[精品]黑龙江省近两年(2018,2019)高考文科数学试卷以及答案(word解析版)
发布时间:2019-07-19 16:55:38
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黑龙江省2018年高考文科数学试卷
本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合,则
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为
4.已知向量,满足,,则
A.4 B.3 C.2 D.0
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中2人都是女同学的概率为
A. B. C. D.
6.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为
A. B. C. D.
7.在中,,,,则
A. B. C. D.
8.为计算,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入
A.
B.
C.
D.
9.在长方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为
A. B. C. D.
10.若在是减函数,则的最大值是
A. B. C. D.
11.已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为
A. B. C. D.
12.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则
A. B.0 C.2 D.50
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.若满足约束条件则的最大值为__________.
15.已知,则__________.
16.已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;(2)求,并求的最小值.
18.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12分)如图,在三棱锥中,,
,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.
20.(12分)
设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
21.(12分)已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)证明:只有一个零点.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;(2)若,求的取值范围.
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黑龙江省2018年高考文科数学试卷答案解析
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A
7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.C
二、填空题
13.y=2x–2 14.9 15. 6.8π
三、解答题
17.解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
20.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
,故.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.
21.解:
(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=.
令f ′(x)=0解得x=或x=.
当x∈(–∞,)∪(,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(,+∞)单调递增,在(,)单调递减.
(2)由于,所以等价于.
设=,则g ′(x)=≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
【注】因为,,所以,.
综上,f(x)只有一个零点.
22.解:
(1)曲线的直角坐标方程为.
当时,的直角坐标方程为,
当时,的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.
又由①得,故,于是直线的斜率.
23.解:
(1)当时,
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
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黑龙江省2019年高考文科数学试卷
本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={x|x>﹣1},B={x|x<2},则A∩B=( )
A.(﹣1,+∞) B.(﹣∞,2) C.(﹣1,2) D.∅
2.(5分)设z=i(2+i),则=( )
A.1+2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i
3.(5分)已知向量=(2,3),=(3,2),则|﹣|=( )
A. B.2 C.5 D.50
4.(5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
5.(5分)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
6.(5分)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex﹣1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e﹣x﹣1 B.e﹣x+1 C.﹣e﹣x﹣1 D.﹣e﹣x+1
7.(5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
8.(5分)若x1=,x2=是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 B. C.1 D.
9.(5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
10.(5分)曲线y=2sinx+cosx在点(π,﹣1)处的切线方程为( )
A.x﹣y﹣π﹣1=0 B.2x﹣y﹣2π﹣1=0
C.2x+y﹣2π+1=0 D.x+y﹣π+1=0
11.(5分)已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )
A. B. C. D.
12.(5分)设F为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最大值是 .
14.(5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
15.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .
16.(5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E﹣BB1C1C的体积.
18.(12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.
19.(12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 | [﹣0.20,0) | [0,0.20) | [0.20,0.40) | [0.40,0.60) | [0.60,0.80) |
企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:≈8.602.
20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣1)lnx﹣x﹣1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.
(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
黑龙江省2019年高考文科数学试卷答案解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.【分析】直接利用交集运算得答案.
【解答】解:由A={x|x>﹣1},B={x|x<2},
得A∩B={x|x>﹣1}∩{x|x<2}=(﹣1,2).
故选:C.
【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.
2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案.
【解答】解:∵z=i(2+i)=﹣1+2i,
∴=﹣1﹣2i,
故选:D.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
3.【分析】利用向量的坐标减法运算求得的坐标,再由向量模的公式求解.
【解答】解:∵=(2,3),=(3,2),
∴=(2,3)﹣(3,2)=(﹣1,1),
∴||=.
故选:A.
【点评】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量模的求法,是基础题.
4.【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为,恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2,从未测的选1,组合数为.即可得出概率.
【解答】解:由题意,可知:
根据组合的概念,可知:
从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为,
恰有2只测量过该指标的所有情况数为.
∴p==.
故选:B.
【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识,本题属基础题.
5.【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
【解答】解:由题意,可把三人的预测简写如下:
甲:甲>乙.
乙:丙>乙且丙>甲.
丙:丙>乙.
∵只有一个人预测正确,
∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意.
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确,
则有丙>乙,乙>甲,
∵乙预测不正确,而丙>乙正确,
∴只有丙>甲不正确,
∴甲>丙,这与丙>乙,乙>甲矛盾.
不符合题意.
∴只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,
甲>乙,乙>丙.
故选:A.
【点评】本题主要考查合情推理,因为只有一个人预测正确,所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾.从而得出正确结果.本题属基础题.
6.【分析】设x<0,则﹣x>0,代入已知函数解析式,结合函数奇偶性可得x<0时的f(x).
【解答】解:设x<0,则﹣x>0,
∴f(﹣x)=e﹣x﹣1,
∵设f(x)为奇函数,∴﹣f(x)=e﹣x﹣1,
即f(x)=﹣e﹣x+1.
故选:D.
【点评】本题考查函数的解析式即常用求法,考查函数奇偶性性质的应用,是基础题.
7.【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论
【解答】解:对于A,α内有无数条直线与β平行,α∩β或α∥β;
对于B,α内有两条相交直线与β平行,α∥β;
对于C,α,β平行于同一条直线,α∩β或α∥β;
对于D,α,β垂直于同一平面,α∩β或α∥β.
故选:B.
【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理,考查了推理能力,属于基础题.
8.【分析】x1=,x2=是f(x)两个相邻的极值点,则周期T=2()=,然后根据周期公式即可求出.
【解答】解:∵x1=,x2=是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,
∴T=2()==
∴ω=2,
故选:A.
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,关键是根据条件得出周期,属基础题.
9.【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得.
【解答】解:由题意可得:3p﹣p=()2,解得p=8.
故选:D.
【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质,属基础题.
10.【分析】求出原函数的导函数,得到函数在x=π时的导数,再由直线方程点斜式得答案.
【解答】解:由y=2sinx+cosx,得y′=2cosx﹣sinx,
∴y′|x=π=2cosπ﹣sinπ=﹣2,
∴曲线y=2sinx+cosx在点(π,﹣1)处的切线方程为y+1=﹣2(x﹣π),
即2x+y﹣2π+1=0.
故选:C.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,熟记基本初等函数的导函数是关键,是基础题.
11.【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα=2cos2α,结合角的范围可求sinα>0,cosα>0,可得cosα=2sinα,根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值.
【解答】解:∵2sin2α=cos2α+1,
∴可得:4sinαcosα=2cos2α,
∵α∈(0,),sinα>0,cosα>0,
∴cosα=2sinα,
∵sin2α+cos2α=sin2α+(2sinα)2=5sin2α=1,
∴解得:sinα=.
故选:B.
【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.
12.【分析】由题意画出图形,先求出PQ,再由|PQ|=|OF|列式求C的离心率.
【解答】解:如图,
由题意,把x=代入x2+y2=a2,得PQ=,
再由|PQ|=|OF|,得,即2a2=c2,
∴,解得e=.
故选:A.
【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图:
化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z,由图可知,当直线y=3x﹣z过A(3,0)时,
直线在y轴上的截距最小,z有最大值为9.
故答案为:9.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
14.【分析】利用加权平均数公式直接求解.
【解答】解:∵经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,
有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,
∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为:
=(10×0.97+20×0.98+10×0.99)=0.98.
故答案为:0.98.
【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法,考查加权平均数公式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于基础题.
15.【分析】由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB+sinAcosB=0,由于sinA>0,化简可得tanB=﹣1,结合范围B∈(0,π),可求B的值为.
【解答】解:∵bsinA+acosB=0,
∴由正弦定理可得:sinAsinB+sinAcosB=0,
∵A∈(0,π),sinA>0,
∴可得:sinB+cosB=0,可得:tanB=﹣1,
∵B∈(0,π),
∴B=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,特殊角的三角函数值在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
16.【分析】中间层是一个正八棱柱,有8个侧面,上层是有8+1,个面,下层也有8+1个面,故共有26个面;半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45=倍.
【解答】解:该半正多面体共有8+8+8+2=26个面,设其棱长为x,则x+x+x=1,解得x=﹣1.
故答案为:26,﹣1.
【点评】本题考查了球内接多面体,属中档题.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.【分析】(1)由线面垂直的性质可得B1C1⊥BE,结合BE⊥EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE⊥平面EB1C1;
(2)由条件可得AE=AB=3,然后得到E到平面BB1C1C的距离d=3,在求四棱锥的体积即可.
【解答】解:(1)证明:由长方体ABCD﹣A1B1C1D1,可知
B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,
∴B1C1⊥BE,
∵BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,
∴BE⊥平面EB1C1;
(2)由(1)知∠BEB1=90°,由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,
∴∠AEB=∠A1EB1=45°,∴AE=AB=3,AA1=2AE=6,
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1∥平面BB1C1C,E∈AA1,AB⊥平面BB1C1C,
∴E到平面BB1C1C的距离d=AB=3,
∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质,考查了四棱锥体积的求法,属中档题.
18.【分析】(1)设等比数列的公比,由已知列式求得公比,则通项公式可求;
(2)把(1)中求得的{an}的通项公式代入bn=log2an,得到bn,说明数列{bn}是等差数列,再由等差数列的前n项和公式求解.
【解答】解:(1)设等比数列的公比为q,
由a1=2,a3=2a2+16,得2q2=4q+16,
即q2﹣2q﹣8=0,解得q=﹣2(舍)或q=4.
∴;
(2)bn=log2an=,
∵b1=1,bn+1﹣bn=2(n+1)﹣1﹣2n+1=2,
∴数列{bn}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
则数列{bn}的前n项和.
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和,考查对数的运算性质,是基础题.
19.【分析】(1)根据频数分布表计算即可;
(2)根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可.
【解答】解:(1)根据产值增长率频数表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为:
=0.21=21%,
产值负增长的企业频率为:=0.02=2%,
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%;
(2)企业产值增长率的平均数﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7=0.3=30%,
产值增长率的方程s2=
=[(﹣0.4)2×2+(﹣0.2)2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]
=0.0296,
∴产值增长率的标准差s=≈0.17,
∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
【点评】本题考查了样本数据的平均值和方程的求法,考查运算求解能力,属基础题.
20.【分析】(1)根据△POF2为等边三角形,可得在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,在根据直角形和椭圆定义可得;
(2)根据三个条件列三个方程,解方程组可得b=4,根据x2=(c2﹣b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4,
【解答】解:(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,
故曲线C的离心率e==﹣1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当:|y|•2c=16,
•=﹣1,+=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
+=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4,
由②③得x2=(c2﹣b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4,
当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).
【点评】本题考查了双曲线的性质,属中档题.
21.【分析】(1)推导出f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx﹣,从而f′(x)单调递增,进而存在唯一的x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.由此能证明f(x)存在唯一的极值点.
(2)由f(x0)<f(1)=﹣2,f(e2)=e2﹣3>0,得到f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一的根x=a,由a>x0>1,得,从而是f(x)=0在(0,x0)的唯一根,由此能证明f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
【解答】证明:(1)∵函数f(x)=(x﹣1)lnx﹣x﹣1.
∴f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)==lnx﹣,
∵y=lnx单调递增,y=单调递减,∴f′(x)单调递增,
又f′(1)=﹣1<0,f′(2)=ln2﹣=>0,
∴存在唯一的x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.
当x<x0时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x>x0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)存在唯一的极值点.
(2)由(1)知f(x0)<f(1)=﹣2,
又f(e2)=e2﹣3>0,
∴f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一的根x=a,
由a>x0>1,得,
∵f()=()ln﹣==0,
∴是f(x)=0在(0,x0)的唯一根,
综上,f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
【点评】本题考查函数有唯一的极值点的证明,考查函数有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数的证明,考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识,考查化归与转化思想、函数与方程思想,考查运算求解能力,是中档题.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.【分析】(1)把θ0=直接代入ρ=4sinθ即可求得ρ0,在直线l上任取一点(ρ,θ),利用三角形中点边角关系即可求得l的极坐标方程;
(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,根据边与角的关系得答案.
【解答】解:(1)当θ0=时,,
在直线l上任取一点(ρ,θ),则有,
故l的极坐标方程为有;
(2)设P(ρ,θ),则在Rt△OAP中,有ρ=4cosθ,
∵P在线段OM上,∴θ∈[,],
故P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈[,].
【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用,画图能够起到事半功倍的作用,是基础题.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.【分析】(1)将a=1代入得f(x)=|x﹣1|x+|x﹣2|(x﹣1),然后分x<1和x≥1两种情况讨论f(x)<0即可;
(2)根据条件分a≥1和a<1两种情况讨论即可.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|x+|x﹣2|(x﹣1),
∵f(x)<0,∴当x<1时,f(x)=﹣2(x﹣1)2<0,恒成立,∴x<1;
当x≥1时,f(x)=(x﹣1)(x+|x﹣2|)≥0恒成立,∴x∈∅;
综上,不等式的解集为(﹣∞,1);
(2)当a≥1时,f(x)=2(a﹣x)(x﹣1)<0在x∈(﹣∞,1)上恒成立;
当a<1时,x∈(a,1),f(x)=2(x﹣a)>0,不满足题意,
∴a的取值范围为:[1,+∞)
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想,属中档题.