导数及不等式综合题集锦

1．已知函数其中a为常数，且.

（Ⅰ）当时，求在（e=2.718 28…）上的值域；

（Ⅱ）若对任意恒成立,求实数a的取值范围.

2. 已知函数

（I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；

（II）求函数的单调区间；

（III）当a=1，且时，证明：

3. 已知（）．

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围．

4．已知函数

（I）若x=1为的极值点，求a的值；

（II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，

（i）求在区间[-2，4]上的最大值；

（ii）求函数的单调区间

5．已知函数

（I）当a<0时，求函数的单调区间；

（II）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是求a的值.

6．已知函数R

（1）求函数的导函数；

（2）当时，若函数是R上的增函数，求的最小值；

（3）当时，函数在（2，+∞）上存在单调递增区间，求的取值范围.

7．已知函数

（1）若，求曲线处的切线；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

8.设函数

（I）若直线l与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求实数p的值；

（II）若在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。

9. 已知函数，如果在其定义域上是增函数，且存在零点（的导函数）。

（I）求的值；

（II）设是函数的图象上两点，

10. 设函数，。

（Ⅰ）当a=0时，在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当m=2时，若函数在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；

（Ⅲ）是否存在实数m，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

11. 已知函数

（I）试确定t的取值范围，使得函数上为单调函数；

（II）求证：；

（III）求证：对于任意的，并确定这样的的个数。

12. 已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.

（1）求、的表达式；

（2）求证:当时,方程有唯一解；

(3）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.

13. 已知函数上恒成立.

（1）求的值；

（2）若

（3）是否存在实数m，使函数上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

14. 已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

15. 设函数．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

1.解：（Ⅰ）当时， 得 ………2分

令，即，解得，所以函数在上为增函数，

据此，函数在上为增函数， …………4分

而，，所以函数在上的值域为……6分

（Ⅱ）由令，得即

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增； ……………7分

若，即，易得函数在上为增函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即

而，即，所以此时无解.………8分

若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，

要使对恒成立，只需，即，

由和得.…10分

若，即，易得函数在上为减函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即，又因为，所以. ……………12分

综合上述，实数a的取值范围是. ……………13分

2. 解：（I）函数，………2分

又曲线处的切线与直线垂直，所以 即a=1…4分[来 （II）由于当时，对于在定义域上恒成立，

即上是增函数.

当 当单调递增；

当单调递减.…………………………8分

（III）当a=1时， 令

………………10分

当单调递减. 又

即

故当a=1，且成立.……………………13分

3解：（Ⅰ）

（1）当，即时，，不成立．

（2）当，即时，单调减区间为．

（3）当，即时，单调减区间为．-------------------5分

（Ⅱ），

在上递增，在上递减，在上递增．

（1）当时，函数在上递增，所以函数在上的最大值是，

若对有恒成立，需要有解得．

（2）当时，有，此时函数在上递增，在上递减，所以函数

在上的最大值是，若对有恒成立，需要有解得．

（3）当时，有，此时函数在上递减，在上递增，所以函数在上的最大值是或者是． 由，

①时，，若对有恒成立，

需要有解得．

②时，， 若对有恒成立，

需要有解得． 综上所述，． -----------14分

4．解：（1） 是极值点 ，即

或2. …3分

（2）在上.∵（1，2）在上

又

（i）由可知x=0和x=2是的极值点.[

在区间[－2，4]上的最大值为8.…………………………8分

（ii）

令，得

当m=2时，，此时在单调递减

当时：

当时G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增.

当时：

此时G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所述：当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减；

时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增；

时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增.

5．解：函数的定义域为 …………1分

…………3分

（1）故函数在其定义域上是单调递增的.…………5分

（II）在[1，e]上，发如下情况讨论：

①当a<1时，函数单调递增，其最小值为

这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；…………6分

②当a=1时，函数单调递增，其最小值为同样与最小值是相矛盾；…7分

③当时，函数上有，单调递减，

在上有单调递增，所以，函数满足最小值为

由 …………9分

④当a=e时，函数单调递减，其最小值为

还与最小值是相矛盾；…10分

⑤当a>e时，显然函数上单调递减，其最小值为

仍与最小值是相矛盾； …………12分

综上所述，a的值为 …………13分

6．（I）解： ……3分

（II）因为函数是R上的增函数，所以在R上恒成立，则有设

则

当且r=1时，取得最小值.

（可用圆面的几何意义解得的最小值）…………………………8分

（Ⅲ）①当时是开口向上的抛物线，显然在（2，+∞）上存在子区间使得，所以m的取值范围是（0，+∞）.

②当m=0时，显然成立.

③当时，是开口向下的抛物线，要使在（2，+∞）上存在子区间使，应满足或

解得或，所以m的取值范围是

则m的取值范围是……………………………………………………13分

7．解：（1）当时，函数

曲线在点处的切线的斜率为 1分

从而曲线在点处的切线方程为 即

（2） 3分

令，要使在定义域（0，∞）内是增函数

只需在（0，+∞）内恒成立 4分

由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，

只需时，

在（0，+∞）内为增函数，正实数的取值范围是 6分

（3）上是减函数， 时，，

即 1分

①当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，

且，所以内是减函数。当时，在 因为，

所以 此时，内是减函数。

故当时，上单调递减，不合题意；

②当时，由所以

又由（2）知当时，上是增函数，

，不合题意； 11分

③当时，由（2）知上是增函数，又上是减函数，

故只需而

即 解得，

所以实数的取值范围是。 13分

8. 解：（Ⅰ）方法一：∵，………………………………2分

∴． 设直线，

并设与相切于点M（） ………………………………3分

∵ ∴2∴

代入直线的方程，解得p=1或p=3． ………………………………6分

方法二：

将直线方程代入得 ∴

解得p=1或p=3 ． ………………………………6分

（Ⅱ）∵，

①要使为单调增函数，须在恒成立，

即在恒成立，即在恒成立，

又，所以当时，在为单调增函数； …………9分

②要使为单调减函数，须在恒成立，

即在恒成立，即在恒成立，

又，所以当时，在为单调减函数． …………11分

综上，若在为单调函数，则的取值范围为或．……12分

9. 解：（I）因为 所以

因为上是增函数。 所以上恒成立 …………1分

当而上的最小值是1。

于是（※） 可见

从而由（※）式即得 ① ………………..………………………… 4分

同时，

由

解得②，或 由①②得

此时，即为所求 ……………………………6分

注：没有提到（验证）时，不扣分。

（II）由（I）， 于是 …………7分

以下证明（☆）

（☆）等价于 ……………………………8分

构造函数则时，

上为增函数。因此当即 从而得到证明。 ………………11分

同理可证 ……………………………12分

注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分。

10. 解：（Ⅰ）由a=0，可得，即┉┉┉┉1分

记，则在（1，+∞）上恒成立等价于.求得┉┉┉2分

当时；；当时， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分

故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. ┉┉┉┉4分

（Ⅱ）函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根．┉┉┉┉5分 令，则┉┉┉┉6分

当时，，当时，

g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数．故┉8分

又g（1）=1，g（3）=3-2ln3 ∵g（1）>g（3），∴只需g（2）（3），

故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3） ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

（Ⅲ）存在m=，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．

，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．┉┉┉┉┉┉10分

若，则，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；┉┉┉11分

若，由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为（，+∞） 单调递减区间为（0，）┉┉┉┉12分

而h（x）在（0，+∞）上的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）

故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

即当m=时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性．┉14分.

11. 解：（I）因为……1分

（II）证：因为处取得极小值e

（III）证：因为，

①当上有解，且只有一解……11分

②当，

所以上有解，且有两解

③当上有且只有一解；

12. 解: （1）依题意,即,.

∵上式恒成立,∴ ① ……1分

又,依题意,即,.∵上式恒成立,∴ ②…2分

由①②得. ………3分

∴ ……4分

（2）由(1)可知,方程,

设,

令,并由得解知 ……5分

令由 ……6分

列表分析:

可知在处有一个最小值0, ……7分

当时,＞0,∴在(0,+)上只有一个解.

即当x＞0时,方程有唯一解. ……8分

（3）设, ……9分

在为减函数又 ……11分

所以：为所求范围. ……12分

13. 解：（1）

恒成立 即恒成立

显然时，上式不能恒成立是二次函数

由于对一切于是由二次函数的性质可得

即 ．

（2）

即

当，当．

（3）

该函数图象开口向上，且对称轴为假设存在实数m使函数区间上有最小值－5.

①当上是递增的.

解得舍去

②当上是递减的，而在 区间上是递增的，即

解得

③当时，上递减的

即解得应舍去. 综上可得，当时，函数

14. 解：（1）求导：

当时，，，在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，递增

（2），且解得：

15. 解：（Ⅰ）． 2分

故当时，，时，

所以在单调递增，在单调递减． 4分

由此知在的极大值为，没有极小值． 6分

（Ⅱ）（ⅰ）当时，由于，

故关于的不等式的解集为． 10分

（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有

． 12分

又时，．且．

取整数满足，，且，

则，

即当时，关于的不等式的解集不是．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为． 14分

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