后周长相等.

3、 形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系.

实践练习：用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2（π-2）米，求两个等长铁丝长度，并通过计算比较说明谁的面积大.

(分析：正方形周长=圆的周长)

解：设

归纳：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；

（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；

（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）；

（4）列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；

（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；

（6）检：检查所求解是否符合题意；

（7）答：写出答案（包括单位名称）.

三、教材拓展

7、例1 制造一个长5cm，宽3cm的无盖水箱，箱底的造价每平方米为60元，箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的，若整个水箱共花去1860元，求水箱的高度.

分析：本题已知箱底和箱壁每平方米的造价，所以应分两部分分别计算出箱底和箱壁的面积，相等关 系是箱底的造价+箱壁的造价＝1860元，可直接设未知数来解.

实践练习：有一个底面直径为0.2m的圆柱形水桶，把936g重的钢球（球形）全部浸没

在水中，如果取出钢球，那么液面下降多少？（1cm³钢重7.8g，π取3.14，结果精确到

0.01）

模块二 合作探究

用一根长20m的铁丝围成一个长方形.

（1）使得长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、 宽各为多少米？面积呢？

（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 宽各为多少米？面积呢？

它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？

（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它

所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？

（分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：20×½=10m.在解决这个问题的

过程中，要抓住这个等量关系.）

解：（1）设此时长方形的宽为 m，则

根据题意，得

解这个方程，得

此时长方形的长为 ，宽为 ，面积为

（2）设此时长方形的宽为 ，则

根据题意，得

解这个方程，得

此时长方形的长为 ，宽为 ，面积为

此时长方形的面积比（1）中面积 m².

（3）设

根据题意，得

解这个方程，得

此时正方形的长为 ，面积为 __ 的面积比（2）中面积 __ m².

实践练习：用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，

问：需要截取多长的圆钢？

分析：本题是等积变形问题，其相等关系是：铸造前圆钢的体积＝底面积×高.设所需圆钢的长为

xcm，则铸造前圆钢的体积为，铸造后3个圆柱的体积为.

模块三 形成提升

1、把直径6cm ，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢，求锻造后的圆钢的长。

2、小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆

柱体体积的2.5倍，那么大圆柱的高是多少？

3、将一个长、宽、高分别为15cm，12cm和8cm的长方形钢块锻造成一个底面边长为

12cm的正方形的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体的钢块表面积大还是锻造后的长

方体零件钢坯表面积大？请你计算比较。

模块四 小结评价

一、本课知识：1、形积变化问题常见的有以下几种情况：

（1）

(2)

(3)

2、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：

二、本课典型例题：

三、我的困惑：

附：课外拓展思维训练：

（宁夏中考题）一个圆柱体，半径增加到原来的3倍，而高度变成原来的，则变化后

的圆柱体积是原来圆柱体体积的（ ）

A.6倍 B.2倍 C.3倍 D.9倍

最新版沪科版适用初一数学上册《[学案] 列一元一次方程解实际问题的一般方法》