积化和差与和差化积公式

田云江

[基本要求]

　 能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。

[知识要点]

　 1、积化和差公式：

　 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]

　 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]

　 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

　 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

　 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个：

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

　 2、和差化积公式

　 sinθ+sinφ=2sincos

　 sinθ-sinφ=2cossin

　 cosθ+cosφ=2coscos

　 cosθ-cosφ=-2sinsin

　 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：

　 ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos

　 ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

　 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

　 ④合一变形也是一种和差化积。

　 ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

　 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

[例题选讲]

　 1、求下列各式的值

　 ①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°

　 ②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°

　 ③csc40°+ctg80°

　 ④cos271°+cos71°cos49°+cos249°

　 解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°

　　　 =+cos80°+2cos100°cos60°

　　　 =+cos80°-cos80°=

　　　 ②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°

　　　 =2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)

　　 　 =sin22°+-sin22°=

　　　 ③csc40°+ctg80°=+

　　　 ===　

　　　 ==

　　　 ==2cos30°=

　　　 ④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°

　　　 =(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°

　　　 =(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)

　　　 =cos211°+-cos22°

　　　 =cos211°+-(2cos211°-1)

　　　 =cos211°+-cos211°+=

　　　 解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°

　　　 =+(cos120°+cos22°)+

　　　 =+cos142°-+cos22°++

　　　 =+(cos142°+cos98°)++cos22°

　　　 =+cos120°cos22°+cos22°=

　　　 解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°

　　　 y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°

　　　 则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)

　　　　　　 =2+cos22°

　　　 x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°)

　　　　　 =cos142°+cos120°+cos98°

　　　　　 =-+(cos142°+cos98°)

　　　　　 =-+2cos120°cos22°

　　　　　 =--cos22°

　　　 联立二式得x=

　 2、已知sinα+sinβ=　 cosα+cosβ=

求tgαtgβ的值

　 解：

　 ①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=　 ∴cos(α-β)=

　 ②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-

　 ∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-

　 ∴2·cos(α+β)+2cos(α+β)=-

　 ∴cos(α+β)=-

　 又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=

　 cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-

　 ∴tgαtgβ==-=-

　 3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1　 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()=+4

　 (1)求a、b的值

　 (2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。

　 解：(1)∵f(x)=sin(ωx+φ)+1

　 ∴=π

　 1+=7

　 由条件asin+bcos+1=+4

　 ∴a=　 b=6

　 (2)由

　 两式相减得 a(sin2α-sin2β)+b(cos2α-cos2β)=0

　 2a[sin(α-β)cos(α+β)]+2b[-sin(α+β)sin(α-β)]=0

　 ∵α≠kπ+β (k∈z)　 ∴α-β≠kπ　 (k∈z)

　 ∴acos(α+β)-bsin(α+β)=0

　 ∴tg(α+β)===

　 4、求函数y=cos2xcos(2x+) (0≤x≤)的最值

　 解：y=cos2xcos(2x+)

　　　　 =[cos(4x+)+cos(-)]

　　　　 =cos(4x+)+

　 ∵0≤x≤　　 ∴≤4x+≤

　 ∴-1≤cos(4x+)≤

　 ∴-+≤y≤

　 ∴ymax= ,ymin=

[自我检测]

　 1、sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ]可化简为（　 ）

　 A、sinβ　　　 B、cosβ　　　 C、sinα　　　 D、cosα

　 2、已知cos(α+β)cos(α-β)=则cos2α-sin2β的值为（　 ）

　 A、-　　　 B、-　　　 C、　　　 D、

　 3、在△ABC中，若B=30°则cosAsinC的取值范围（　 ）

　 A、[-1，1]　　　 B、[- ，]　　　 C、[- ，]　　　 D、[- ，]

　 4、函数y=sin(2x+α)cos(2x-α),(α为常数)的最小正周期是（　 ）

　 A、　　　 B、π　　　 C、2π　　　 D、4π

　 5、设m=||,n=|sin|,则m、n的大小关系是（　 ）

　 A、m≤n　　　 B、m≥n　　　 C、m=n　　　 D、不能确定

　 6、若sinα+sinβ=(cosβ-cosα)且α∈(0,π),β∈(0,π)则α-β等于（　 ）

　 A、-　　　 B、-　　　 C、　　　 D、

　 7、函数f(x)=sinxcos(x-)的最小值是（　 ）

　 A、　　　 B、　　　 C、- 　　　 D、- 

　 8、sin25°+cos35°cos25°的值是（　 ）

　 A、　　　 B、　　　 C、- 　　　 D、

　 9、已知函数y=asinx+cosx的最大值为，则a的值为（　 ）

　 A、-1　　　 B、　　　 C、±3　　　 D、±2

　 10、若sinx-cosx=2sin(x+φ)，φ∈[0，2π）则角φ等于（　 ）

　 A、　　　 B、π　　　 C、　　　 D、

[参考答案]

　 1、原式=sin(α+β)cosα- 2cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ　 ∴选A。

　 2、cos(α+β)cos(α-β)={[cos(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]}

　 =[cos2α+cos2β]=[2cos2α-1+1-2sin2β]=cos2α-sin2β

　 ∴选C.

　 3、cosAcosC=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(π-B)-sin(A-C)]

　 =-sin(A-C)

　 ∵-1≤sin(A-C)≤1

　 ∴-≤-sin(A-C)≤　　 ∴选C.

　 4、y=[sin4x+sin2x]　 ∴T==　 ∴选A.

　 5、m=|sincos|≤|sin|　 ∴选A.

　 6、D　 7、D　 8、B　 9、D　 10、D

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