常用微积分公式

基本枳分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响枳 分的能力，应熟记一些常用的积分公式.

因为求不左积分是求导数的逆运算，所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。

严;Y=C（C为常数）

|'产必=_1_疋+1 十 £ (q M _1)

J Q十1

0仏二丄护十f (o >0,dl)

J Ina

sin xdx = 一cosx^c

(9)

ax = arc sm x ■+• c

(10)」Jl - F

=-arccos x + c

a dx

T = arcigx 十 c

(11) J1 十 x

=-arcctgx + c

对这些公式应正确熟记•可根据它们的特点分类来记.

公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数J

公式（2）、（3）为幕函数卩=於的积分，应分为。工一1与O = T.

当0工一1时，J Q十1 ,

积分后的函数仍是泵函数，而且幕次升髙一次.

特别当"0时，有严宀严毎宀

当 0 = —1 时，J ]x 1 1

公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 3）'=小加化 故必 冷 十& （Q>0, 2 H1）式右边的加Q是在分母，不在分子，应记淸.

y = QV是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数；指数函数 是底为常数，幕为变量•要加以区别，不要混淆•它们的不立积分所采用的公式不同.

公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会 增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分

公式（11）是一个关于有理函数的枳分

T dx = arctgx + c = -arcctgx 十 c

1十/ " "

下而结合恒等变化及不立积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求 不泄积分.

例1求不酬分严一徭

分析：该不左积分应利用幕函数的积分公式.

解:

22 |

=X

5 （ °为任意常数）

例2求不左积分打十x

分析：先利用恒等变换'”加一减一S将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的 形式.

丄,一 W十丄

解：由于1十/ 1十X 1十X ,所以

訂宀“去冲叮念 W 占心

=—一卄 arcigx + 亡

3（ °为任意常数）

2 2

例3求不泄积分W存畑

2 2

分析：将 仏按三次方公式展开，再利用幕函数求积公式.

解：畑=问

42 2 4

-3门存+3/存-，)么

=/怦一护j存必十3"

十

3

T -5

X

2 -3

a

9 - 7

十

5 -3

X

4 -3

Q

9 - 5

（C为任意常数）

fees2 —dx

例4求不上枳分」 2

分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.

A 2 A , *1 + COS X ,

I cos —ax = dx

解：J 2 J 2

（c为任意常数）

例5求不定积分阿妙

分析：基本积分公式表中只有代T…纠七

2

但我们知道有三角恒等式：sec x=^ " + 1

竿 pg 2 xdx = J(sec2 x -

=pec2 =zgX-x + c

（。为任意常数）

同理我们有:

Jc^g2 xdx = J (esc2 x 一 X)dx

= Jc$c 兀必- jdx - "C/gX " x +1?

（'为任意常数）

（'为任意常数）

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