周周测 11　直线与圆的方程综合测试

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2018·广西柳州月考)已知直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是(　　)

A. B.

C. D.

答案：C

解析：由直线方程2x－y－3＝0，得直线的斜率k＝2.∵直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，∴tanθ＝2，∴sin2θ＝＝＝＝.故选C.

2．(2018·河南新乡一中周考)若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点(　　)

A. B.

C. D.

答案：B

解析：∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝时，mx＋n＝m＋n＝，∴3y＝－，∴y＝－，故直线过定点.故选B.

3．直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　)

A．3x－2y－4＝0

B．x＝2或3x－2y－4＝0

C．x＝2或x－2y＝0

D．x＝2或3x－2y－8＝0

答案：B

解析：解法一　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，因为P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，故|4k－2＋1－2k|＝|5－2k|，故2k－1＝5－2k，解得k＝，则直线l的方程为3x－2y－4＝0，选B.

解法二　由题意，所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点或与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行．当所求直线经过P(4,2)和Q(0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线为x＝2；当所求直线与过P(4,2)和Q(0，－4)的直线平行时，由kPQ＝＝，得所求的直线方程为y－1＝(x－2)，即3x－2y－4＝0.

4．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限，则k的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案：B

解析：∵l1，l2有交点，∴k≠±1.由可得即交点坐标为，因为交点在第二象限，故得所以0＜k＜，故选B.

5．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)

A．0 B．1

C．－2 D．－1

答案：C

解析：因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0.又l1、l2之间的距离是，所以＝，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.

6．(2018·四川成都崇州崇庆中学期中)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与y轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆的标准方程为(　　)

A．x2＋(y－1)2＝8

B．x2＋(y＋1)2＝8

C．(x－1)2＋(y＋1)2＝8

D．(x＋1)2＋(y－1)2＝8

答案：A

解析：在x－y＋1＝0中，令x＝0，解得y＝1.∴圆心C(0,1)．设圆的半径为r，∵圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴r＝＝2，∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝8.故选A.

7．(2018·广州一模)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为(　　)

A．(0,1) B．(0，－1)

C．(1,0) D．(－1,0)

答案：B

解析：圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1，所以当k＝0时圆C的面积最大．故圆心C的坐标为(0，－1)．

8．(2018·长春三模)直线kx－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长的最小值为(　　)

A．2 B.

C．2 D.

答案：A

解析：易知直线kx－3y＋3＝0恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为，当圆心到直线kx－3y＋3＝0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，所得弦长最小，因此最短弦长为2×＝2.故选A.

9．(2018·山东济宁期中)已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得线段的长度为(　　)

A．1 B.

C．2 D．2

答案：D

解析：由题意，＝2＋1，∴a＝2，圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，∴直线x－y－＝0被圆M截得线段的长度为2＝2，故选D.

10．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋t＝0的两条切线，切点分别为P，Q若|PQ|＝4，则t的值为(　　)

A．5 B．20

C．10或20 D．20或5

答案：D

解析：由题意知，圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝－t＋25，设圆心为E(3,4)，则|OE|＝5，圆的半径为(t＜25)，所以|OP|＝＝.所以sin∠OEP＝＝，故|PQ|＝2|PE|·sin∠OEP＝2××＝4，得t2－25t＋100＝0，解得t＝20或t＝5，故选D.

11．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是(　　)

A．x＋y＝0 B．x－y＝0

C．x＋y＋2＝0 D．x－y＋2＝0

答案：D

解析：圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，故圆心C的坐标为(－2,2)．因为圆O与圆C关于直线l对称，所以直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于OC，又kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x－(－1)，即x－y＋2＝0.故选D.

12．若直线l：y＝k(x－4)与曲线C： 2＋y2＝只有一个交点，则k的取值范围为(　　)

A.∪

B.

C.∪

D.

答案：C

解析：曲线C： 2＋y2＝是以C为圆心，r＝为半径的劣弧EF(如图所示，不包括两端点)，且E，F，又直线l：y＝k(x－4)过定点D(4,0)，当直线l与C相切时，由＝得k＝±，又kDE＝－kDF＝－＝－，结合图形可知当k∈∪时，直线l：y＝k(x－4)与曲线C： 2＋y2＝只有一个交点．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．

13．(2018·长春二模)已知点A(1,0)，B(3,0)，若直线y＝kx＋1上存在一点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是________．

答案：

解析：解法一　设P(x0，kx0＋1)，依题意可得kPA·kPB＝－1，即×＝－1，即(k2＋1)x＋(2k－4)x0＋4＝0，则Δ＝(2k－4)2－16(k2＋1)≥0，化简得3k2＋4k≤0，解得－≤k≤0，故k的取值范围是.

解法二　若直线y＝kx＋1上存在点P，满足PA⊥PB，则直线y＝kx＋1与以AB为直径的圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，故≤1，即3k2＋4k≤0，故－≤k≤0，k的取值范围为.

14．(2018·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

答案：6x－y－6＝0

解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

15．(2018·福建福州文博中学月考)直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得劣弧对应的圆心角的大小为________．

答案：

解析：圆心到直线的距离为d＝＝，∴弦长为2×＝2，∴弦与两个半径构成的三角形为正三角形，∴直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得劣弧对应的圆心角的大小为.

16．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．

答案：[－5，1]

解析：因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，

所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．

因为A(－12,0)，B(0,6)，

所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)．

因为·≤20，先取P(x，)进行计算，

所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤.

当2x＋5≤0，即x≤－时，上式恒成立；

当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1.

同理可得P(x，－)时，x≤－5.

又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.

故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．

设P(x，y)，则＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y)．

∵·≤20，∴ (－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，

即2x－y＋5≤0.

如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，

∵ P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，

∴ 点P在上．

由得F点的横坐标为1.

又D点的横坐标为－5，

∴ P点的横坐标的取值范围为[－5，1]．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．

解：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，又设该直线与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有

①

②

由①解得xA＝，

由②解得xB＝.

因为点M平分线段AB，

所以xA＋xB＝2xM，

即＋＝0，解得k＝－.

故所求的直线方程为y＝－x＋1，

即x＋4y－4＝0.

18．(本小题满分12分)

已知圆M经过A(1，－2)，B(－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.

(1)求圆M的方程；

(2)若P为圆内一点，求经过点P被圆M截得的弦长最短时的直线l的方程．

解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，则圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，则圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.

由题意有－D－E＝2，即D＋E＝－2.

又∵A(1，－2)，B(－1,0)在圆上，

∴解得

故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－3＝0.

(2)由(1)知，圆M的方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心为M(1,0)．

当直线l过定点P且与过此点的圆的半径垂直时，l被圆截得的弦长最短，此时kPM＝＝，

∴kl＝－＝－2，于是直线l的方程为y－＝－2(x－2)，即4x＋2y－9＝0.

19．(本小题满分12分)

(2018·黑龙江鸡西虎林一中第一次月考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．

(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；

(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；

(3)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．

解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y－2＝－，即x＋2y－6＝0.

(3)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.

圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，所以弦AB的长为.

20．(本小题满分12分)

已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直线l过P点且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

解析：(1)∵⊙C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，

∴圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4.

设l：y＝kx＋5，由直线l被⊙C截得的弦长为4及⊙C的半径r＝4知⊙C的圆心到直线l的距离d＝2，∴＝2，∴k＝；当k不存在时，直线l为x＝0，满足题意．

∴l的方程为y＝x＋5或x＝0.

(2)设弦的中点为M(x，y)，将y＝kx＋5代入⊙C的方程中，得(1＋k2)x2＋2(2－k)x－11＝0.

设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋10＝＋10＝.

∵M为AB的中点，

∴x＝＝，y＝＝，

消去k，得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

当k不存在时，过点P的弦所在的直线为x＝0，代入⊙C的方程，得y2－12y＋24＝0，此时点M的坐标为(0,6)．点M(0,6)满足方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0，∴过点P的⊙C的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

21．(本小题满分12分)

已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

(1)求两圆公共弦长；

(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程．

解析：(1)两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线方程．

又圆C1的圆心C1(1，－5)到公共弦的距离d＝＝3，

圆C1的半径r1＝＝5，

由d2＋()2＝r (L为公共弦长)，得L＝2＝2，即公共弦长为2.

(2)直线C1C2的方程为2x＋y＋3＝0，

直线C1C2与相交弦所在直线x－2y＋4＝0的交点为(－2,1)，即为所求圆的圆心．

又因为所求圆的半径为＝，

所以以相交弦为直径的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.

22．(本小题满分12分)

(2018·江苏宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆心为O1(9,0)，且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.

(1)求圆O1的标准方程；

(2)过定点P(a，b)作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1.若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．

解析：(1)∵圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离是21，∴圆O1的半径为4.∵圆心为O1(9,0)，∴圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16.

(2)当直线l的斜率存在时，设方程为y－b＝k(x－a)，即kx－y－ka＋b＝0.

∴O，O1到直线l的距离分别为h＝，h1＝，

∴d＝2，

d1＝2.

∵d与d1的比值总等于同一常数λ，

∴64－2＝λ2，

∴[64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2]k2＋2b[a－λ2(a－9)k＋64－b2－λ2(16－b2)＝0.

由题意，上式对任意实数k恒成立，∴64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2＝0,2b[a－λ2(a－9)]＝0,64－b2－λ2(16－b2)＝0同时成立．

①如果b＝0，则64－16λ2＝0，

∴λ＝2(舍去负值)，从而a＝6或18；

∴λ＝2，P(6,0)，P(18,0)．

②如果a－λ2(a－9)＝0，显然a＝9不满足，则λ2＝，代入64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2＝0，从而得3a2－43a＋192＝0，Δ＝432－4×3×192＝－455＜0，故方程无解，舍去．

当点P的坐标为(6,0)时，若直线l的斜率不存在，此时d＝4，d1＝2，∴＝2也满足．当点P的坐标为(18,0)，若直线l的斜率不存在，此时直线l与两圆都相等，故不满足．

综上，满足题意的λ＝2，点P有两个，坐标分别为(6,0)，(18,0)．

2019年高考数学一轮复习文科周周测 11 含解析 精品