江苏省南京师范大学附属中学2019届高三5月模拟

数学试题

2019．5

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝word/media/image2.gif，B＝word/media/image3.gif，则Aword/media/image4.gifB＝ ．

答案：{0，1}

考点：集合的运算

解析：∵A＝word/media/image2.gif

∴A＝{﹣1，0，1}

∵B＝word/media/image3.gif

∴Aword/media/image4.gifB＝{0，1}

2．已知复数z＝(1＋2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部与虛部相等，则实数a的值为 ．

答案：﹣3

考点：复数的运算

解析：z＝(1＋2i)(a＋i)＝a﹣2＋(2a＋1)i

由z的实部与虛部相等得：a﹣2＝2a＋1，解得a的值为﹣3．

3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 ．

答案：18

考点：系统抽样方法

解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18．

4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 ．

答案：word/media/image5.gif

考点：古典概型

解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有2种情况，所以P＝word/media/image6.gif＝word/media/image5.gif．

5．函数word/media/image7.gif的定义域为 ．

答案：[0，1)

考点：函数的定义域

解析：由题意得：word/media/image8.gif，解得0≤x＜1，所以函数的定义域为[0，1)．

6．下图是一个算法流程图，则输出的k的值为 ．

答案：3

考点：算法初步

解析：n取值由13→6→3→1，与之对应的k为0→1→2→3，所以当n取1时，k是3．

7．若正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥P—BCC1B1的体积为 ．

答案：word/media/image11.gif

考点：棱锥的体积

解析：由于AA1∥平面BCC1B1，所以点P到平面BCC1B1的距离就是点A1到平面BCC1B1的距离为word/media/image12.gif，所以VP—BCC1B1＝word/media/image13.gif＝word/media/image11.gif．

8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：word/media/image14.gif上，且在第四象限内．已知曲线C在点P处的切线为word/media/image15.gif，则实数b的值为 ．

答案：﹣13

考点：函数的切线

解析：∵word/media/image14.gif

∴word/media/image16.gif

∵曲线C在点P处的切线为word/media/image15.gif

∴word/media/image17.gif

∵P在第四象限

∴x＝2，求得y＝﹣9

∴b＝﹣9﹣2×2＝﹣13

9．已知函数word/media/image18.gif (0＜word/media/image19.gif＜word/media/image20.gif)是定义在R上的奇函数，则word/media/image21.gif的值为 ．

答案：word/media/image22.gif

考点：三角函数的图像与性质

解析：word/media/image23.gif

∵word/media/image24.gif是定义在R上的奇函数

∴word/media/image25.gif，word/media/image26.gif Z，由0＜word/media/image19.gif＜word/media/image20.gif求得word/media/image27.gif

∴word/media/image28.gif，则word/media/image29.gif

10．如果函数word/media/image30.gif (m，nword/media/image31.gifR且m≥2，n≥0)在区间[word/media/image32.gif，2]上单调递减，那么mn的最大值为 ．

答案：18

考点：二次函数的性质

解析：当m＝2时，word/media/image33.gif，要使word/media/image24.gif在区间[word/media/image32.gif，2]上单调递减，则n＜8，此时mn＝2n无最大值，不符题意，舍去

当m＞2时，word/media/image30.gif是开口向上的抛物线，对称轴为x＝word/media/image34.gif，要使word/media/image24.gif在区间[word/media/image32.gif，2]上单调递减，则2≤word/media/image34.gif，即0≤n≤12﹣2m，所以mn≤m(12﹣2m)＝2m(6﹣m)≤word/media/image35.gif＝18，当且仅当m＝3取“＝”，所以mn的最大值为18．

11．已知椭圆word/media/image36.gif与双曲线word/media/image37.gif (a＞0，b＞0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P＝F1F2，则双曲线的离心率为 ．

答案：word/media/image38.gif

考点：圆锥曲线的定义、性质

解析：由题意得：F1P＝F1F2＝2，则PF2＝word/media/image39.gif，所以2a＝2﹣(word/media/image39.gif)＝4﹣word/media/image40.gif，则a＝2﹣word/media/image41.gif，所以e＝word/media/image42.gif＝word/media/image38.gif．

12．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：word/media/image43.gif上位于第一象限内的一点，已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为word/media/image44.gif，则点B的坐标为 ．

答案：(6，3)

考点：直线与圆

解析：设点B(word/media/image45.gif，word/media/image46.gif)，则ABword/media/image47.gif，求得点A到直线l的距离为word/media/image44.gif，又因为弦长为word/media/image44.gif，所以AB＝word/media/image48.gif，由word/media/image49.gif＝word/media/image48.gif求得word/media/image50.gifword/media/image51.gif，因为点B位于第一象限，所以word/media/image45.gif＝6（负值已舍去），故点B的坐标为(6，3)．

13．已知数列word/media/image52.gif的前n项和为word/media/image53.gif，word/media/image54.gif，word/media/image55.gif，word/media/image56.gif，则满足2019≤word/media/image57.gif≤3000的正整数m的所有取值为 ．

答案：20，21

考点：等差数列、等比数列前n项和

解析：当m为奇数时，word/media/image58.gif，显然word/media/image57.gif是单调递增的，又word/media/image59.gif，word/media/image60.gif，word/media/image61.gif，所以m取21符合题意；当m为偶数时，word/media/image62.gif，又word/media/image63.gif，word/media/image64.gif，word/media/image65.gif，所以m取20符合题意．综上所述，正整数m的所有取值为20，21．

14．已知等边三角形ABC的边长为2，word/media/image66.gif，点N、T分别为线段BC、CA上的动点，则word/media/image67.gif取值的集合为 ．

答案：{﹣6}

考点：平面向量的坐标运算

解析：建立如图所示的平面直角坐标系

则A(0，word/media/image12.gif)，B(﹣1，0)，C(1，0)

由word/media/image66.gif得M(word/media/image69.gif，word/media/image70.gif)，设N(n，0)，直线AC为：word/media/image71.gif，设T(t，word/media/image72.gif)

所以word/media/image73.gif，

word/media/image74.gif，

word/media/image75.gif

则word/media/image76.gif．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角word/media/image77.gif的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是word/media/image78.gif．

（1）求cos(word/media/image77.gif﹣word/media/image79.gif)的值；

（2）若以x轴正半轴为始边的钝角word/media/image80.gif的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为word/media/image81.gif，求word/media/image77.gif＋word/media/image80.gif的值．

解析：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是word/media/image83.gif，

所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝word/media/image83.gif.

从而cos α＝word/media/image84.gif＝word/media/image85.gif.(3分)

(1) cos(α－word/media/image86.gif)＝cos αcosword/media/image86.gif＋sin αsinword/media/image86.gif＝word/media/image85.gif×(－word/media/image87.gif)＋word/media/image83.gif×word/media/image87.gif＝－word/media/image88.gif.(6分)

(2) 因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－word/media/image88.gif，

所以cos β＝－word/media/image88.gif，从而sin β＝word/media/image89.gif＝word/media/image90.gif.(8分)

于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝word/media/image83.gif×(－word/media/image88.gif)＋word/media/image85.gif×word/media/image90.gif＝word/media/image87.gif.(10分)

因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(word/media/image91.gif，word/media/image92.gif)，(12分)

从而α＋β＝word/media/image86.gif.(14分)

16．（本小题满分14分）

如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝word/media/image41.gif，AF＝l，M是线段EF的中点．

（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求证：AM⊥平面BDF．

解析：证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE，

∵ 四边形ACEF是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC.

∵ O是正方形ABCD对角线的交点，[来源:学。科。网]

∴ O是AC的中点．

又点M是EF的中点，∴ EM∥AO，EM＝AO.

∴ 四边形AOEM是平行四边形，

∴ AM∥OE.(4分)

∵ OE平面BDE，AM平面BDE，

∴ AM∥平面BDE.(7分)

(2) ∵ 正方形ABCD，∴ BD⊥AC.

∵ 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD平面ABCD，

∴ BD⊥平面ACEF.(9分)

∵ AM平面ACEF，∴ BD⊥AM.(10分)

∵ 正方形ABCD，AD＝word/media/image96.gif，∴ OA＝1.

由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形．

∵ AF＝1，∴ 四边形AOMF是正方形，(11分)

∴ AM⊥OF.(12分)

又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF平面BDF，BD平面BDF，

∴ AM⊥平面BDF.(14分)

17．（本小题满分14分）

某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P、Q分別在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．己知AB长为40米，设∠BOP为2word/media/image98.gif．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形COPQ的周长为word/media/image99.gif，求word/media/image99.gif的表达式；

（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sinword/media/image98.gif的值．

解析：解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，word/media/image91.gif)．

在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得

PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分)

因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，

所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝20word/media/image96.gifcos θ.(4分)

所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋20word/media/image96.gifcos θ，

即f(θ)＝40＋20word/media/image96.gifcos θ，θ∈(0，word/media/image91.gif)．(7分)

(没写定义域，扣2分)

(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则

S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(word/media/image96.gifcos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，word/media/image91.gif)．(10分)

所以S′(θ)＝100(－word/media/image96.gifsin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－word/media/image96.gifsin θ＋2)，θ∈(0，word/media/image91.gif)．(12分)

令S′(t)＝0，得sin θ＝word/media/image101.gif.

列表：

答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为word/media/image101.gif.(14分)

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：word/media/image104.gif (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x＝﹣4和直线x＝﹣1相交于点M、N．试判断word/media/image105.gif是否为定值，并说明理由．

解析：解：(1) 依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝word/media/image107.gif，

所以椭圆C的标准方程为word/media/image108.gif＋word/media/image109.gif＝1.(4分)

(2) ① 因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交，

所以直线l一定存在斜率．(6分)

② 设直线l：y＝kx＋m，

由word/media/image110.gif得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.

由Δ＝(8km)2－4×(4k2＋3)×4(m2－3)＝0，

得4k2＋3－m2＝0　①.(8分)

把x＝－4代入y＝kx＋m，得M(－4，－4k＋m)，

把x＝－1代入y＝kx＋m，得N(－1，－k＋m)，(10分)

所以NF1＝|－k＋m|，

MF1＝word/media/image111.gif＝word/media/image112.gif　②，(12分)

由①式，得3＝m2－4k2　③，

把③式代入②式，得MF1＝word/media/image113.gif＝2|－k＋m|，

∴word/media/image114.gif＝word/media/image115.gif＝word/media/image116.gif，即word/media/image114.gif为定值word/media/image116.gif.(16分)

19．（本小题满分16分）

已知数列word/media/image52.gif满足word/media/image117.gif (word/media/image118.gif)，数列word/media/image119.gif的前n项和word/media/image120.gif (word/media/image118.gif)，且word/media/image121.gif，word/media/image122.gif．

（1）求数列word/media/image52.gif的通项公式；

（2）求数列word/media/image119.gif的通项公式；

（3）设word/media/image123.gif，记word/media/image124.gif是数列word/media/image125.gif的前n项和，求正整数m，使得对于任意的word/media/image118.gif均有word/media/image126.gif≥word/media/image124.gif．

解析：解：(1) ① a1＝2word/media/image127.gif＝2；(2分)

② 当n≥2时，an＝word/media/image128.gif＝word/media/image129.gif＝2n.

所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(4分)

(2) 由Sn＝word/media/image130.gif，得2Sn＝n(b1＋bn)　①，

所以2Sn－1＝(n－1)(b1＋bn－1)(n≥2)　②.

由②－①，得2bn＝b1＋nbn－(n－1)bn－1，n≥2，

即b1＋(n－2)bn－(n－1)bn－1＝0(n≥2)　③，

所以b1＋(n－3)bn－(n－2)bn－1＝0(n≥3)　④.

由④－③，得(n－2)bn－2(n－2)bn－1＋(n－2)bn－2＝0，n≥3，(6分)

因为n≥3，所以n－2>0，上式同除以(n－2)，得

bn－2bn－1＋bn－2＝0，n≥3，

即bn＋1－bn＝bn－bn－1＝…＝b2－b1＝1，

所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，

故bn＝n，n∈N*.(8分)

(3) 因为cn＝word/media/image131.gif－word/media/image132.gif＝word/media/image133.gif－word/media/image134.gif＝word/media/image134.gif [word/media/image135.gif－1]，(10分)

所以c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，c5<0.

记f(n)＝word/media/image135.gif，

当n≥5时，f(n＋1)－f(n)＝word/media/image136.gif－word/media/image135.gif＝－word/media/image137.gif<0，

所以当n≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n≥5时，f(n) word/media/image139.gif <1.

从而，当n≥5时，cn＝word/media/image134.gif [word/media/image135.gif－1]<0.(14分)

因此T1234，T4>T5>T6>…

所以对任意的n∈N*，T4≥Tn.

综上，m＝4.(16分)

(注：其他解法酌情给分)

20．（本小题满分16分）

设a为实数，已知函数word/media/image140.gif，word/media/image141.gif．

（1）当a＜0时，求函数word/media/image24.gif的单调区间；

（2）设b为实数，若不等式word/media/image142.gif对任意的a≥1及任意的x＞0恒成立，求b的取值范围；

（3）若函数word/media/image143.gif (x＞0，word/media/image144.gif R)有两个相异的零点，求a的取值范围．

解析：解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)>0；

当x>－1时，f′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)

(2) 由f(x)≥2x2＋bx，得axex≥2x2＋bx，由于x>0，

所以aex≥2x＋b对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．

由于ex>0，所以aex≥ex，所以ex－2x≥b对任意的x>0恒成立．(4分)

设φ(x)＝ex－2x，x>0，则φ′(x)＝ex－2，

所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，

所以φ(x)min＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，

所以b≤2－2ln 2.(6分)

(3) 由h(x)＝axex＋x＋ln x，得h′(x)＝a(x＋1)ex＋1＋word/media/image146.gif＝word/media/image147.gif，其中x>0.

① 若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)

② 若a<0时，令h′(x)＝0，得xex＝－word/media/image148.gif>0.

由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝ex－2x≥2－2ln 2>0，所以ex>2x，所以xex>2x2，所以当x>0时，函数xex的值域为(0，＋∞)．

所以存在x0>0，使得ax0ex0＋1＝0，即ax0ex0＝－1　①，

且当x0时，h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．

因为函数有两个零点x1，x2，

所以h(x)max＝h(x0)＝ax0ex0＋x0＋ln x0＝－1＋x0＋ln x0>0　②.

设φ(x)＝－1＋x＋ln x，x>0，则φ′(x)＝1＋word/media/image146.gif>0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．

由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x0>1.

又由①式，得x0ex0＝－word/media/image148.gif.

由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－word/media/image148.gif>e，

即a∈(－word/media/image149.gif，0)．(11分)

当a∈(－word/media/image149.gif，0)时，

(i) 由于h(word/media/image149.gif)＝word/media/image150.gif＋(word/media/image149.gif－1)<0，所以h(word/media/image149.gif)·h(x0)<0.

因为word/media/image149.gif<10，且函数h(x)在(0，x0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x0)上不间断，

所以函数h(x)在(0，x0)上恰有一个零点；(13分)

(ii) 由于h(－word/media/image148.gif)＝－e－word/media/image148.gif－word/media/image148.gif＋ln(－word/media/image148.gif)，令t＝－word/media/image148.gif>e，

设F(t)＝－et＋t＋ln t，t>e，

由于t>e时，ln t，et>2t，所以设F(t)<0，即h(－word/media/image148.gif)<0.

由①式，得当x0>1时，－word/media/image148.gif＝x0ex0>x0，且h(－word/media/image148.gif)·h(x0)<0，

同理可得函数h(x)在(x0，＋∞)上也恰有一个零点．

综上，a∈(－word/media/image149.gif，0)．(16分)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵A＝word/media/image151.gif，二阶矩阵B满足AB＝word/media/image152.gif.

(1) 求矩阵B；

(2) 求矩阵B的特征值．

解析：解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B＝A－1＝word/media/image151.gif.(5分)

(2) 矩阵B的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分)

令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分)

所以矩阵B的特征值为1或－1.(10分)

B. (选修44：坐标系与参数方程)

设a为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋word/media/image153.gif)＝1相切，求a的值．

解析：解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x2＋y2＝2ay，整理得x2＋(y－a)2＝a2.(3分)

将直线ρcos(θ＋word/media/image153.gif)＝1化成普通方程为x－y－word/media/image96.gif＝0.(6分)

因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即word/media/image154.gif＝a，(9分)

解得a＝2＋word/media/image96.gif.(10分)

C. (选修45：不等式选讲)

求函数y＝word/media/image155.gif＋word/media/image156.gif的最大值．

解析：解：因为(word/media/image155.gif＋word/media/image156.gif)2＝(word/media/image157.gif·word/media/image158.gif＋word/media/image156.gif·word/media/image159.gif)2

≤(3－3x＋3x＋2)( word/media/image160.gif＋1)＝word/media/image161.gif，(3分)

所以y＝word/media/image155.gif＋word/media/image156.gif≤word/media/image162.gif.(5分)

当且仅当word/media/image163.gif＝word/media/image164.gif，即x＝word/media/image165.gif∈[－word/media/image166.gif，1]时等号成立．(8分)

所以y的最大值为word/media/image162.gif.(10分)

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，点M为PC的中点．

(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为word/media/image167.gif，求λ的值．

解析：解：(1) 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD.

因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．

分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

因为点M为PC的中点，所以M(1，1，2)．

所以word/media/image169.gif＝(－1，1，2)，word/media/image170.gif＝(0，0，4)，(2分)

所以cos〈word/media/image170.gif，word/media/image169.gif〉＝word/media/image171.gif＝word/media/image172.gif＝word/media/image173.gif，(4分)

所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为word/media/image173.gif.(5分)

(2) 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则word/media/image174.gif＝(－1，λ－1，－2)，

word/media/image175.gif＝(0，2，0)，word/media/image176.gif＝(2，0，－4)．

设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则word/media/image177.gif即word/media/image178.gif

令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以m＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．(7分)

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为word/media/image167.gif，

所以|cos〈word/media/image174.gif，m〉|＝word/media/image179.gif＝word/media/image180.gif＝word/media/image167.gif，解得λ＝1∈[0，4]，

所以λ的值为1.(10分)

23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)．

(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；

(2) 求L(n)的表达式．

解析：解：(1) L(1)＝2，(1分)

L(2)＝6，(2分)

L(3)＝20.(3分)

(2) 设m为沿x轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m步才能回到y轴上，所以m＝0，1，2，……，[word/media/image181.gif](其中[word/media/image181.gif]为不超过word/media/image181.gif的最大整数)，

总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的n－m步中选m步沿x轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即Cword/media/image182.gif·Cword/media/image183.gif·2n－2m，

江苏省南师附中2019届高三年级5月模拟考试数学试题（解析版）