。

。

。

。

。

。

内部文件，版权追溯

内部文件，版权追溯

解读两个基本定理

《平面向量》的第三节有两个重要的定理，对它们的理解直接影响到整个向量知识的学习.对一个定理理解主要可从下面几个方面考虑：定理揭示的本质、定理条件与结论中的关键字词、变形式及推论、用法技巧等.下面就对两个基本定理的进行解读.

一、向量共线基本定理

定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得＝ .

要熟练使用此定理，必须对定理透彻理解，主要从下面几个方面理解：

1、把握定理所揭示的本质：如果给一个非零向量，那么所有与它共线的向量，可以由它和一个实数唯一表示，就好比一个非零实数，可以表示任意实数一样.

2、注意定理中的关键词：定理中“非零”不可忽视，否则，就成了“充分不必要条件”，这是因为：若为零向量，则向量与共线，但不能得出有且只有一个实数 ，使得＝ ，此时若是零向量，实数不唯一，若是非零向量，实数 不存在.

3、熟悉共线定理的变形式：此定理还可以用一般的形式给出：如果存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线.

事实上，若与不共线，且t＋s＝，必有t＝s＝0，这是因为如果t，s中至少有一个不为0，不妨设t≠0，则由＝―，―∈R，于是与共线，与已知矛盾，故t，s均为0.

4、掌握定理用法技巧：如果题中涉及向量共线，一般需要引进参数进行求解，如果向量与共线，则可设＝ .

二、平面向量基本定理

定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使＝ 1＋ 2.

对此定理的理解，主要从下面几个方面考虑：

1、把握定理揭示的本质：平面内任意两个不共线的向量，可以表示出该平面内所有的向量.这样研究一个平面内所有的向量，可以转化为用两个不共线向量表示.即该定理表明对于同一平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数λ1、λ2，使得向量表示为其他两个不共线的向量、的线性组合，即＝λ1＋λ2；同时任何两个不共线向量的线性关系都可以用一个向量来表示μ1＋μ2＝.

2、注意定理中的关键词：由于定理中的“不共线”的限制，且零向量与任何向量平行，所以组成基底的向量必无零向量；定理中的“只有一对”则说明：当一组基底确定了，表达式＝ 1＋ 2是唯一确定的，当然，对于任一向量来说，我们可以任选一组不共线的向量作为基底．

3、掌握定理的用法技巧：在用法上主要体现两种思想方法：

①运用化归思想：将题目已知条件转化成x＋y＝的形式（，不共线），则可根据x＝y＝0求解相关的问题；

②运用待定系数学法与构造思想：通过构造同一向量的关于同一基底的两种不同形式的表达式，即若＝λ1＋λ2＝μ1＋μ2（，不共线），则必有λ1＝μ1且λ2＝μ2，这为待定系数法解题提供了理论依据.

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标解读两个基本定理素材北师大版必修420170825539