第一章 函数

一、知识结构：

二、例题：

判断题

1. 设, ,可以复合成一个函数；

2. 函数的定义域是且；

3. 函数在内无界；

4. 函数在内无界；

5. 是奇函数；

6. 与是相同函数 ；

7. 函数是奇函数；

8. 与是同一函数；

9. 函数是奇函数；

10. 函数的定义域是；

11. 与不是同一个函数；

12. 函数是偶函数 .

填空题

1. 设则复合函数为= _________；

2. 设, ,则= _______ ；

3. 复合函数是由 ________, ________, _______函数复合而成的；

4. 已知,则 __________ ；

5. ,其定义域为 __________ ；

6. 设函数,则= __________；

7. 考虑奇偶性,函数为 ___________ 函数 ；

8. 函数的反函数是 ,它的图象与的图象关于________ 对称 .

选择题

1. 函数的定义域是 ( )

(A) (B) (C) (D)

2. 函数在区间 内 ( )

(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减

3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )

(A) (B) (C) (D)

4. 已知函数，则的值为 ( )

(A) (B) (C) 1 (D) 2

第二章 极限与连续

一、知识结构：

二、例题：

判断题

1. 函数在点处有极限，则函数在点必连续；

2. 时,与是等价无穷小量；

3. 若，则必在点连续；

4. 当时，与相比是高阶无穷小；

5. 函数在内是单调的函数；

6. 设在点处连续，则；

7. 函数 在点连续；

8. 是函数的间断点；

9. 是一个无穷小量；

10. 当时，与是等价的无穷小量；

11. 若 存在，则在处有定义；

12. 若与是同一过程下两个无穷大量，则在该过程下是无穷小量；

13. 是一个复合函数；

14. ；

15. ；

16. 函数 在 点连续；

17. 是函数的间断点；

18. 以零为极限的变量是无穷小量；

填空题

1. _______ ；

2. = _______ ；

3. 函数 在 _______ 处间断；

4. = _______；

5. 当 时， 是比 ______ 阶的无穷小量；

6. 当 时， 若 与 是等价无穷小量，则 ______；

7. __________ ；

8. 设 连续，则 _________ ；

9. ___________ ；

10. ________；

11. _________ ；

12. 设 在 处________（是、否）连续；

13. 当时，与是______（同阶、等价）无穷小量.

选择题

1. 当时， 为 ( )

(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量

2. 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )

(A) (B) (C) (D)

3. 已知函数，则和 ( )

(A) 都存在 (B) 都不存在

(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在

4. 函数 的连续区间是 ( )

(A) (B) (C) (D)

5. 设 ，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

7. 函数 ，在 处 ( )

(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续

8. ( )

(A) 0 (B) 不存在 (C) (D) 1

9. 在点 处有定义，是在处连续的 ( )

(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件

10. 下列极限存在的有 ( )

(A) (B) (C) (D)

计算与应用题

1. 设 在点处连续，且，求 .

2. 求极限 :

(1) . (2) . (3). (4) .

(5) . (6) . (7) .

(8) . (9). (10)

3. 求极限 :

(1) . (2). (3).

(4). (5). (6).

(7) . (8). (9). (10)

第三章 导数与微分

一、知识结构：

二、例题：

判断题

1. 若函数在点可导，则；

2. 若在处可导，则 一定存在；

3. 函数 在其定义域内可导；

4. 若在上连续，则 在 内一定可导；

5. ；

6. 函数 在 点可导；

7. 若 则 ；

8. ；

9. 若 在 点不可导，则 在 不连续；

10. 函数 在点 处不可导 .

填空题

1. ，则 _________ ；

2. 曲线 在点 处的切线方程是 ________ ；

3. 设，则 = ______ ；

4. ， _______ ；

5. 设 ，则 = ________ ；

6. 设 ，则 = ________ ；

7. 曲线 在点 的处的切线方程是_______；

8. 若 与 在 处可导，则 = _________ ；

9. = _______；

10. 设 在 处可导，且，则用A的代数式表示为_______ ；

11. 导数的几何意义为 ________________________ ；

12. 曲线 在 处的切线方程是 ___________ ；

13. 曲线 在 处的切线方程是 ___________ ；

14. 函数 的微分 __________ ；

15. 曲线 在点处切线方程是_________ ；

16. 的近似值是 _________ ；

17. ( 是正整数)的 阶导数是 ________ .

选择题

1. 设在点处可导，则下列命题中正确的是 ( )

(A)存在 (B)不存在

(C)存在 (D)不存在

2. 设在点处可导且，则等于 ( )

(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –2

3. 设 ，则在点= 0 处 ( )

(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义

4. 设 可导，则 = ( )

(A) (B)

(C) (D)

5. 设 ，且 存在，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

6. 函数，则 ( )

(A) (B)

(C) (D)

7. 函数的导数为 ( )

(A) (B) (C) (D)

8. 函数在处连续，是 在 处可导的 ( )

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

9. 已知 ，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

10. 函数 在 处 ( )

(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导

(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导

11. 函数 ，在 处 ( )

(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续

12. 设 ，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

13. 函数 ，在点 不连续是因为 ( )

(A) (B)

(C)不存在 (D)不存在

14. 设 ，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

15. 已知函数 ，则（ ）

(A) (B) (C) (D)

16. 设 ，则 在处（ ）

(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续

(C) 连续但不可导 (D) 可导

17. 已知 ，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

计算与应用题

1. 设 f(x) = (), 求

2. 设 确定 是 的函数，求

3. 设 ，求

4. 设，求

5. 设 确定 是 的函数，求

6. 设，求

7. y , 求 及

8. ，求及

9. ，求，并求其在点处的切线与法线方程.

10. ，求 及

11. ，求 及

12. ，求，并求其在点处的切线与法线方程.

13. 已知，求

14. 设， 求

15. 求 的微分

16. 设，求

17. 设 ，求

18. 方程 确定 是 的函数，求

19. 设 ，求

20. 方程 确定 是 的函数，求

21. ，求

22. ，求

23. 已知 ，求

24. 设 ，求

25. 已知 ，求

26. 求 的微分

第四章 函数

一、知识结构：

二、例题：

判断题

1. 曲线在是下凹的，在是上凹的；

2. 是在上的极小值点；

3. 曲线在点没有切线；

4. 函数可导，极值点必为驻点；

5. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；

6. 是曲线的拐点；

7若，，则是的极大值；

8.函数在上满足拉格朗日定理；

9.若是函数的极值点，则；

10. 函数在上的极大值一定大于极小值；

11. 当很小时，；

12. ；

13. 曲线 的拐点是；

14. 函数 在 点处取得极大值，则 或不存在；

15. 是可导函数在点处取得极值的充要条件；

16. 曲线 没有拐点；

17. 设，其中函数在处可导，则 ；

18. 因为 在区间内连续，所以在内 必有最大值；

填空题

1. （ 为正整数）= ________ ；

2. 设在点 处取得极小值，则 = _______ ；

3. 设 在 是上凹的，则 = ______ ；

4. 若函数 在区间 内恒有，则曲线 在 内的凹向是_______；

5. 若，则曲线 的拐点横坐标是 ______ ；

6. 函数在上满足罗尔中值定理的______ ；

7. 函数在上满足拉格朗日中值定理的 __________ ；

选择题

1. 函数 在区间 上满足罗尔定理的 ( )

(A) 0 (B) (C) (D) π

2. 函数 在点 处取得极大值，则必有（ ）

(A) (B)

(C)且 (D)或不存在

计算与应用题

1. 求极限：

(1); (2); (3); (4).

2. 设某产品价格与销量的关系为（为销量），求：

(1) 销量为 30 时的总收益；

(2) 销量为 30时的平均收益；

(3) 销量为 30时的边际收益；

3、设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是

(1) 求边际利润函数；

(2) 当产量分别200公斤，250 公斤和 300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。

4. 某商品的成本函数 为，求：

(1) 时的总成本，平均成本及边际成本；

(2) 产量 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。

(3) 求平均成本最小时,价格上涨一个单位,成本的增加为多少?

5.给定函数，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。

证明题

1.证明当时，

2．证明当时，；

3. 证明当时，

第五章 不定积分

一、知识结构：

二、例题：

判断题

1. ；

2. ；

3. 若 可导，则 ；

4. 是 的一个原函数；

5. 若 则 ；

6. 设且,则；

7. ；

填空题

1. ____ ；

2. 设 是 的一个原函数，则 = _____；

3. ______ ；

4. _______ ；

5. 函数 ________ 的原函数是 ；

6. 若 ，则 ______ ；

7. = ；

选择题

1. 若 ，则必有 ( )

(A) (B)

(C) (D)

2. 设，则 ( )

(A) 为常数 (B) 为常数

(C) (D)

3. 下列等式中，正确的是 ( )

(A) (B)

(C) (D)

4. 已知函数 ，则 的所有原函数是 ( )

(A) (B) (C) (D)

5. 下列计算过程正确的是 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

6. 若 ，则 ( )

(A) (B) (C) (D)

计算与应用题

1 dx 2 dx

3 dx 4 dx

5 dx 6 dx

7 dx 8

9 dx 10

11 dx 12

13 dx 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24 25

高等数学各章总结