2018-2019学年河北省承德市联校高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|x＜1}，B={x|x＞0}，则A∩B等于（　　）

A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（﹣∞，1） D．（0，+∞）

2．cos420°+sin330°等于（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．0

3．若，则下列等式正确的是（　　）

A．a+b=﹣1 B．a+b=1 C．a+2b=﹣1 D．a+2b=1

4．已知且α在第三象限，则tan（π+α）等于（　　）

A． B． C． D．

5．若函数的零点在区间（1，+∞）上，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

6．已知且cosα＜0，tanα＜0，则sinα等于（　　）

A． B． C． D．

7．在△ABC中，D为线段BC上一点，且，以向量作为一组基底，则等于（　　）

A． B． C． D．

8．当a＞1时，不等式的解集是（　　）

A．（0，2） B．（0，4） C．（2，4） D．（0，+∞）

9．已知，则sinxcosx+1等于（　　）

A． B． C． D．

10．已知且，则等于（　　）

A． B． C． D．

11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，图中描述了甲乙丙三辆汽车，在不同速度下的燃油效率请况，下列叙述错误的是（　　）

A．消耗1升汽油，乙车行驶的最大路程超过5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少

C．甲船以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

12．设函数f（x）=|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，4] B．（0，4] C．（﹣4，0] D．[0，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.

13．已知角θ的终边经过点M（﹣2，3），则sinθ=　　　　　　．

14．设函数，则f（f（1））=　　　　　　．

15．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为　　　　　　．

16．已知x∈R，向量，则在方向上的投影的最大值为　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知集合B={x|﹣3＜x＜2}，C={y|y=x2+x﹣1，x∈B}

（1）求B∩C，B∪C；

（2）设函数的定义域为A，且B⊆（∁RA），求实数a的取值范围．

18．已知向量满足：，且

（1）求向量与的夹角；

（2）求及．

19．已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当时，求函数f（x）的取值范围．

20．设函数且．

（1）求f（x）的解析式并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上单调性，并用定义法证明．

21．已知函数的图象的一个最高点的坐标为，与其相邻的一个最低点的坐标为

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调增区间及对称轴方程．

22．已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）

（1）当a=3时，求方程f（）f（3x）=﹣5的解；

（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求实数a的取值范围；

（3）当a=时，设g（x）=f（x）﹣3x+4，求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0对x∈（λμ，+∞）恒成立．

2018-2019学年河北省承德市联校高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|x＜1}，B={x|x＞0}，则A∩B等于（　　）

A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（﹣∞，1） D．（0，+∞）

【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：∵A=（﹣∞，1），B=（0，+∞），

∴A∩B=（0，1），

故选：B．

2．cos420°+sin330°等于（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．0

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．

【解答】解：cos420°+sin330°=cos+sin=cos60°﹣sin30°==0．

故选：D．

3．若，则下列等式正确的是（　　）

A．a+b=﹣1 B．a+b=1 C．a+2b=﹣1 D．a+2b=1

【考点】有理数指数幂的化简求值．

【分析】根据指数幂的运算法则计算即可求出答案．

【解答】解：若，则3a•32b=3a+2b==3﹣1，

则a+2b=﹣1，

故选：C．

4．已知且α在第三象限，则tan（π+α）等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．

【解答】解：∵且α在第三象限，

∴cosα=﹣=﹣，

∴tan（π+α）=tanα==．

故选：A．

5．若函数的零点在区间（1，+∞）上，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】判断平时的定义域和单调性，根据函数零点的意义，建立不等式关系即可．

【解答】解：∵函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，

若函数的零点在区间（1，+∞）上，

则f（1）＞0，

即f（1）=log1+1+a=1+a＞0，

即a＞﹣1，

故选：C．

6．已知且cosα＜0，tanα＜0，则sinα等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得sinα的值．

【解答】解：∵已知且cosα＜0，tanα＜0，∴α为第二象限角，则sinα＞0．

∵cos2α=1﹣2sin2α=，∴sinα=，

故选：B．

7．在△ABC中，D为线段BC上一点，且，以向量作为一组基底，则等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】由题意作图辅助，从而可得=+=+（﹣），从而化简即可．

【解答】解：由题意作图如右，

=+

=+

=+（﹣）

=，

故选：D．

8．当a＞1时，不等式的解集是（　　）

A．（0，2） B．（0，4） C．（2，4） D．（0，+∞）

【考点】指、对数不等式的解法．

【分析】由对数的运算性质把已知不等式变形，然后利用对数函数的性质把对数不等式转化为一元一次不等式组求解．

【解答】解：∵ =logax，

∴原不等式等价于loga（4﹣x）＞logax，

∵a＞1，

∴，解得0＜x＜2．

∴原不等式的解集为（0，2）．

故选：A．

9．已知，则sinxcosx+1等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

【解答】解：∵，则sinxcosx+1=+1=+1=+1=，

故选：A．

10．已知且，则等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（）的值，利用两角差的余弦函数公式根据=cos[（）﹣]即可计算求值．

【解答】解：∵，，

∴＜＜，可得：cos（）=﹣=﹣，

∴=cos[（）﹣]=cos（）cos+sin（）sin=（﹣）×+=．

故选：D．

11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，图中描述了甲乙丙三辆汽车，在不同速度下的燃油效率请况，下列叙述错误的是（　　）

A．消耗1升汽油，乙车行驶的最大路程超过5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少

C．甲船以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【考点】函数的图象．

【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．

【解答】解：甲乙丙三辆汽车，在不同速度下的燃油效率请况，

对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，

故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A正确；

对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B正确，

对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，

故消耗8升汽油，故C错误，

对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确，

故选：C．

12．设函数f（x）=|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，4] B．（0，4] C．（﹣4，0] D．[0，+∞）

【考点】函数的值域；函数的图象．

【分析】由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于a的不等式组求解．

【解答】解：∀x1∈R，f（x）=|x|∈[0，+∞），

∵∃x2∈R，使f（x1）=g（x2），

∴g（x）=lg（ax2﹣4x+1）的值域包含[0，+∞），

当a=0时，g（x）=lg（﹣4x+1），显然成立；

当a≠0时，要使g（x）=lg（ax2﹣4x+1）的值域包含[0，+∞），

则ax2﹣4x+1的最小值小于等于1，

∴，即a＞0．

综上，a≥0．

∴实数a的取值范围是[0，+∞）．

故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.

13．已知角θ的终边经过点M（﹣2，3），则sinθ=　　．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．

【解答】解：∵角θ的终边经过点M（﹣2，3），∴x=﹣2，y=3，r==，

则sinθ===，

故答案为：．

14．设函数，则f（f（1））=　﹣　．

【考点】函数的值．

【分析】根据分段函数求出f（1）的值，从而求出f（f（1））即可．

【解答】解：函数，

则f（1））=﹣1，

∴f（f（1））=f（﹣1）=﹣，

故答案为：﹣．

15．若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为　（3，0）　．

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．

【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，

则m=2，

则函数g（x）=loga（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），

令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，

其图象过定点A的坐标为（3，0），

故答案为：（3，0）．

16．已知x∈R，向量，则在方向上的投影的最大值为　2　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由在方向上的投影为，运用向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值．

【解答】解：在方向上的投影为

==，

当x=﹣2时，1+（x+2）2取得最小值1，

可得在方向上的投影的最大值为2．

故答案为：2．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．已知集合B={x|﹣3＜x＜2}，C={y|y=x2+x﹣1，x∈B}

（1）求B∩C，B∪C；

（2）设函数的定义域为A，且B⊆（∁RA），求实数a的取值范围．

【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．

【分析】集合B={x|﹣3＜x＜2}，由于x∈B，可得y=x2+x﹣1=﹣∈，可得C．

（1）利用集合的运算性质可得：B∩C，B∪C．

（2）函数的定义域为A=，可得∁RA=，利用B⊆（∁RA），即可得出．

【解答】解：集合B={x|﹣3＜x＜2}，∵x∈B，∴y=x2+x﹣1=﹣∈，∴C=．

（1）∴B∩C=，B∪C=（﹣3，5）．

（2）函数的定义域为A=，

∴∁RA=，

∵B⊆（∁RA），

∴2，解得a≥8．

∴实数a的取值范围是[8，+∞）．

18．已知向量满足：，且

（1）求向量与的夹角；

（2）求及．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，运用向量的夹角的余弦公式，计算即可得到所求夹角；

（2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

【解答】解：（1）⊥， =﹣，

可得（﹣）•=0，

即为2=•=4，

可得cos＜，＞===，

由0≤＜，＞≤π，可得向量与的夹角为；

（2）=2+3•=4+3×4=16；

==

==2．

19．已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当时，求函数f（x）的取值范围．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），由周期公式可得；

（2）由可得2x+∈[，]，由三角函数的值域可得．

【解答】解：（1）化简可得f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1

=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∴函数f（x）的最小正周期T==π；

（2）当时，2x+∈[，]，

∴sin2x∈[，1]， sin2x∈[1，]．

20．设函数且．

（1）求f（x）的解析式并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上单调性，并用定义法证明．

【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

【分析】（1）根据条件建立方程关系，求出a，b的值，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．

（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

【解答】解：（1）∵函数且．

∴f（1）=1+a+b=2且f（2）=2++b=，

解得a=1，b=0，

则f（x）=x+，

则函数的定义域为{x|x≠0}，

则f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），

则函数是奇函数；

（2）证明：设0＜x1＜x2，则有f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）

当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，

即，x1x2﹣1＞0，

又∵x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴函数在（1，+∞）上为增函数．

21．已知函数的图象的一个最高点的坐标为，与其相邻的一个最低点的坐标为

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调增区间及对称轴方程．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）由题意，根据图象相邻的最高点与最低点的坐标，我们可以得到函数的最大值，最小值，周期，进而求出A，ω，φ值后，即可得到函数解析式．

（2）由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调增区间，令2x+=kπ+，k∈Z，可解得f（x）的对称轴方程．

【解答】解：（1）由题意知A=2，

周期T=2（）=π，ω==2，

∴y=2sin（2x+φ），

∵2=2sin（2×+φ），可得：φ=2kπ+，k∈Z，

∴|φ|，可得：φ=，

∴解析式为：y=2sin（2x+）．

（2）∵由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，

∴f（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

∴令2x+=kπ+，k∈Z，可解得：x=+，k∈Z，

故f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．

22．已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）

（1）当a=3时，求方程f（）f（3x）=﹣5的解；

（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求实数a的取值范围；

（3）当a=时，设g（x）=f（x）﹣3x+4，求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0对x∈（λμ，+∞）恒成立．

【考点】对数函数的图象与性质．

【分析】（1）当a=3时，f（x）=log3x，f（）f（3x）=（log327﹣log3x）（log33+log3x）=（3﹣log3x）（1+log3x）=﹣5，解得答案；

（2）分讨论满足不等式f（3a﹣1）＞f（a）=1的a的范围，综合讨论结果，可得答案；

（3）当a=时，g（x）=﹣3x+4为减函数，且g（x）＜0对x∈（2，+∞）恒成立．进而得到答案．

【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=log3x，

∴f（）f（3x）=（log327﹣log3x）（log33+log3x）=（3﹣log3x）（1+log3x）=﹣5，

解得：log3x=4，或log3x=﹣2，

解得：x=81，或x=；

（2）∵f（3a﹣1）＞f（a）=1，

①当0＜a＜1时，0＜3a﹣1＜a，解得：0＜a＜，

②当a＞1时，3a﹣1＞a，解得：a＞1，

综上可得：0＜a＜，或a＞1；

证明：（3）当a=时，g（x）=f（x）﹣3x+4=﹣3x+4为减函数，

由g（2）=﹣1﹣9+4=﹣6＜0，

故g（x）＜0对x∈（2，+∞）恒成立．

故对任意λ＞0，都存在μ=＞0，使得λμ=2，

即对任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0对x∈（λμ，+∞）恒成立．

2019年4月14日

承德市联校2018-2019学年高一上期末数学试卷含答案解析