2017高考全国1卷理科数学试题及答案解析[精校解析版]-

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
理科数学
注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合Axx4x30，x2x30,则A2B

（A）3,33333,1, （B） （C） （D）,3

22222.设(1ix1yi，其中x,y是实数，则xyi （A）1



（B）2


（C）3

（D）2
3.已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100 （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 1123（A） （B） （C） （D）
3234x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 5.已知方程2mn3m2n 专业技术参考资料


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（A）1,3 （B）1,3 （C）0,3 （D）0,3 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28,则它的表面积是
3（A）17 （B）18 （C）20 （D）28
27.函数y2xe在2,2的图像大致为
x

（A）

（C） 2

2yy

1 （B）
2x21OO2xyy1O12x（D）
2O2x8.若ab10，c1,则
（A）acbc （B）abcbac （C）alogbcblogac （D）logaclogbc 9.执行右面的程序框图,如果输入的x0，y1，n1,则输出x,y的值满足 （A）y2x （B）y3x （C）y4x （D）y5x 10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线开始输入x,y,n于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
(A2 (B4 (C6
(D8 11.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1, 否
n=n+1n-1x=x+，y=ny2x2+y2≥36？是
平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦输出x,y结束值为
(A1332 (B (C (D 2323 专业技术参考资料


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12.已知函数f(xsin(x+(0，的对称轴，且f(x在2,x4 为f(x的零点,x4为yf(x图像5，单调，则的最大值为 1836（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分
13.设向量a=(m,1，b=(1,2，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= ． 14.(2xx5的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）
15.设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为 ．
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元． 三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分为12分）
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosAc.

（I）求C； （II）若c
18.（本小题满分为12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60． （I）证明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值．

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7，ABC的面积为33，求ABC的周长．
2DCF
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19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

0891020频数4011更换的易损零件数以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；
（II）若要求P(Xn0.5,确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n19与n20之中选其一,应选用哪个？

20.（本小题满分12分）设圆xy2x150的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数fxx2eax1有两个零点. x222(I求a的取值范围； (II设x1,x2是fx的两个零点,证明：x1x22. 专业技术参考资料


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请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，(I证明：直线AB与⊙O相切；
(II点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.
DOC1OA为半径作圆. 2AB

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中，曲线C1的参数方程为xacost（t为参数，a＞0）．
y1asint在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos. （I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数fxx12x3. （I）画出yfx的图像； （II）求不等式fx1的解集．


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2016年高考全国1卷理科数学参考答案
题号 答案
1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 A 7 D 8 C 9 C 3． 210 B 11 A 12 B 1.Axx24x30x1x3，Bx2x30xx故A3Bxx3．
2故选D．
x1x12.由1ix1yi可知：xxi1yi，故，解得：．
y1xy所以，xyix2y22． 故选B．
3.由等差数列性质可知：S99a1a92aa5而a108，因此公差d101
10592a59a527，故a53，
2∴a100a1090d98． 故选C．
4.如图所示，画出时间轴：
7:307:407:50A8:00C8:108:20D8:30B
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型，所求概率P故选B．
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10101． 402
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x2y25.221表示双曲线，则m2n3m2n0 mn3mn∴m2n3m2
由双曲线性质知：c2m2n3m2n4m2，其中c是半焦距 ∴焦距2c22m4，解得m1 ∴1n3 故选A．
6.原立体图如图所示：

1是一个球被切掉左上角的后的三视图
87表面积是的球面面积和三个扇形面积之和
871S=422+322=17 84故选A．
7.f28e282.820，排除A f28e282.721，排除B 11x0时，fx2x2exfx4xex，当x0,时，fx4e00
441因此fx在0,单调递减，排除C 4故选D．
8.对A：由于0c1，∴函数yxc在R上单调递增，因此ab1acbc，A错误
对B：由于1c10，∴函数yxc1在1,上单调递减，
∴ab1ac1bc1bacabc，B错误
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对C：要比较alogbc和blogac，只需比较和alna
alncblnclnclnc和，只需比较和，只需blnblnablnbalnalnb构造函数fxxlnxx1，则f'xlnx110，fx在1,上单调递增，因此fafb0alnablnb0又由0c1得lnc0，∴11
alnablnblnclncblogacalogbc，C正确 alnablnb对D： 要比较logac和logbc，只需比较lnclnc和 lnalnb11
lnalnb而函数ylnx在1,上单调递增，故ab1lnalnb0又由0c1得lnc0，∴故选C． 9.如下表：
循环节运行次数 运行前 第一次 第二次 第三次 输出xlnclnclogaclogbc，D错误 lnalnbn1xxx
20 判断
yyny
是否输出 / 否 否 是
xy36
1 / 否 否 是
22nnn1
1 0 1 23
21 2
2
3

6
3，y6，满足y4x
2故选C．
10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为y22pxp0，设圆的方程为x2y2r2， 题目条件翻译如图：
p设Ax0,22，D,5，
2 专业技术参考资料


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点Ax0,22在抛物线y22px上，∴82px0……①
pp点D,5在圆x2y2r2上，∴5r2……②
2228r2……③ 点Ax0,22在圆x2y2r2上，∴x02联立①②③解得：p4，焦点到准线的距离为p4． 故选B．
αDABC11. 如图所示：
∵∥平面CB1D1，∴若设平面CB1D1则m1∥m
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，结合平面B1D1C∴B1D1∥m1，故B1D1∥m 同理可得：CD1∥n
平面ABCDm1，D1A1B1C1平面A1B1C1D1B1D1
故m、n的所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小． 而B1CB1D1CD1（均为面对交线），因此CD1B1故选A． 12. 由题意知：
π+k1π 4
ππ+kπ+
2423，即sinCD1B13．
2则2k1，其中kZ
5πTπ5πf(x在,单调，,12
36181221836接下来用排除法
πππ3π3π5π若11,，此时f(xsin11x，f(x在,递增，在,递减，不满4418444436π5π足f(x在,单调
1836 专业技术参考资料


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若9,故选B．
πππ5π，此时f(xsin9x，满足f(x在,单调递减
44183613.-2 14.10 15．64 16． 216000 13. 由已知得：abm1,3
∴ababm132m2121222，解得m2． 14． 设展开式的第k1项为Tk1，k0,1,2,3,4,5
∴Tk1C2xk55k2222xkC2k55kx5k2．
45k454当53时，k4，即T5C52x210x3
2故答案为10．
15.由于an是等比数列，设ana1qn1，其中a1是首项，q是公比．
a182a1a310a1a1q10∴，解得：1．
3aa5q24a1qa1q521故an2n41，∴a1a2...an2232...n4121nn721221749n224
17491当n3或4时，n取到最小值6，此时224221749n242取到最大值26．
所以a1a2...an的最大值为64．
16． 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为
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目标函数z2100x900y
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100(0,200(0,0(90,0 在(60,100处取得最大值，z210060900100216000 17.解： ⑴ 2cosCacosBbcosAc
由正弦定理得：2cosCsinAcosBsinBcosAsinC
2cosCsinABsinC
∵ABCπ，A、B、C0，π ∴sinABsinC0 ∴2cosC1，cosC∵C0，π
1
2∴Cπ
3⑵ 由余弦定理得：c2a2b22abcosC
17a2b22ab
2ab23ab7
1333 SabsinCab242∴ab6 ∴ab187
2ab5
∴△ABC周长为abc57
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18．解：(1 ∵ABEF为正方形 ∴AFEF
∵AFD90 ∴AFDF ∵DFEF=F
∴AF面EFDC
AF面ABEF
∴平面ABEF平面EFDC ⑵ 由⑴知
DFECEF60
∵AB∥EF
AB平面EFDC EF平面EFDC
∴AB∥平面ABCD
AB平面ABCD
∵面ABCD面EFDCCD ∴AB∥CD ∴CD∥EF
∴四边形EFDC为等腰梯形
以E为原点，如图建立坐标系，设FDa
E0，0，0a3，0，aB0，2a，0 C22A2a，2a，0
a3，2a，aEB0，2a，0，BC2，AB2a，0，0 2设面BEC法向量为mx，y，z. 2ay10mEB0，即a x13，y10，z11 3x2ayaz0111mBC022m3，0，1
设面ABC法向量为nx2，y2，z2
a3az20nBC=0x22ay2.即2 x20，y23，z24 22ax0nAB02 专业技术参考资料


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n0，3，4
设二面角EBCA的大小为. cosmnmn431316219
19219
1919解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11 ∴二面角EBCA的余弦值为记事件Ai为第一台机器3年内换掉i7个零件i1,2,3,4 记事件Bi为第二台机器3年内换掉i7个零件i1,2,3,4
由题知PA1PA3PA4PB1PB3PB40.2，PA2PB20.4 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22 PX16PA1PB10.20.20.04
PX17PA1PB2PA2PB10.20.40.40.20.16
PX18PA1PB3PA2PB2PA3PB10.20.20.20.20.40.40.24PX19PA1PB4PA2PB3PA3PB2PA4PB10.20.20.20.20.40.20.20.40.24
PX20PA2PB4PA3PB3PA4PB20.40.20.20.40.20.20.2Px21PA3PB4PA4PB30.20.20.20.20.08
Px22PA4PB40.20.20.04
17 18 19 20 21 22 X
16 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
⑵ 要令Px≤n≥0.5，0.040.160.240.5，0.040.160.240.24≥0.5
则n的最小值为19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当n19时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040 当n20时，费用的期望为202005000.0810000.044080 所以应选用n19 20. (1圆A整理为x1y216，A坐标1,0，如图，
2BE∥AC，则∠C∠EBD，由ACAD,则∠D∠C，
则EBED ∠EBD∠D，ACAEEBAEEDAD4
所以E的轨迹为一个椭圆，方程为xy1，(y0； 4322BED 专业技术参考资料


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x2y2⑵ C1:1；设l:xmy1，
43P因为PQ⊥l，设PQ:ymx1，联立l与椭圆C1 xmy12得3m24y26my90； xy2134ANBMQ则|MN|1m|yMyN|1m2236m2363m243m24|2m|1m212m213m24；
圆心A到PQ距离d
|m11|1m2，
4m243m24所以|PQ|2|AQ|d216，
21m21m22SMPNQ21112m143m2424m211|MN||PQ|2412,83 221223m241m3m432m1xx21. （Ⅰ）f'(x(x1e2a(x1(x1(e2a．
x（i）设a0，则f(x(x2e，f(x只有一个零点．
（ii）设a0，则当x(,1时，f'(x0；当x(1,时，f'(x0．所以f(x在(,1上单调递减，在(1,上单调递增．
又f(1e，f(2a，取b满足b0且blna，则
2f(ba3(b2a(b12a(b2b0， 22故f(x存在两个零点．
（iii）设a0，由f'(x0得x1或xln(2a． 若ae，则ln(2a1，故当x(1,时，f'(x0，因此f(x在(1,上单调递增．又2 专业技术参考资料


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当x1时，f(x0，所以f(x不存在两个零点． 若ae，则ln(2a1，故当x(1,ln(2a时，f'(x0；当x(ln(2a,时，2f'(x0．因此f(x在(1,ln(2a单调递减，在(ln(2a,单调递增．又当x1时，f(x0，所以f(x不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0,．
不妨设x1x2，由（Ⅰ）知x1(,1，x2(1,，2x2(,1，f(x在(,1上（）单调递减，所以x1x22等价于f(x1f(2x2，即f(2x20. 由于f(2x2x2e2x2a(x212，而f(x2(x22ex2a(x2120，所以
f(2x2x2e2x2(x22ex2. 设g(xxe2x(x2ex，则g(x(x1(e2xex. 所以当x1时，g(x0，而g(10，故当x1时，g(x0. 从而g(x2f(2x20，故x1x22. 22．⑴ 设圆的半径为r，作OKAB于K
∵OAOB，AOB120
∴OKAB，A30，OKOAsin30∴AB与⊙O相切 ⑵ 方法一：
假设CD与AB不平行
OAr
2CD与AB交于F
FK2FCFD① ∵A、B、C、D四点共圆
∴FCFDFAFBFKAKFKBK ∵AKBK
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∴FCFDFKAKFKAKFK2AK2②由①②可知矛盾 ∴AB∥CD 方法二：
因为A,B,C,D四点共圆，不妨设圆心为T，因为所以O,T为AB的中垂线上，OAOB,TATB，同理OCOD,TCTD，所以OT为CD的中垂线，所以AB∥CD．
xacost23．⑴ （t均为参数）
y1asint∴x2y1a2 ①
21为圆心，a为半径的圆．方程为x2y22y1a20 ∴C1为以0，∵x2y22，ysin ∴22sin1a20 ⑵ C2：4cos
两边同乘得24cos2即为C1的极坐标方程
2x2y2，cosx
x2y24x 即x2y24 ②
C3：化为普通方程为y2x
由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3 ①—②得：4x2y1a20，即为C3
∴1a20 ∴a1
24．⑴ 如图所示：
x4，x≤13⑵ fx3x2，1x
234x，x≥2fx1
当x≤1，x41，解得x5或x3
∴x≤1
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31，3x21，解得x1或x 2313∴1x或1x
323当x≥，4x1，解得x5或x3
23∴≤x3或x5 21综上，x或1x3或x5
3135， ∴fx1，解集为，1，3当1x 专业技术参考资料


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