初一数学知识点汇总(全册)
发布时间:2020-04-07 10:16:38
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初一数学知识点归纳
代数初步知识
1. 代数式:用运算符号“+ - × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意:用字母表示数有一定的限制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式.
2. 列代数式的几个注意事项:
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“· ”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a .
3. 几个重要的代数式:(m、n表示整数)
(1)a与b的平方差是: a2-b2 ; a与b差的平方是:(a-b)2 ;
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是: 10a+b ,则三位整数是:100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是: 5m+n ;偶数是:2n ,奇数是:2n+1;三个连续整数是: n-1、n、n+1 ;
(4)若b>0,则正数是:a2+b ,负数是: -a2-b ,非负数是: a2 ,非正数是:-a2 .
有理数
1.有理数:
(1)凡能写成
(2)有理数的分类: ①
(3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;
(4)自然数 0和正整数;a>0 a是正数;a<0 a是负数;
a≥0 a是正数或0 a是非负数;a≤ 0 a是负数或0 a是非正数.
2.数轴:数轴是规定了原点、向、单位长度的一条直线.
3.相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)注意: a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
(3)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.
4.绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2) 绝对值可表示为:
(3)
(4) |a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|,
5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0.
6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠0,那么
7. 有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
8.有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
10 有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.
11 有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac .
12.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,
13.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
14.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
(3)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0 a=0,b=0;
(4)据规律
15.科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.
16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
18.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则.
19.特殊值法:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.
整式的加减
1.单项式:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
2.单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数.
3.多项式:几个单项式的和叫多项式.
4.多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.
5.整式:凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.
整式分类为:
6.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
7.合并同类项法则:系数相加,字母与字母的指数不变.
8.去(添)括号法则:去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号.
9.整式的加减:整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并.
10.多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.
一元一次方程
1.等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”!
2.等式的性质:
等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;
等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.
3.方程:含未知数的等式,叫方程.
4.方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”!
5.移项:改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
6.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
7.一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
8.一元一次方程的最简形式: ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
9.一元一次方程解法的一般步骤: 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… (检验方程的解).
10.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:………… 多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
11.列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题: 距离=速度·时间
(2)工程问题: 工作量=工效·工时
(3)比率问题: 部分=全体·比率
(4)顺逆流问题: 顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题: 售价=定价·折·
(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab, C形=4a,
S形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ,V体=a3,V圆柱=πR2h ,V圆锥=
二元一次方程组
1.二元一次方程:含有两个未知数,并且含未知数项的次数是1,这样的方程是二元一次方程.注意:一般说二元一次方程有无数个解.
2.二元一次方程组:两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.
3.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程,左右两边都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解.注意:一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解).
4.二元一次方程组的解法:
(1)代入消元法;(2)加减消元法;
(3)注意:判断如何解简单是关键.
※5.一次方程组的应用:
(1)对于一个应用题设出的未知数越多,列方程组可能容易一些,但解方程组可能比较麻烦,反之则“难列易解”;
(2)对于方程组,若方程个数与未知数个数相等时,一般可求出未知数的值;
(3)对于方程组,若方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可以求出任何两个未知数的关系.
一元一次不等式(组)
1.不等式:用不等号“>”“<”“≤”“≥”“≠”,把两个代数式连接起来的式子叫不等式.
2.不等式的基本性质:
不等式的基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;
不等式的基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式的基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.
3.不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解;不等式所有解的集合,叫做这个不等式的解集.
4.一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于零的不等式,叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b>0或ax+b<0 ,(a≠0).
5.一元一次不等式的解法:一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似,但一定要注意不等式性质3的应用;注意:在数轴上表示不等式的解集时,要注意空圈和实点.
6.一元一次不等式组:含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组;注意:ab>0
ab<0
7.一元一次不等式组的解集与解法:所有这些一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集;解一元一次不等式时,应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴确定这个不等式组的解集.
8.一元一次不等式组的解集的四种类型:设 a>b
9.几个重要的判断:
几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
1. 角平分线的定义: 一条射线把一个角分成两个相等的部分,这条射线叫角的平分线.(如图) | 几何表达式举例: (1) ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC (2) ∵∠AOC=∠BOC ∴OC是∠AOB的平分线 | ||||||
2.线段中点的定义: 点C把线段AB分成两条相等的线段,点C叫线段中点.(如图) | 几何表达式举例: (1) ∵C是AB中点 ∴ AC = BC (2) ∵AC = BC ∴C是AB中点 | ||||||
3.等量公理:(如图) (1)等量加等量和相等;(2)等量减等量差相等; (3)等量的等倍量相等;(4)等量的等分量相等. (1) (2) (3) (4) | 几何表达式举例: (1) ∵AC=DB ∴AC+CD=DB+CD 即AD=BC (2) ∵∠AOC=∠DOB ∴∠AOC-∠BOC=∠DOB-∠BOC 即∠AOB=∠DOC (3) ∵∠BOC=∠GFM 又∵∠AOB=2∠BOC ∠EFG=2∠GFM ∴∠AOB=∠EFG (4) ∵AC= 又∵AB=EF ∴AC=EG | ||||||
4.等量代换: | 几何表达式举例: ∵a=c b=c ∴a=b | 几何表达式举例: ∵a=c b=d 又∵c=d ∴a=b | 几何表达式举例: ∵a=c+d b=c+d ∴a=b | ||||
5.补角重要性质: 同角或等角的补角相等.(如图) | 几何表达式举例: ∵∠1+∠3=° ∠2+∠4=° 又∵∠3=∠4 ∴∠1=∠2 | ||||||
6.余角重要性质: 同角或等角的余角相等.(如图) | 几何表达式举例: ∵∠1+∠3=90° ∠2+∠4=90° 又∵∠3=∠4 ∴∠1=∠2 | ||||||
7.对顶角性质定理: 对顶角相等.(如图) | 几何表达式举例: ∵∠AOC=∠DOB ∴ …………… | ||||||
8.两条直线垂直的定义: 两条直线相交成四个角,有一个角是直角,这两条直线互相垂直.(如图) | 几何表达式举例: (1) ∵AB、CD互相垂直 ∴∠COB=90° (2) ∵∠COB=90° ∴AB、CD互相垂直 | ||||||
9.三直线平行定理: 两条直线都和第三条直线平行,那么,这两条直线也平行.(如图) | 几何表达式举例: ∵AB∥EF 又∵CD∥EF ∴AB∥CD | ||||||
10.平行线判定定理: 两条直线被第三条直线所截: (1)若同位角相等,两条直线平行;(如图) (2)若错角相等,两条直线平行;(如图) (3)若同旁角互补,两条直线平行.(如图) | 几何表达式举例: (1) ∵∠GEB=∠EFD ∴ AB∥CD (2) ∵∠AEF=∠DFE ∴ AB∥CD (3) ∵∠BEF+∠DFE=° ∴ AB∥CD | ||||||
11.平行线性质定理: (1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;(如图) (2)两条平行线被第三条直线所截,错角相等;(如图) (3)两条平行线被第三条直线所截,同旁角互补.(如图) | 几何表达式举例: (1) ∵AB∥CD ∴∠GEB=∠EFD (2) ∵AB∥CD ∴∠AEF=∠DFE (3) ∵AB∥CD ∴∠BEF+∠DFE=° | ||||||
几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一 、基本概念:
直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、错角、同旁角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明.
二 、 定理:
1.直线公理:过两点有且只有一条直线.
2.线段公理:两点之间线段最短.
3.有关垂线的定理:
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短.
4.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
三 、公式:
直角=90°,平角=°,周角=360°,1°=60′,1′=60″.
四 、常识:
1.定义有双向性,定理没有.
2.直线不能延长;射线不能正向延长,但能反向延长;线段能双向延长.
3.命题可以写为“如果………那么………”的形式,“如果………”是命题的条件,“那么………” 是命题的结论.
4.几何画图要画一般图形,以免给题目附加没有的条件,造成误解.
5.数射线、线段、角的个数时,应该按顺序数,或分类数.
6.几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析.
7.方向角:
(1) (2)
8.比例尺:比例尺1:m中,1表示图上距离,m表示实际距离,若图上1厘米,表示实际距离m厘米.
9.几何题的证明要用“论证法”,论证要求规、严密、有依据;证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论.